1. Оцінка математичного очікування нормального розподілу

Оцінкою математичного очікування нормального розподілу є середнє значення розраховане по вибірці. Дане питання розглянуто в розділі _____ при висвітленні способу інтевального оцінювання по вибіркам малого об’єму. Доцільно зауважити, що дана задача є реалізацією параметричної гіпотези.

Так як, випадкова величина t, за рівнянням , є нормалізованою величиною відхилення емпіричного середнього від теоретичного математичного очікування, тоді для оцінки граничних значень критичної області гіпотези достатньо задатися рівнем значимості гіпотези , та знайти такий проміжок значень (t_/2, t_1-/2), ймовірність попадання в який становить 1-=:

У подальших викладках враховується, що t-розподіл симетричний відносно нуля тому для його квантілей справедлива рівність . Рівняння є умовою знаходження граничних значень критичної області. Якщо в аргумент цього рівняння підставити рівняння тоді отримаємо наступну нерівність:

.

Яка, після перетворень, приводить до наступного результату:

Нерівність показує, що істинне значення математичного очікування нормального розподілу знаходиться в межах від до. До такого ж результату, але із записом в іншій формі, приводить рівняння . З одного боку, нерівність визначає інтервал довіри середнього значення по вибірці (інтервальне оцінювання), з другого боку, ця ж нерівність визначає граничні значення двосторонньої критичної області гіпотези, яка охоплює інтервал довіри (рис.____б). Проілюструємо це на прикладі.

Приклад____. Вміст основної речовини в технічному толуолі по сертифікату становить 99,8%. Хроматографічним методом (газо-рідинна хроматографія на капілярних колонках з іонізаційно-полумяним детектором) було проведено 4 паралельні визначення вмісту толуолу та отримали наступні результати : 99,68, 99,58, 99,73, 99,53. Який реальний вміст толуолу в зразку? Висновки будувати з використанням 0,95 довірчої ймовірності. Чи можна стверджувати по результатам аналізу, що вміст основної речовини занижений відносно сертифікату? Всі заміри показали результат нижче значення зазначеного в сертифікаті. Чи може бути це достатньою підставою для висновку про заниження вмісту?В першу чергу оцінимо вміст по результат замірів. Для цього скористаємося рівнянням для інтервальної оцінки середнього по вибірці. Для цього по рівнянню ___ визначимо середнє значення по вибірці, оцінимо по вибірці дисперсію по рівнянню, розрахуємо середньоквадратичне відхилення --. Вибірка містить 4 незалежні заміри, тому степінь свободи для інтевального оцінювання становить 4-1=3. По умові, рішення необхідно приймати з=0,95 довірчою ймовірністю, що визначає значимість критерію (чи гіпотези)=1-=0,05. Враховуючи те, що інтервальне оцінювання будується на гіпотезі з двосторонньою критичною областю та критерій Сюдента слід вибирати для ступені свободи 3 і значимістю/2=0,05/2=0,025. Табличне значення t-критерію в такому випадку становитиме. Отримані значення підставляємо в рівняння та отримуємо значення околу довіри концентрації толуолу --. Таким чином, вміст толуолу в пробі за даними хроматографічного аналізу становить 99,60,2, відносна помилка визначення – 0,2/99,6=0,2%. Це означає, що з ймовірністю 0,95 вміст толуолу в пробі знаходить в межах від 99,4% до 99,8%. Паспортний вміст – 99,8% -- попадає в цей проміжок. Тому, на основі даних хроматографічного аналізу при 0,95 довірчій ймовірності та інтервальному оцінюванні стверджувати про заниження вмісту основної речовини в пробі не можна. Цю ж задачу можна вирішити через побудову гіпотези. В якості гіпотези виберемо твердження H₀: %C=99.8 – вміст толуолу в пробі відповідає паспортному. Тоді двосторонню критичну область можна побудувати на основі нерівності . Для використання цієї нерівності слід враховувати, що по гіпотезі в цій нерівності. Нижня гранична межа критичної області в такому випадку становить 99,8-0,09/24,177=99,6, а верхня гранична межа становить 99,8+0,09/24,177=100. Таким чином, критичною областю гіпотези є емпіричні значення середнього до 99,6% та більше 100%. Зрозуміло, що верхня гілка критичної області фізичного змісту не має та може не враховуватись. Але, якщо експериментально визначений вміст толуолу в пробі буде меншим ніж 99,6% (попадати в нижню частину двосторонньої критичної області) то гіпотезу H0 слід вважати несправедливою. Хроматографічне визначення вмісту толуолу в пробі становить 99,6%. Це значення не попадає в критичну область гіпотези, тому її можна вважати справедливою. Так проведений статистичний аналіз не дозволяє вважати, що в зразку є статистично значиме заниження вмісту толуолу відносно сертифікату.

