Конспект лекцій. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

РОЗДІЛ 3. МЕТОДИ, АЛГОРИТМИ ТА ОСОБЛИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

3.1. Характеристика задач лінійного програмування

Задачі оптимізації, в яких цільова функція є лінійною функцією незалежних змінних (тобто має вигляд z = c₁x₁ + c₂x₂ +...+ c_nx_n , де c₁ , c₂ ,..., c_n - константи, x₁ , x₂ ,..., x_n - змінні, n - довільне натуральне число) і умови, які визначають допустимі значення цих змінних мають вигляд лінійних рівнянь і нерівностей, відносять до задач лінійного програмування (ЛП) [4-8].

Лінійне програмування було розвинене в зв'язку із задачами економіки, з пошуком способів оптимального рішення і з використанням обмежених ресурсів. Розвиток і ускладнення економічних процесів та обчислювальної техніки стимулює широке використання математичних методів в управлінні, сприяє зростанню ролі лінійного програмування як одного з актуальних розділів прикладної математики.

Так за оцінками американських експертів біля 75% від загального числа практичних оптимізаційних задач, відносяться до задач ЛП. Біля чверті машинного часу, затраченого за останні роки на проведення наукових досліджень, було відведено рішенню задач ЛП та їх чисельних модифікацій.

3.2. Постановка задачі лінійного програмування. Стандартна форма представлення задач лінійної оптимізації

Перед застосуванням одного з основних методів розв’язку задач ЛП (симплекс-метод) необхідною умовою є запис оптимізаційної задачі в стандартній (канонічній) формі. Канонічна форма запису оптимізаційних задач передбачає, що:

• усі змінні мають бути не від’ємними;

• нерівності слід перетворити в рівності;

• праві частини рівнянь мають бути не від’ємними.

Стандартна або канонічна постановка задачі лінійного програмування формулюється наступним чином: знайти такі значення змінних x₁, x₂,..., x_n, які задовольняють наступну систему рівнянь[7,8]:

, (3.1)

і дають найменше значення цільової функції:

z = c₁ *x₁ + c₂ *x₂ +. .. + c_n *x_n . (3.2)

Наведемо приклад приведеня задачі ЛП до канонічної форми. Отже, необхідно знайти максимум цільової функції :

- max, (3.3)

при виконанні наступних обмежень:

, (3.4)

,

,

,

.

Усі обмеження в даній задачі записані у формі нерівностей, тому перетворимо їх у рівності шляхом додавання чи віднімання нових змінних. Так для запису першого виразу у формі рівності необхідно додати змінну x₃, щоб вираз став рівний 6. Від другої нерівності необхідно відняти , а до третьої і четвертої нерівностей додати відповідно і .

В результаті, отримаємо вище наведену задачу ЛП в стандартній формі, а саме: знайти максимум цільової функції:

- max,

при виконанні наступних обмежень:

(3.5)

3.3. Графічне рішення задачі лп

Розглянемо метод графічного рішення задачі ЛП на прикладі задачі технічного контролю.

Постановка задачі технічного контролю. У відділі технічного контролю (ВТК) деякої фірми працюють контролери першого та другого розрядів. Норма вироблення ВТК за 8 - годинний робочий день складає не менше ніж 1800 виробів. Контролер першого розряду перевіряє 25 виробів за годину, причому, не помиляється в 98% випадків. Контролер другого розряду перевіряє 15 виробів за годину точність його перевірки становить 95%.

Заробітна плата контролера першого розряду рівна 4 грн. за годину, а контролер другого розряду отримує 3 грн. за годину. При кожній помилці контролера фірма несе збиток в розмірі 2 грн. Фірма може використати 8 контролерів першого розряду і 10 контролерів другого розряду. Керіництво фірми хоче визначити оптимальний склад ВТК, при якому загальні витрати на контроль будуть мінімальні.