3.3.1. Розробка моделі

Нехай x₁ і x₂ означають кількість контролерів першого та другого розрядів, відповідно. Число контролерів кожного розряду, які може використати підприємство обмежене, тобто мають бути включені наступні обмеження:

x₁ 8 (кількість контролерів першого розряду),

x₂10 (кількість контролерів другого розряду).

Щодня необхідно перевіряти не менше 1800 виробів. Тому, слід записати наступну нерівність (вісім годин необхідно помножити на кількість деталей за одну годину роботи і на кількість контролерів відповідного розряду):

8*25*x₁+8*15*x₂=200*x₁+1200*x₂ 1800,

або спростивши (розділимо праву та ліву частини на 40), отримаємо:

5*x₁+3*x₂45.

При побудові цільової функції потрібно мати на увазі, що витрати фірми, пов'язані з контролем, включають дві складові:

• зарплату контролерів;

• збитки, викликані помилками контролерів.

Витрати на одного контролера першого розряду складають:

4 грн + 2*25*0,02 = 5 грн/год.

Витрати на одного контролера другого розряду рівні:

3 грн + 2*15*0.005 = 4,50 грн./год.

Отже, мінімізуюча цільова функція, яка виражає щоденні витрати на контроль, має наступний вигляд:

z=8*(5*x₁+450*x₂)= 40x₁+36*x₂min.

Отже, в кінцевому випадку, можна сформулювати наступну задачу ЛП:

Мінімізувати: z=40*x1+36*x2,

при обмеженнях:

x₁8, x₂10,

5*x₁+3*x₂45,

x₁0, x₂0.

3.3.2. Графічний розв’язок задачі лп

При розв’язку цієї задачі необхідно знайти значення змінних x₁ і x₂, які задовольняють усім обмеженням і, які забезпечують мінімальне значення цільової функції (тобто затрати фірми на технічний контроль). Як перший крок рішення оптимізаційної задачі, необхідно визначити всі можливі негативні значення змінних x₁ і x₂, які задовольняють обмеженням. Для прикладу, координати точки x₁=8 і x₂=10 позитивні і для цієї точки виконуються всі обмеження. Така точка називається допустимим рішенням. Множина всіх допустимих рішень називається допустимою областю. Рішення задачі ЛП складається з знаходження найкращого рішення в допустимій області. Найкраще допустиме рішення задачі ЛП називається оптимальним. В прикладі, що розглядається, оптимальне рішення являє собою допустиме рішення, що мінімізує цільову функцію 40*x₁+36*x₂. Значення цільової функції, відповідне оптимальному рішенню, називається оптимальним значенням задачі ЛП.

Для зображення допустимої області рішення слід накреслити графіки всіх обмежень. Всі допустимі рішення розміщені в першому квадранті, оскільки значення змінних невід’ємні. В силу обмеження 5*x₁+3*x₂45 усі допустимі рішення (x₁, x₂) задачі розміщені з однієї сторони від прямої, яка описується рівнянням 5*x₁+3*x₂=45. Необхідну напівплощину можна знайти, перевіривши, чи задовільняє початок координат разглядуваному обмеженню. Пряму 5x₁+3*x₂=45 зручно провести, з’єднуючи пару точок (для прикладу, x₁=0, x₂=15 та x₁=9, x₂=0).

Оскільки початок координат не задовільняє обмеженню, необхідна напівплощина відмічена стрілкою, направленою перпендикулярно до прямої. Аналогічним чином представлені обмеження x₁ 8 і x₂ 10. На рис.3.1 допустима область (АВС) заштрихована. Зрозуміло, що в допустимій області розміщено нескінченне число допустимих точок. Необхідно знайти допустиму точку с найменьшим значением цільової функції Z.

Якщо зазделегідь зафіксувати значення цільової функції Z=40*x₁+36*x₂, то відповідні йому точки будуть лежати на деякій прямій. При зміні величини Z ця пряма зазнає паралельного перенесення. Розглянемо прямі, які відповають різним значенням Z, що мають з допустимою областю хоч би одну загальну точку. Початкове значення Z покладемо рівним 600. При наближенні прямої до початку координат значення Z меншає. Якщо пряма має хоч би одну загальну точку з допустимою областю АВС, її можна зміщати в напрямі початку координат. Зрозуміло, що для прямої, яка проходить через кутову точку А з координатами x₁=8, x₂=1.6, подальший рух неможливий. Точка А являє собою найкращу допустиму точку, яка відповідає найменшому значенню Z і рівне 377.6. Отже, x₁=8, x₂=1.6 - оптимальне рішення і Z=377.6 - оптимальне значення для задачі лінійного програмування, яка розглядається.

Рис. 3.1. Графічне рішення задачі

Таким чином, при оптимальному режимі роботи ВТК необхідно використати вісім контролерів розряду 1 і 1.6 контролерів розряду 2. Дробове значення x₂=1.6 відповідає використанню одного з контролерів розряду 2 протягом неповного робочого дня. При неприпустимості неповного завантаження контролерів дробове значення звичайно округляють, отримуючи наближене оптимальне цілочисельне рішення x₁=8, x₂=2.

Наведемо ще один приклад розв’язку задачі ЛП, але з більшою кількістю змінних ніж 2. Отже, використовуючи графічний метод знайти розв’язок задачі лінійнго програмування в канонічному виді:

, (3.6)

(3.7)

, .

Використовують цей агоритм, якщо , деn – кількість змінних, а m – кількість обмежень.

Розв’язавши систему обмежень - рівностей відносно базисних змінних (), отримаємо:

(3.8)

Виключимо з цільової функції змінні , і в кінцевому випадку отримаємо:

. (3.9)

З врахуванням умови невід’ємності ,, та рівнянь 3.8 та 3.9, отримаємо наступну оптимізаційну задачу:

, (3.10)

Застосуємо вже відомий графічний метод до рішення вище сформульованої оптимізаційної задачі ЛП (3.10). Результати розв’язку задачі наведено на рис.3.2.

Рис.3.2 Результати розв’язку задачі ЛП з шістьма змінними

Отже, точка мінімуму має координати. Тепер підставимо в формули 3.8,і отримаємо значення для всіх інших змінних:

,.