В розділі 2.2.1.2 обговорювалось, що двосторонні (або їх ще називають двох хвостовими) критичні області не завжди доцільно будувати.У багатьох випадках можна аналізувати гіпотези ( в тому числі параметричні) на односторонніх (одно хвостових) критичних областях. У більшості випадків використання односторонніх критичних областей є й вигіднішим, тому що при тій же значимості критерію вдається зменшити ймовірність помилки другого роду. Є цілий ряд задач у яких необхідно знайти односторонню оцінку математичного очікування. Тобто, оцінку лише зверху, або оцінку лише з низу. У такому випадку задача зводиться до побудови односторонньої критичної області гіпотези.

При довірчій ймовірності =1-випадкової величини t зверху має вигляд, або, після підстановки рівняння , запишеться:

Аналогічно, одностороння оцінка знизу, при умові , отримає вигляд:

З нерівностей та , після елементарних алгебраїчних перетворень, отримуємо односторонні довірчі оцінки для математичного очікування зверху:

та низу:

На перший погляд нерівності та є лише розбита на частини нерівність . По суті це так, але є одна відмінність. У нерівності , за якою формується, або довірчий інтервал визначення середнього, або двостороння критична область гіпотези, використовує t-критерій зі значимістю /2 (або 1-/2, що по модулю одно і те саме), в нерівностях та , по яким визначається односторонні критичні області гіпотез, -- t-критерій зі значимістюабо 1-. Переваги такого вибору аналізуються в розділі 2.2.1.2. У наступному прикладі розглянемо до чого це приводить.

Приклад ___. Даний приклад повністю будується на умові і результатах попереднього прикладу, аналіз якого залишив неприємний осад. Усі хроматографічні заміри концентрації толуолу показали результат нижче вказаного в сертифікаті. Аналізи виконанні з достатньо високою точністю, а прийняти висновок, що в пробі занижена концентрація не можна. Можливо це тому, що не зовсім вірно ставилось питання при формуванні гіпотези? Завдання ж було оцінити довірчий інтервал хроматографічного визначення концентрації толуолу та провірити гіпотезу відповідності концентрації сертифікату. Ці питання вимагають гіпотез з двосторонніми критеріями. А якщо трохи змінити формулювання питання? Наприклад, перевірити, чи концентрація толуолу в пробі не є нижчою за паспортну?На переший погляд нове питання відрізняється від попередніх на рівні софістики. Але так сформульоване питання дозволяє будувати, при перевірці гіпотези односторонній критерій. Тут слід звернути увагу, навіть не замінити гіпотезу, а, просто, будувати для цієї ж гіпотези односторонній критерій оцінки математичного очікування зверху. Тим більше, що в попередньому прикладі побудована верхня гілка критичної області не мала фізичного змісту – концентрація толуолу в пробі не може бути більша 100%. Всі значення, крім табличного значення t-критерію беруться з попереднього прикладу. Для цього прикладу значення t-критерію слід вибрати для ступеня свободи 3, але для значимості 1-0,95=0,05 --. Тепер, використовуючи нерівність для оцінки математичного очікування обмеженого з верху оцінимо критичну область критерію. Для цього нерівність перепишемо в наступному вигляді:

Тоді граничне значення критичної області становитиме 99,8-0,09/23,182=99,6699,7. Якщо експериментально визначене значення вмісту є меншим за 99,7, тоді воно попадає в критичну область критерію та гіпотеза вважається невірною. Якщо значення є більшим, або рівним 99,7 то гіпотезу можна приймати як вірну. За умовою попереднього прикладу концентрація толуолу в зразку, визначена по хроматографічному визначенню, становить 99.6%. Це значення менше ніж 99.7%, тому воно попадає в критичну область гіпотези H₀: %C=99.8 при використанні одностороннього критерію. У такому випадку ця гіпотеза не узгоджується з експериментальними даними та концентрація толуолу може вважатися заниженою відносно значення, приведеного в сертифікаті.

В першу чергу, приклади __ та __ продемонстрували як можна проводити оцінку математичного очікування нормального розподілу та показали узгодження цих статистичних методів з інтервальним оцінювання середнього по вибірці. Крім того, наведені приклади показали, що вибору способу визначення критичної області слід підходити зважено. Коли це можна слід вибирати односторонні (одно хвостові) критерії, які, при тому ж значенні довірчої ймовірності, що й двосторонні (ймовірності помилки першого роду), мають більшу потужність (меншу ймовірність помилки другого роду).