4.2.2. Основні залежності для множника ар

Множник АР. В загальному випадку можна очікувати , що ДС множникаАР повинно залежати від 6-ти наступних параметрів

figure ('Color','w');

subplot(2,2,1);xa=0;xb=1; xba=xb-xa;ya=0;yb=1; yba=yb-ya;p=20;

[x, y]=meshgrid(xa:xba/p:xb,ya:yba/p:yb);

for k=[1:6];

if k==1; a=0;

elseif k==2; a=20;

elseif k==3; a=40;

elseif k==4; a=60;

elseif k==5; a=80;

else a=100;

end

surf(x+a,y,(y+1)./(y+1).*x);hold on;

axis([0 100 0 1 0 1.2]);axis off;

title('v, g, \lambda, N, d, h');

end

subplot(2,2,2);

for k=[1:4];

if k==1; a=0;

elseif k==2; a=33;

elseif k==3; a=66;

else k==4; a=99;

end

surf(x+a,y,(y+1)./(y+1).*x);hold on;

axis([0 100 0 1 0 1.2]);axis off;

title('v, N, dn=d/\lambda, hn=h/(2 \pi dn)');

end

subplot(2,2,1);xa=0;xb=1; xba=xb-xa;ya=0;yb=1; yba=yb-ya;p=20;

[x, y]=meshgrid(xa:xba/p:xb,ya:yba/p:yb);

for k=[1:6];

if k==1; a=0;

elseif k==2; a=20;

elseif k==3; a=40;

elseif k==4; a=60;

elseif k==5; a=80;

else a=100;

end

surf(x+a,y,(y+1)./(y+1).*x);hold on;

axis([0 100 0 1 0 1.2]);axis off;

title('v, g, \lambda, N, d, h');

end

subplot(2,2,2);

for k=[1:4];

if k==1; a=0;

elseif k==2; a=33;

elseif k==3; a=66;

elsek==4; a=99;

end

surf(x+a,y,(y+1)./(y+1).*x);hold on;

axis([0 100 0 1 0 1.2]);axis off;

title('v, g, \lambda, N, dn=d/\lambda, hn=h/(2 \pi dn)');

end

а) б)

Рис.4.4. Фактори впливу на множник АР: очікувані (а); реальні (б)

При аналізі вісь АР розміщується (рис.4.3), як правило, вздовж осі OZ, хоча реально в практичних конструкціях вісь АР може бути орієнтована в будь-якому іншому напрямку. У випадку розміщення осі АР згідно рис.4.3 можна очікувати , що ДС множника АР не повинна залежати від кута g, тому що немає причини в даному випадку віддати перевагу одному з кутів g. Крім того, ДС не повинна залежати від абсолютного значення довжин (в даному випадку d, λ) , а лише від нормованих значень dn=d/λ . Також слід очікувати, що ДС буде залежати не від абсолютного значення зсуву фази струму h між сусідніми випромінювачами, а від нормованого зсуву h/2π (відносно його максимального значення 2π). Також ДС повинна залежати від швидкості зміни нормованого зсуву ( відношення нормованого зсуву фаз до нормованої віддалі dn, де відбувся зсув фаз, тобто hn=h/(2πdn)

Як показано далі ( Додаток 4.1), множник АР, яка розміщена вздовж осі OZ, дійсно залежить лише від 4-х параметрів та визначається наступним чином

f_m= sin(u)/sin(u/N) - ненормований (4.3,а)

F_m =f_m/N=sin(u)/[Nsin(u/N)]- нормований (4.3,б)

де u=πNd_n[cos(v)-h_n] - узагальнена кутова координата;

dn=d/λ – нормована віддаль між сусідніми елементами;

hn=h/(2πdn)- нормований зсув фаз між сусідніми елементами.

Отже ДС дійсно залежить від 4-х параметрів АР (рис.4.4,б). Далі будемо, в основному, використовувати нормовану ДС.

Нижче приведено графічне представлення ДС (4.3,б)

figure ('Color','w');subplot(2,1,1); N=7;

xa=-15; xb=15; xba=xb-xa; c=5000; x=[xa:xba/c:xb];

u=pi*x; u1=(u./N);F=abs(sin(u)./(N*sin(u1))); plot(u,F);grid on;

xlabel('u=k*pi'); ylabel('Fm '); axis([xa*pi xb*pi 0 1.2]);

title 'ГП, БП, нульове випромінювання';

Рис.4.5. Залежність Fm(u) для дискретної АР при N=7.

Видно, що в нормованій ДС наявні: головні пелюстки; бокові пелюстки; напрямки нульового випромінювання.

Приведена нормована ДС являється надзвичайно важливою. Саме вона дозволяє отримати відповіль на ряд важливих питань та наглядно визначити:

• умови забезпечення заданого напрямку головного пелюстка;

• умови забезпечення єдиного головного пелюстка, що приводить до покращення функціонування систем безпровідного звязку ;

• область значень узагальненої координати u, яку можна використовувати для конкретної АР з відомими параметрами N,dn, hn.

