3.5 Особливості розв’язку транспортної задачі
Транспортна задача (модель) [7,8] відноситься до задач лінійного програмування. Під транспортною моделлю розуміють задачу, яка використовується для вирішення задачі побудови найбільш економічного плану перевозок продукції з декількох пунктів (для прикладу склади, заводи тощо) в пункти призначення (торгові організації, ті ж склади та ін). Разом з тим, дану модель з успіхом використовують при вирішенні ряду інших задач зокрема: керування запасами, побудови сіткових графіків, призначенням службовців на посади, регулюванні витрат води та ін.
Оскільки транспортна задача відноситься до задач ЛП, то для її розв’язку можна використати симплекс-метод, який розглянуто вище. Однак специфічна структура цієї задачі дозволяє розробити більш простіші та ефективні методи для її вирішення. Хоча, при розв’язку транспортної задачі використовується такий же алгоритм як і при використанні симплекс-методу.
3.5.1 Постановка транспортної задачі
Отже, як було
зазначено вище, при постановці транспортної
задачі необхідно побудувати найбільш
економічний план перевозок одного виду
продукції з декількох пунктів (кількість
яких позначимо через I,
а об’єм продукції, яка виробляється в
кожному пункті -
)
в пункти призначення (кількість яких
позначимо черезJ,
а об’єм продукції, яку необхідно
обов’язково підвести до кожного пункта
-
),
вартість перевезення однієї одиниці
продукції з пунктаi
в пункт j
позначимо через
,
а через
- позначимо кількість продукції, яку
необхідно перевести з пунктаi
в пункт призначення j.
Тепер усі вхідні дані є і сформулюємо
транспортну задачу в загальному
випадку[7,8]:
, (3.11)
при виконанні наступних обмежень:
,
, (3.12)
,
,
,
для всіх i
та j.
В даній постановці перша група обмежень вказує на те, що сумарна кількість продукції вивезеної з певного пункта-джерела не може перевищувати кількість продукції, яка в ньому вироблена, а друга – вимагає щоб сумарні перевезення в деякий пункт повністю задовільнями попит цього пункта.
3.5.2 Поняття збалансованою та незбалансованої транспортної задачі
З наведеної
постановки транспортної задачі (3.11,
3.12) слідує, що сумарний об’єм
виготовлення продукції в пунктах
не
має бути меншим сумарного попиту в
пунктах призначення
.
У випадку, коли
,
то така транспортна задачаназивається
збалансованою,
а транспортна
задача в якої
називається
незбалансованою.
Вона відрізняється від вищенаведеної
(3.11-3.12),
що всі обмеження, в збалансованій задачі,
перетворюються в рівності, а саме:
,
, (3.13)
,
.
Збалансованість реальної транспортної задачі є дуже важливою ознакою, яка значно спрощує розв’язок задачі. Тому, на практиці, завжди стараються збалансувати транспортну задачу. Наведемо приклад транспортної задачі.
Нехай автомобілі певної марки виготовляють на заводах З1, З2 і З3. Об’єми виробництва складають відповідно 300, 400, 700 автомобілів кожного місяця. Параметри щомісячного попиту на автомобілі даної марки в магазинах М1 і М2 складають 1000 і 400 шт. відповідно. Вартість перевезення одного автомобіля на один кілометер складає 1 грн. Відстань між заводами і магазинами наведено в Табл.3.7. Необхідно побудувати план перевозок автомобілів таким чином щоб мінімізувати витрати на їх перевезення.
Побудуємо таблицю вартостей перевозок від заводів до магазинів. Відповідна процедура виконується досить просто, необхідно перемножити кількість кілометрів на вартість перевезення одного кілометра. В результаті, отримаємо значення, які наведені в Табл.3.8.
Табл.3.7
|
Заводи / Магазини |
М1 (км.) |
М2 (км.) |
|
З1 |
350 |
830 |
|
З2 |
500 |
200 |
|
З3 |
550 |
420 |
Табл.3.8
|
Заводи / Магазини |
М1 (грн.) |
М2 (грн.) |
|
З1 |
350 |
830 |
|
З2 |
500 |
200 |
|
З3 |
550 |
420 |
Оскільки сумарний об’єм виробництва (300+400+700=1400) рівний сумарному об’єму продаж (1000+400=1400), то відповідна транспортна задача є збалансованою і, відповідно, ця задача, при її формулюванні, буде містити обмеження у формі рівностей.
Отже, транспортна задача для вище наведеного завдання формулюється так:
мінімізувати
, (3.14)
при забезпеченні наступних обмежень:
,
,
,
,
,
,
для всіх i,
j.
Більш компактний
метод представлення транспортної задачі
пов’язаний з використанням так званої
транспортної таблиці, яка має вид матриці
в якій стрічки відповідають пунктам-джерелам
продукції (заводи), а стовпчики – пунктам
призначення (магазини). Коефіцієнти
вартості перевезень
розміщені в правому верхньому куті
кожної комірки (i,
j).
Наведемо приклад транспортної таблиці (Табл.3.9) для вище сформульованої задачі.
Табл.3.9
-
Пункти призначення
Пункти - джелера
М1 (1)
М2 (2)
З1 (1)
350
830
300
З2 (2)
500
200
400
З3 (3)
550
420
700
1000
400
Розглянемо ситуацію, коли транспортна задача є не збалансованою і її необхідно модифікувати таким чином, щоб для цієї задачі вирішення можна було використати ефективні алгоритми для розв’язку збалансованих транспортних задач. Отже, візьмемо за основу попередню транспортну задачу з деякою модифікацієї, яка полягає в тому, що завод З3 виготовляє в місяць не 700 автомобілів, а - 600. В даному випадку маємо дефіцит автомобілів в 100 одиниць (1400 – 1300 = 100) і його необхідно оптимально розподілити між центрами продажу.
Оскільки попит перевищує пропозицію, то небхідно в умову задачі ввести фіктивний завод по виготовленню 100 автомобілів в місяць, вартість перевезення в усі магазини має бути рівною нулю, так як реально завод відсутній і, відповідно, відсутні й перевезення. Приклад представлення вже збалансованої транспортної задачі в табличній формі наведено нижче (Див. Табл. 3.10).
Табл.3.10
-
Пункти призначення
Пункти - джелера
М1 (1)
М2 (2)
З1 (1)
350
830
300
З2 (2)
500
200
400
З3 (3)
550
420
600
Фіктив.
0
0
100
завод
1000
400
Можлива цілком протилежна ситуація, коли маємо перевиробництво товару. Для наочності розглянемо приклад, знову ж, за основу, візьмемо попередню транспортну задачу з припущенням, що завод З3 виготовляє не 700 автомобілів, а – 900. Задача є не збалансованою і, в даному випадку, маємо перевиробництво на 200 одиниць продукції (1600-1400=200). Для приведення цієї задачі до збалансованої необхідно ввести фіктивний пункт продажу з нульовою вартістю за перевезення в даний магазин. Запис отриманої збалансованої транспортної задачі в табличній формі наведено в Табл. 3.11.
Табл.3.11
|
Пункти призначення | ||||||||
|
Пункти - джелера |
|
М1 (1) |
М2 (2) |
Фікт.пункт прод. |
| |||
|
З1 (1) |
|
350 |
|
830 |
|
0 |
300
| |
|
|
|
| ||||||
|
З2 (2) |
|
500 |
|
200 |
|
0 |
400 | |
|
|
|
| ||||||
|
З3 (3) |
|
550 |
|
420 |
|
0 |
900 | |
|
|
|
| ||||||
|
|
1000 |
400 |
200 |
| ||||
