1.10 Поняття обмежень цільової функції

Обмеження цільової функції [3, 5] поділяються на обмеження-рівності та обмеження –нерівності.

Обмеження - рівності - це залежність між проектними параметрами, які необхідно враховувати при пошуку рішення оптимізаційної задачі. Вони відображають закони природи, економіки, права, що керують процесами, наявність необхідних матеріалів тощо. Число обмежень - рівностей може бути будь-яким. Вони мають вид

………………….

Якщо яке-небудь з цих співвідношень можна розв’язати щодо одного з проектних параметрів, то це дозволяє виключити даний параметр із процесу оптимізації. Тим самим зменшується число вимірів простору проектування і спрощується рішення задачі.

Обмеження – нерівності. Це особливий вид обмежень, які виражаються нерівностями. Обмеження нерівності бувають односторонніми та двосторонніми. Двосторонні обмеження нерівності досить просто звести до односторонніх обмежень нерівностей, що, як правило, роблять на практиці при розв’язку оптимізаційних задач. В загальному випадку односторонніх обмежень-нерівностей може бути як завгодно багато, причому усі вони мають вид:

………………….

Приклад двосторонніх обмежень-нерівностей:

При потребі, двостороннє обмеження-нерівність запишемо як два односторонні обмеження-нерівності:

Слід зазначити, що дуже часто в зв'язку з обмеженнями оптимальне значення цільової функції досягається не там, де її поверхня має нульовий градієнт. Нерідко краще рішення відповідає одній з границь області проектування.

1.11 Геометрична інтерпретація цільової функції та глобальний і локальний оптимуми

Задачею пошуку оптимуму цільової функції f(x), як правило, є визначення сукупності значень незалежних змінних , що відповідає не якому-небудь екстремуму функціїf(x), а найбільшому чи найменшому значенню f(x) у допустимій області, яка визначається обмеженнями-рівностями та обмеженнями – нерівностями.

На рис. 1.5 дано графічне представлення функції однієї змінної f(x), яка має локальний мінімум в точці х₀ і глобальний мінімум в точці х*.

Функція f(x) має локальний мінімум в точці х₀, якщо існує деяка позитивна величина, така, що якщо |х – х_о| <  , то f(x)>=f(x₀), якщо існує окіл точки х₀, такий, що для всіх значень х в цілому околі f(x) > f(x₀). Функція f(x) має глобальний мінімум в точці х*, якщо для всіх х справедлива нерівність f(x)>=f(x*).

Функція f(x) має локальний максимум в точці х_Т, якщо існує деяка позитивна величина, така, що якщо |х_Т - х| <  , то f(x)<=f(x_T), якщо існує окіл точки х_T, такий, що для всіх значень х в цілому околі f(x) < f(x_T). Функція f(x) має глобальний максимум в точці х_М, якщо для всіх х справедлива нерівність f(x)<=f(x_M).

Рис 1.5 Графічне представлення цільової функції

1.12 Математична постановка задач оптимізації

Незважаючи на те, що прикладні задачі відносяться до різних наукових областей, вони мають спільну форму. Всі ці задачі можна класифікувати як задачі мінімізації реальної функції f(x) N-мірного вектора аргумента x=(x₁, x₂,..., x_n), компоненти якого задовільняють системі рівнянь h_k(x)=0 та набору нерівностей g_i(x) 0, а також обмежені зверху і знизу, тобто x_i⁽^u⁾ x_i x_i⁽^l⁾. Надалі функцію f(x) будемо називати цільовою функцією, рівняння h_k(x)=0 – обмеженнями у формі рівностей, а нерівності g_i(x) 0 - обмеженнями у формі нерівностей.