Напрямки головних пелюстків. З рис.4.5 видно, що функція функція Fm (u) являється періодичною з періодом Nπ. Дана функція досягає (4.3,б) максимального значення у випадку мінімального (нульового) значення знаменника. В результаті прирівнювання до нуля знаменника функції Fm отримаємо умову для наявності головного пелюстка

sin(u_гол/N) =0, або u_гол /N=mπ, або u_гол =mπN (4.4)

де m = (0, +-1, +-2, …), порядок головного пелюстка.

Враховуючи залежність (4.3,б) з умови (4.4) отримаємо напрями головних пелюстків множника АР

u_гол =mπN =πNd_n[cos(v_гол)-h_n]= m=0, +-1, +-2, … (4.5,а)

або cos(v_гол)=m/d_n +hn m=0, +-1, +-2, … (4.5,б)

Переважно в якості головного використовується пелюсток нульового порядку (m=0) для якого напрям визначається(4.5,б) наступним чином

cos(v_гол)= hn = h/(2πdn) (4.6)

Залежність (5.6) має важливе практичне значення. Саме на її основі можна визначити умови для забезпечення заданого напрямку головного пелюстка. Як наслідок можна визначити (табл.4.1) часткові умови для забезпечення характерних напрямків випромінювання нульового пелюстка (m=0) ДС множника АР

Таблиця 4.1

Значення параметру hn для деяких напрямків головного пелюстка нульового порядку

вид випромінювання	кут |v|, град	|hn|
поперечного	|90|	0
поздовжного	0 або 180	1
нахиленого	0<|v|<90 або 90<|v|<180	<1

Залежність (4.6) також вказує на шляхи забезпечення заданого напрямку головного пелюстка вибором:

• різниці фаз струмів (h) в сусідніх елементах АР;

• віддалі (d) між сусідніми елементами;

• довжини хвилі (λ);

Але при практичному застосуванні, особливо при дистанційному управлінні, зміна напрямку головного пелюстка забезпечується, в основному, зміною h.

Напрямки бокових пелюстків. В зв’язку з тим, що при великих значеннях N чисельник залежностей (4.3,а,б) змінюється значно швидше ніж знаменник , то приблизно можна вважати, що БП відповідають екстремальним значенням чисельника (4.3,а,б), тобто

sin(u) =+-1 або u=(2m+1)π/2 (4.7)

З врахуванням значення u (4.,a,б) на основі залежності (4.7) значення напрямків бокових пелюстків

u=(2m+1)π/2 = πNd_n[cos(v_бок)-h_n] або cos(v_бок)= (2m+1) /(2 Ndn) +hn (4.8)

де m=+-1, +-2,…

Напрямки нульового випромінювання. ДС множника АР рівна нулю у випадку рівності нулю чисельника залежності (4.3,а,б)

u=mπ (4.9)

де m=+-1, +-2,…але m/=Np , де р- ціле число.

При виконанні умови m=Np отримаємо не нульове випромінювання, а ГП.

З врахуванням значення u (4.3,а,б) на основі умови (4.9) отримаємо значення напрямку нульового випромінювання

u=mπ= πNd_n[cos(v₀)-h_n] або cos(v₀) =m/(Ndn) +hn (4.10)

де m=+-1, +-2,…

Варто зауважити, що між сусідніми ГП, наявні (N-1) напрямків нульового випромінювання та (N-2) напрямків БП.

Область дійсних кутів. Область кутів для яких виконується умова |cos(v)|<=1 прийнято вважати областю дійсних кутів або областю видимості. Практичний інтерес представляє лише область видимості. З залежності (4.3,б) отримаємо наступні границі області дійсних кутів та можливий діапазон змін даної узагальненої координати

u_макс=πNd_n[1-h_n]; u_мін=-πNd_n[1+h_n] ; u_макс - u_мін =2πNdn=2πNLn (4.11)

Умова наявності одного головного пелюстка. Для визначення умови наявності одного головного пелюстка (переважно нульового порядку, m=0) також можна використати залежність (рис.4.5). При цьому повинні виконуватись (4.3,б) додаткові умови (для пелюстків, сусідніх з нульовим пелюстком, тобто при m=1 та m=-1), при яких наявність даних пелюстків неможлива.

Рис.4.6. До визначення умов наявності одного головного пелюстка нульового порядку при N=7

Такими умовами, з врахуванням співвідношення (4.5,б) є наступні

cos(v_гол)= 1/dn+hn > 1 – при m=1 (4.12,а)

cos(v_гол) =-1/dn+hn <1 – при m=-1 (4.12,б)

На основі залежностей (5.7,а,б) можна отримати умову наявності єдиного головного пелюстка нульового порядку

dn< 1/(1+|hn|) (4.13)

Дана умова являється також однією з найбільш важливих, які характеризують множник АР.

Як наслідок можна визначити (табл.4.2) часткові умови (4.13) для забезпечення єдиного головного пелюстка (нульового, m=0) ДС множника АР

Таблиця 4.2

Значення параметру dn для наявності єдиного головного (нульового) пелюстка

вид випромінювання	|hn|	dn
поперечного	0	<1
поздовжнього	1	<0.5
нахиленого	<1	0.5<dn<1

Таким чином, отримані основні залежності для множника АР.