При рівномірному обертанні:
Періодом обертання (Т) наз. час, впродовж якого обертове тіло здійснює один повний оберт:
|
Т |
t |
(с) |
t – час, |
|
|
N |
N – кількість обертів. |
|||
|
|
|
|
|
|
Або |
|
|
|
|
|
|
2 |
s |
|
||
T |
|
. |
( t v ) |
|
|
|
|
||||
Частотою обертання (n) наз. кількість обертів за одиницю часу:
nNt 2 (с 1).
ω= 2πn
13
Середнім кутовим прискоренням ( |
) наз. фізична величина, яка дорівнює |
||||||||||||||||||||
відношенню зміни кутової швидкості до проміжку часу |
t, за який ця зміна |
||||||||||||||||||||
відбулася: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( c |
2 |
). |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Миттєвим кутовим прискоренням ( |
) наз. границю середнього кутового |
||||||||||||||||||||
прискорення при t →0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
dt |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d d |
d |
d 2 |
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt ( |
dt |
) dt 2 , |
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|||||||||
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
d |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14
Знайдемо зв'язки між кінематичними величинами поступального та обертального руху.
|
а dv |
d |
|
( R) R |
d |
R ; |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
аn |
v2 |
|
2 R2 |
2 R. |
|
|
|||||||
|
|
|
R |
R |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При ε = const із виразу |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dt |
Отримуємо: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d dt, |
|
t |
|
|
|
і 0 t , де 0 |
|
|
|||||||
d dt |
|
|
початкова кутова швидкість. |
||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проінтегрувавши вираз |
, отримуємо: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0t |
t . |
||
d ( 0 |
t )dt, |
|
0 |
||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15
4. Аналогія між кінематикою поступального та обертального рухів.
Поступальний рух 
Обертальний рух
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
v dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dv |
r |
|
|
d |
|
d |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a dt v dt2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dt2 |
|
||||||||||
dt |
|||||||||||||
a 0, |
s vt |
|
|
0, |
t |
|
|||||||
a const, |
s v t |
at2 |
const, |
t |
|
|
t2 |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16
Приклади розв'язування задач
Задача № 1. Матеріальна точка рухається рівноприскорено по колу радіусом R = 5 м. За час
t = 7 c вона проходить шлях s = 38 м. Через скільки секунд після початку руху її повне прискорення дорівнюватиме 4,6 м/с2.
Дано: |
|
|
Розв'язування |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Модуль повного прискорення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R=5 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
s=38 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
2 |
|
2 |
, |
|
|
|||
а=4,6 м/с2 |
|
|
an |
a |
|
|
||||||
t=7 c |
|
де аn – нормальне, аτ – тангенціальне прискорення. |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
t1=? |
|
При цьому русі тангенціальне прискорення є сталою величиною, а нормальне |
||||||||||
|
|
буде змінюватись, оскільки воно залежить від лінійної швидкості, яка змінюється. |
||||||||||
|
|
|||||||||||
Тангенціальне прискорення можна визначити за формулою: |
2s2 . |
|||||||||||
s vdt a tdt a t 2 , |
|
|
звідки |
|
a |
|||||||
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
У момент часу t1, коли повне прискорення матиме значення а, лінійна швидкість буде |
||||||||||||
|
|
|
v a t1 , |
|
|
|
|
|||||
а нормальне прискорення |
|
|
v2 |
|
4s2t 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
17 |
|
|
|
R |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t4 R |
|
|||||
Тоді є можливість записати, що |
a2 |
16 s4t |
4 |
4s |
2 |
|
||||
|
|
|
|
t8 R |
1 |
t4 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З останнього виразу можна визначити шукану величину |
|
|
||||||||
|
|
t1 |
t |
R2 a2t4 4s2 14 . |
|
|||||
|
|
2s |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Підставимо числові значення |
|
|
|
|
|
|
||||
t1 |
7c |
( 52 м2 4,6 2 |
м2 / с4 74 c4 |
4 382 м2 )14 |
7с. |
|||||
2 38м |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Відповідь: Задане в умові повне прискорення точки буде досягнуте через 7 с після початку руху.
18
Задача № 2. Колесо обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу задається рівнянням: φ = t+t2+t3 , де кут – у радіанах, час – у секундах. Знайти радіус колеса, якщо відомо, що в кінці другої секунди руху нормальне прискорення точок, які лежать на ободі колеса, дорівнює ап = 346 м/с2.
Дано:
φ = t+t2+t3 t = 2 c
ап = 346
м/с2 R = ?
Розв'язування |
|
Відомо із зв'язку лінійних і обертальних кінематичних величин: |
|
an 2 R. |
(1) |
А кутова швидкість (ω) за означенням дорівнює першій похідній по часу від кута повороту (φ):
|
|
d |
d t t 2 t3 |
dt |
|
d t 2 |
|
d t3 |
1 2 t 3 t |
2 |
. |
(2) |
||||||
dt |
|
dt |
dt |
|
|
dt |
dt |
|
|
|||||||||
З співвідношення (1) знаходимо: |
R |
an |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Підставивши у одержаний вираз (2): |
|
|
|
|
2 |
|
an |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 2 t 3 t2 2 |
|
|
|
|||||||||
Підставивши числові данні, отримаємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
|
346 |
|
|
1,2( м ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: Радіус колеса становить 1,2 м. |
|
|||||||||||||
1 2 2 3 |
22 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|||