lectures / Konspect_Ch1

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

3.5 Особливості розв’язку транспортної задачі

Транспортна задача (модель) [7,8] відноситься до задач лінійного програмування. Під транспортною моделлю розуміють задачу, яка використовується для вирішення задачі побудови найбільш економічного плану перевозок продукції з декількох пунктів (для прикладу склади, заводи тощо) в пункти призначення (торгові організації, ті ж склади та ін). Разом з тим, дану модель з успіхом використовують при вирішенні ряду інших задач зокрема: керування запасами, побудови сіткових графіків, призначенням службовців на посади, регулюванні витрат води та ін.

Оскільки транспортна задача відноситься до задач ЛП, то для її розв’язку можна використати симплекс-метод, який розглянуто вище. Однак специфічна структура цієї задачі дозволяє розробити більш простіші та ефективні методи для її вирішення. Хоча, при розв’язку транспортної задачі використовується такий же алгоритм як і при використанні симплексметоду.

3.5.1 Постановка транспортної задачі

Отже, як було зазначено вище, при постановці транспортної задачі необхідно побудувати найбільш економічний план перевозок одного виду продукції з декількох пунктів (кількість яких позначимо через I, а об’єм продукції, яка виробляється в кожному пункті - a i ) в пункти призначення (кількість яких позначимо через J, а об’єм продукції, яку необхідно обов’язково підвести до кожного пункта - b j ), вартість перевезення однієї одиниці продукції з

пункта i в пункт j позначимо через cij , а через x ij - позначимо кількість продукції, яку

необхідно перевести з пункта i в пункт призначення j. Тепер усі вхідні дані є і сформулюємо транспортну задачу в загальному випадку[7,8]:

i 1

xij 0 , для всіх i та j.

В даній постановці перша група обмежень вказує на те, що сумарна кількість продукції вивезеної з певного пункта-джерела не може перевищувати кількість продукції, яка в ньому вироблена, а друга – вимагає щоб сумарні перевезення в деякий пункт повністю задовільнями попит цього пункта.

3.5.2 Поняття збалансованою та незбалансованої транспортної задачі

З наведеної постановки транспортної задачі (3.11, 3.12) слідує, що сумарний об’єм

I

виготовлення продукції в пунктах a i не має бути меншим сумарного попиту в пунктах

i 1

53

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

Вона відрізняється від вищенаведеної (3.11-3.12), що всі обмеження, в збалансованій задачі, перетворюються в рівності, а саме:

Збалансованість реальної транспортної задачі є дуже важливою ознакою, яка значно спрощує розв’язок задачі. Тому, на практиці, завжди стараються збалансувати транспортну задачу. Наведемо приклад транспортної задачі.

Нехай автомобілі певної марки виготовляють на заводах З1, З2 і З3. Об’єми виробництва складають відповідно 300, 400, 700 автомобілів кожного місяця. Параметри щомісячного попиту на автомобілі даної марки в магазинах М1 і М2 складають 1000 і 400 шт. відповідно. Вартість перевезення одного автомобіля на один кілометер складає 1 грн. Відстань між заводами і магазинами наведено в Табл.3.7. Необхідно побудувати план перевозок автомобілів таким чином щоб мінімізувати витрати на їх перевезення.

Побудуємо таблицю вартостей перевозок від заводів до магазинів. Відповідна процедура виконується досить просто, необхідно перемножити кількість кілометрів на вартість перевезення одного кілометра. В результаті, отримаємо значення, які наведені в Табл.3.8.

Оскільки сумарний об’єм виробництва (300+400+700=1400) рівний сумарному об’єму продаж (1000+400=1400), то відповідна транспортна задача є збалансованою і, відповідно, ця задача, при її формулюванні, буде містити обмеження у формі рівностей.

Отже, транспортна задача для вище наведеного завдання формулюється так:

54

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

x11 x21 x31 1000 ,

x12 x22 x32 400 ,

xij 0 , для всіх i, j.

Більш компактний метод представлення транспортної задачі пов’язаний з використанням так званої транспортної таблиці, яка має вид матриці в якій стрічки відповідають пунктамджерелам продукції (заводи), а стовпчики – пунктам призначення (магазини). Коефіцієнти

Розглянемо ситуацію, коли транспортна задача є не збалансованою і її необхідно модифікувати таким чином, щоб для цієї задачі вирішення можна було використати ефективні алгоритми для розв’язку збалансованих транспортних задач. Отже, візьмемо за основу попередню транспортну задачу з деякою модифікацієї, яка полягає в тому, що завод З3 виготовляє в місяць не 700 автомобілів, а - 600. В даному випадку маємо дефіцит автомобілів в 100 одиниць (1400 – 1300 = 100) і його необхідно оптимально розподілити між центрами продажу.

