lectures / Konspect_Ch1

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

Звідси випливає, що метод золотого січення гірший методу n при великих n всього у

((5 1) / 2)2 / 5 1.1708 раз, тобто на класі унімодальних функцій метод золотого січення близький до оптимальних методів.

Таким чином, застосування методів виключення інтервалів накладає єдине обмеження на цільову функцію, яка досліджується - унімодальність.

Отже, розглянуті вище методи можна використати для аналізу як неперервних, так і розривних та дискретних функцій. Логічна структура пошуку базується на простому порівнянні значень функції в двох пробних точках.

2.6 Методи поліноміальної апроксимації та точкової оцінки

Найпростіший випадок заснований на тому факті, що функція, яка приймає мінімальне значення у внутрішній точці інтервалу, має бути принаймі квадратична [3,5,8-11].

Якщо цільова функція F(х) в точках x1, x2, x3 приймає відповідні значення F1, F2, F3, то можна визначити коефіцієнти а0, a1, a2 таким чином, що значення квадратичної функції

q(х) = a0 + a1(x-x1) + a2(x-x1)(x-x2)

співпадуть зі значенням F(х) в трьох вказаних точках.(див. Табл.2.1). Обчислення значень.

Отже, згідно таблиці 2.1, точка мінімуму буде визначатися наступним виразом:

2.6.1 Метод з використанням квадратичної апроксимації. Метод Пауела

Якщо відомі значення функції F(х) в трьох різних точках x1, x2, x3 відповідно F1, F2, F3, то

функція F(х) може бути апроксимована квадратичною функцією

F(х)=Ax2+Bx+C,

де: А, В і C визначаються з наступних рівнянь

Ax12 Bx1 C F1 , Ax22 Bx2 C F2 , Ax32 Bx3 C F3 .

Після перетворень цих рівнянь отримуємо

A= x3 x2 F1 x1 x3 F2 x2 x1 F3 B= x2 x3 F1 x3 x1 F2 x1 x2 F3 C= x2x3 x3 x2 F1 x3x1 x1 x3 F2 x1 x2 x2 x3 F3

де: x1 x2 x2 x3 x3 x1

33

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

Цей метод може безпосередньо застосовуватися до функцій однієї змінної. Він може бути дуже корисний для виконання лінійного пошуку. В цих процедурах потрібно знайти мінімум функції F(х) в точках x0+λd , де xo- задана точка, а d визначає заданий напрям пошуку оптимуму. Значення функції F(x0+λd) на цій прямій є значеннями функції однієї змінної λ :

F(λ) = F(x0+λd).

Ідеї і результати, викладені вище, перетворимо у вичислювальні процедури, які описані далі. Припустимо, що задані унімодальна функція однієї змінної F(х), початкова апроксимація місця знаходження мінімуму і довжина кроку , є величиною того ж порядку, що і відстань від точки А до точки реального мінімуму х*(умова, яку не завжди просто задовольнити). Кроки обчислювальної процедури мають наступні кроки:

Крок 1. x2 = x1 + х.

Крок 2. Обчислити значення функцій F(x1) і F(x2). Крок 3. Якщо F(x1) > F(x2), то x3 = x1 + 2 х, а

Якщо F(x1)< F(x2), то x3 = x1 - х.

Крок 4. Обчислити F(x3) і знайти Fmin= min{ F(x1), F(x2), F(x3)}, xmin = xi, яка відповідає

Fmin.

Крок 5. По x1, x2, x3 обчислити х*, використовуючи формулу для оцінки з допомогою квадратичної апроксимації.

Крок 6. Перевірка закінчення роботи алгоритму:

Якщо Fmin - F(х*) < , то закінчити пошук. В іншому випадку перехід до кроку 7. Якщо xmin - х* < , то закінчити пошук. В іншому випадку перехід до кроку 7.

Крок 7. Вибрати xmin або х* і дві точки по обидві сторони від неї. Визначити в природному порядку і перейти до кроку 4.

Даний метод часто називають методом Пауела. Відмітимо, що якщо точка ε задана дуже малою, то x1, x2, x3, а також F1, F2, F3 будуть дуже близько одне до одного і значення δ може стати взагалі недосяжним. Щоб подолати цю трудність, перепишемо рівняння для другої і останньої інтерполяції в наступному вигляді:

34

Конспект лекцій Ч.1. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

Для того, щоб оцінити значення x , необхідно знайти значення параметрів a1 та a2 апроксимуючої функції. Відповідно отримаємо:

Точне значення мінімуму досягається при x 1,5874 .

2.6.2 Метод з використанням кубічної апроксимації

В даному методі функція F (x) апроксимується поліномом третього порядку. Робота методу починається в довільно вибракій точці x1 , після цього знаходиться друга точка, така,

Зауважимо, що дана схема легко реалізується рекурсивним методом, Після того, як коефіцієнти знайдено, діючи по аналогії з квадратичною апроксимацією, можна оцінити

координати стаціонарної точки функції F з допомогою апроксимуючого полінома F (x) . При

цьому, прирівнюючи до нуля похідну F ' (x) отримуємо квадратне рівняння. Використовуючи формулу для обчислення коренів квадратного рівняння, запишемо розв’язок, який визначає стаціонарну точку апроксимаційного кубічного полінома у наступному вигляді

35