2. Коефіцієнт лінійної кореляції та його властивості. Кореляціне поле.

Коваріація має розмірність добутку розмірності величин на якій вона побудована. То б то, величина коваріації залежить від масштабу цих величин. Ця властивість утруднює її використання в якості міри залежності – важко використовувати в якості критерію величину, значення якої міняється в залежності від конкретної ситуації.

Тому, для оцінки лінійного зв’язку між двома випадковими величинами, використовують коефіцієнт лінійної кореляції, який можна визначити за рівнянням:

За цим рівнянням коефіцієнт лінійної кореляції це коваріація віднесена до добутку стандартних відхилень випадкових величин. Оскільки за нерівністю Коші-Буняковського |cov(X,Y)| ≤σ_X∙σ_Y, то рівняння -- це нормування коваріації, а коефіцієнт лінійної кореляції – нормована коваріація, що приймає значення від -1 до 1 для будь яких випадкових величин. Завдяки цій властивості коефіцієнт лінійної кореляції є зручною величиною для оцінки ступені взаємодії двох випадкових величин.

При тому рівність коефіцієнту кореляції 1 та -1 спостерігається лише тоді коли між випадковими величинами спостерігається лінійна залежність. Точніше, якщо елементи вибірки X можна зв’язати з елементами вибіркиY строгою залежністю. Строгість полягає в тому, що коефіцієнтиa іb цієї залежності є константами – їх значення не випадкові і однакові для всіх пар значень вибірок. Реалізується така ситуація лише в тому випадку, коли елементиXтаYзв’язані між собою лінійною залежністю, а їх визначення не супроводжується статистичною помилкою, або значення цієї помилки є значно меншим ніж точність оцінки значень коефіцієнтівaтаb. Формально в цьому випадку немає підстав говорити, що величини, які спостерігаються, є випадковими.

У

Рис._ . Вигляд кореляційних полів при різних значеннях коефіцієнту парної кореляції.

всіх інших випадках абсолютне значення коефіцієнту парної кореляції є меншими від 1. У випадку відсутності взаємозв’язку між випадковими величинами коефіцієнт кореляції рівний нулю.

В

Рис.__. Кореляціні поля з більш складною за лінійну

залежність між випадковими величинами.

ізуально кореляцію між двома величинами можна відслідковувати графічно. Для цього слід вкласти на координатній площині точки, координати яких відповідають попарно значенням вибірокX,Y. Такі діаграми мають назву кореляційних полів. Приклади кореляційних полів, що ілюструють величину коефіцієнту кореляції від тісноти зв’язку приведені на рис.__. Якщо між двома величинами існує прямопропорціна залежність (рис.__а), тоді точки на кореляційному полі утворюють практично ідеальну пряму. Обернено пропорційна залежність, яка супроводжується значенням коефіцієнту кореляції -1, також відображається прямою, але з кутом нахилу до осі ординат більшим за 90˚(рис.1.є). Відсутність залежності між двома випадковими величинами схематично відображає поле, що наведено на рис.__.г. Цьому випадку відповідає, як уже вказувалось вище, нульове значення коефіцієнту кореляції. У всіх інших випадках значення коефіцієнту кореляції приймає проміжні значення і це супроводжується зміною форми кореляційного поля.

Лише локалізація значень між -1 і 1 є власною властивістю коефіцієнту лінійної кореляції. Всі інші є властивостями коваріації. Зокрема, як і у випадку коваріації, нульове значення коефіцієнту лінійної кореляції означає лише що між двома величинами немає лінійної залежності. Але це ще не означає, що ці дві величини незалежні. Дві величини можуть бути пов’язані більш складним за лінійний зв’язком. Такі випадки ілюструють кореляційні поля що приведені на рис.__. По при те що на цьому рисунку зображені кореляційні поля залежних випадкових величин значення лінійного коефіцієнту кореляції близькі до нуля, або рівні нулю.

Слід пам’ятати ще одне обмеження що пов’язане з коефіцієнтом лінійної кореляції. Відмінність коефіцієнту кореляції від нуля дозволяє висновок, що між двома величинами є стохастичний зв’язок. Але лише стохастичний. Коефіцієнт лінійної кореляції не дозволяє зробити висновок, що між двома випадковими величинами є причинено-наслідковий зв'язок. Далеко не кожен стохастичний зв'язок є причинно-наслідковим. Дуже часто спостерігають стохастичний зв'язок між двома величинами що спричинений впливом на них спільного фактора, про існування якого або про його вплив експериментатор може і не знати. А саме з ним, а не між собою, випадкові величини знаходяться в причино-наслідковому зв’язку.