Оскільки попит перевищує пропозицію, то небхідно в умову задачі ввести фіктивний завод по виготовленню 100 автомобілів в місяць, вартість перевезення в усі магазини має бути рівною нулю, так як реально завод відсутній і, відповідно, відсутні й перевезення. Приклад представлення вже збалансованої транспортної задачі в табличній формі наведено нижче (Див.

Табл. 3.10).

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

Можлива цілком протилежна ситуація, коли маємо перевиробництво товару. Для наочності розглянемо приклад, знову ж, за основу, візьмемо попередню транспортну задачу з припущенням, що завод З3 виготовляє не 700 автомобілів, а – 900. Задача є не збалансованою і, в даному випадку, маємо перевиробництво на 200 одиниць продукції (1600-1400=200). Для приведення цієї задачі до збалансованої необхідно ввести фіктивний пункт продажу з нульовою вартістю за перевезення в даний магазин. Запис отриманої збалансованої транспортної задачі в табличній формі наведено в Табл. 3.11.

Процес розв’язку транспортної задачі [7] передбачає ряд кроків, які детально описані нижче, а алгоритм наведено на рис. 3.3.

Отже, перший крок алгоритму передбачає визначення початкового допустимого рішення з визначенням значення цільової функції. Кількість базисних змінних визначається як I+J-1. При наявності побудованої транспортної таблиці для задач даного типу досить зручно використати один зі спеціальних методів по визначенню початкового базисного рішення, зокрема: правило північно-західного кута, метод мінімальної вартості чи наближений метод Фогеля, які детально будуть розглянути нижче.

Наступний крок алгоритму передбачає визначення змінної зі списку не базисних, яку, для покращення рішення задачі, необхідно ввести в список базисних. Знаходження цієї змінної базується на умові оптимальності і можна використати метод потенціалів. У випадку відсутності такої змінної процес знаходження рішення транспортної задачі завершується і отриманий розв’язок вважається оптимальним. В іншому випадку проводиться визначення змінної, яку необхідно виключити зі списку базисних з допомогою методу побудови цикла.

56

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

Після цього вираховуємо нове значення цільової функції і цикл починається з початку та продовжується доти, поки не буде викона умова виходу з циклу.

3.5.4 Методи визначення початкового допустимого рішення транспортної задачі

Правило північно-західного кута. Визначення початкового базисного рішення з допомогою правила північно-західного кута[7] починається з того, що змінній x11 (розміщеній в північно-західному куті транспортної таблиці звідси і пішла назва) присвоюється максимально можливе значення, яке допускають обмеженнями на попит та об’єм виробництва товару. Після цього викреслюють відповідний стовпчик (чи стрічку), для яких виконується обмеження, фіксуючи цим, що змінні даного стовпчика (стрічки) рівні нулю. У випадку виконання обмежень для стовпчика і стрічки можна викреслити або стовпчик, або стрічку. Після того, як попит і об’єм виробництва в усіх викреслених стрічках та стовпчиках приведені до відповідності з встановленим значенням змінної, максимально можливе значення приписується першому невикресленому елементу нового стовпчика (стрічки). Процес завершується, коли залишається один не викреслений стовпчик чи стрічка. Для кращого розуміння даного правила наведемо приклад знаходження початкового допустимого рішення для транспортної задачі (Табл. 3.9).

Початок

Визначити початкове базисне рішення

Визначити змінну, яка вводиться в список базисних

Так

Виконується умова оптимальності

Ні

Визначити змінну, яка виводиться зі списку базисних

Визначити нове базисне рішення

Кінець

Рис.3.3 Алгоритм розв’язку транспортної задачі

57

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

Отже, для змінної x11 , згідно алгоритму, присвоюємо максимально можливе значення 300 і викреслюємо з розгляду першу стрічку, при розрахунках, присвоюючи змінній x12 - 0, оскільки для стрічки виконується обмеження (змінна x11 =300 та об’єм виготовлений першим заводом також рівний 300). Змінна x11 вноситься в список базисних, а - x12 до списку не базисних. Необхідно зауважити, що умова для першого стивпчика не виконується оскільки x11 =300 (значення інших змінних цього стовпчика, на даний момент, вважаємо рівними нулю),

Наступною змінною розглядаємо x 21 , максимальне значення для цієї змінної ми можемо присвоїти 400 і необхідно викреслити другу стрічку (Див. Табл. 3.13). В результаті, залишається остання третя стрічка, в якій, для змінної x31 можемо присвоїти максимальне значення 300 (для виконання обмеження-рівності по першому стовпчику), а змінній x32 - 400 (для виконання рівності по другому стовпчику та умови по третій стрічці, див. Табл.3.14). Отже початкове базисне рішення включає змінні x11 , x 21 , x31 , x32 , а в список не базисних входять змінні x12 , x 22 , відповідно.

Табл. 3.13

Визначення початкового базисного рішення для транспортної задачі з допомогою методу найменшої вартості. Вхідними даними для визначення початкового базисного рішення [7] є інформація записана у формі транспортної таблиці. Обчислення проводяться

58

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

Еврістичний метод Фогеля. Цей метод, як правило, дозволяє отримати кращі результати, ніж два розглянуті вище (метод північно-західного кута та метод найменшої вартості).

Алгоритм застосування методу Фогеля передбачає виконання наступних кроків:

Крок 1. Визначити штрафи для кожної стрічки (стовпчика). Віднімаючи значення найменшої вартості перевезення для даного елемента цієї стрічки (стовпчика) з наступним значенням вартості за ним по величині елемента тієї ж стрічки (стовпчика).

Крок 2. Відмітити стрічку чи стовпчик з найбільшим штрафом. Визначити в ній елемент з найменшою вартістю і присвоїти змінній цього елемента найбільш можливе значення враховуючи накладені обмеження. Викреслити з розгляду стрічку чи стовпчик, для яких виконується накладене обмеження. Якщо обмеження по стовпчику і стрічці виконуються одночасно, то викреслити стовпчик чи стрічку, а невикресленій стрічці або стовпчику присвоїти нуль для попиту чи об’єму виробництва. Стрічки чи стовпчики з нульовим попитом чи об’ємом виробництва надалі з розгляду виключають.

Крок 3. Якщо залишається невикресленою одна стрічка чи стовпчик, то завершити обчислення.

У випадку, коли залишається одна стрічка чи стовпчик з додатнім об’ємом виробництва (попитом), то до цієї стрічки необхідно застосувати метод найменшої вартості.

Якщо всім невикресеним стрічкам та стовпчикам відповідають нульові об’єми виробництва і величини попиту – застосувати метод найменшої вартості.

В інших випадках обчислити нові значення штрафів для невикреслених стрічок і стовпчиків та перейти до кроку 2.

Приклад застосування даного методу наведено нижче. Обчислення штрафів подано в Табл.3.17. Найбільший штраф присвоєно другій стрічці, а елемент X22 має найменше значення вартості, тому йому присвоюємо найбільш можливе значення 400. При цьому, виконується умова як по стовпчику, так і по стрічці. Викреслимо другу стрічку, а в графі попит для другого стовпчика поставимо 0 (Див. Табл.3.18). Знову вираховуємо штрафи, найбільший штраф має перша стрічка (280), вибираємо елемент змінної X11 оскільки для цієї змінної найменша величина вартості, присвоюємо їй значення 300 і викреслюємо з розгляду першу стрічку (Див.Табл. 3.19). Згідно вище наведеного алгоритму до третьої стрічки застосовуємо метод найменшої вартості, який передбачає присвоння змінній X32=0, а змінній X31=700. В результаті застосування методу Фогеля отримано початкові базисні змінні X11, X22, X31 та X32

(Див.Табл.3.20).

60

Отримані дані дозволяють стверджувати, що методи найменшої вартості та Фогеля дозволяють отримати значно краще початкове базисне рішення у порівнянні з алгоритмом північно-західного кута.

3.5.5 Метод потенціалів

Метод потенціалів [7,8] призначений для визначення змінної зі списку не базисних, яку необхідно ввести в список базисних і яка дозволяє покращити рішення оптимізаційної задачі.

В методі потенціалів кожній стрічці i та стовпчику j транспортної таблиці ставляться у

61

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

базисних змінних). Значення потенціалів можна визначити із цієї системи, присвоюючи одному з них випадкове значення (як правило U1 присвоюють рівним нулю) потім вирішують систему з рівнянь відносно I J -1 решти потенціалів.

Як тільки рішення отримане, оцінки Cpg для небазисних змінних Xpg визначаються у відповідності з співвідношенням:

Cpg Up Vg Cpg .

Після цього, для включення в базис вибирається та небазисна змінна, яка має найбільшу

додатну оцінку Cpg , а у випадку відсутності додатньої оцінки процес покращення рішення завершується і отримане рішення вважається оптимальним.

62