1.4.2. Прямокутна система

ДС на площині. Відмінність ДС на площині в прямокутній системі (від ДС в полярній системі), полягає в тому, що в них значення кута v відкладається вздовж осі ОХ, а функції f( v) або F(v) – вздовж осі ОY. Основними є наступні 8 варіантів представлення ДС на площині в прямокутній системі

figure ('Color','w');

subplot(2,2,1);

xa=0;xb=0.7; xba=xb-xa;ya=0;yb=500; yba=yb-ya;p=10;

[x, y]=meshgrid(xa:xba/p:xb,ya:yba/p:yb);

surf(x,y,(y+1)./(y+1).*x);hold on;

axis([0 520 0 520 0 1.2]);

xa=0;xb=400; xba=xb-xa;ya=0;yb=1; yba=yb-ya;p=20;

[x, y]=meshgrid(xa:xba/p:xb,ya:yba/p:yb);

surf(x,y+50,(x+1)./(x+1).*y);hold on;

surf(x,y+470,(x+1)./(x+1).*y);hold on;

axis([0 520 0 520 0 1.2]);axis off;

subplot(2,2,2);

xa=0;xb=0.7; xba=xb-xa;ya=0;yb=500; yba=yb-ya;p=10;

[x, y]=meshgrid(xa:xba/p:xb,ya:yba/p:yb);

surf(x,y,(y+1)./(y+1).*x);hold on;

axis([0 520 0 520 0 1.2]);axis off;

xa=0;xb=400; xba=xb-xa;ya=0;yb=1; yba=yb-ya;p=20;

[x, y]=meshgrid(xa:xba/p:xb,ya:yba/p:yb);

surf(x,y+50,(x+1)./(x+1).*y);hold on;

surf(x,y+470,(x+1)./(x+1).*y);hold on;

axis([0 520 0 520 0 1.2]);axis off;

Рис.1.26. Основні види ДС на площині в прямокутній системі

Розглянемо детальніше деякі з вказаних видів.

Нормовані ДС за напруженістю поля в прямокутній системі (на площині). Нижче приведені вказані ДС для деяких типів антен

figure ('Color','w');

Ln=0.625;

subplot(2,3,1);vr=[0:360]; v=vr./360*2*pi; b1=2*pi*Ln; b2=cos(b1);

b3=cos(b1.*cos(v))-b2;b4=(1-b2)*sin(v);f=abs(b3./b4);plot(vr,f);grid on;

axis([0 360 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь CB,Ln=0.625');

for k=[2:3];

if k==2; f=abs(sin(v));

else f=(1+cos(v))./2;

end

subplot(2,3,k);vr=[0:360]; v=vr./360*2*pi; plot(vr,f);grid on;

axis([0 360 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');

end

subplot(2,3,2);title('вісь ДГ');subplot(2,3,3);title('вісь ЕГ');

Рис. 1.27. ДС F(v) в прямокутній системі (СВ, ДГ, ЕГ)

ДС СВ отримані з використанням програми 1.5.

Програма 1.5.

figure ('Color','w');

Ln=0.625;

subplot(2,3,1);vr=[0:360]; v=vr./360*2*pi; b1=2*pi*Ln; b2=cos(b1);

b3=cos(b1.*cos(v))-b2;b4=(1-b2)*sin(v);f=abs(b3./b4);plot(vr,f);grid on;

axis([0 360 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь CB,Ln=0.625');

ДС в прямокутній системі мають деякі переваги, причому основними є наступні:

• можна зменшити діапазон зміни кута v, збільшивши тим розрізнюючу здатність;

• можна представити ДС в логарифмічному масштабі, що корисно у випадку великого перепаду рівнів ГП та БП.

figure ('Color','w');

Ln1=0.625;

subplot(2,2,1);vr=[0:90]; v=vr./360*2*pi; b1=2*pi*Ln; b2=cos(b1);

b3=cos(b1.*cos(v))-b2;b4=(1-b2)*sin(v);f=abs(b3./b4);plot(vr,f);grid on;

axis([0 90 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('CB,Ln=0.625');

subplot(2,2,2);vr=[0:90]; v=vr./360*2*pi; b1=2*pi*Ln; b2=cos(b1);

b3=cos(b1.*cos(v))-b2;b4=(1-b2)*sin(v);f=10*log10(abs(b3./b4));plot(vr,f);grid on;

axis([0 90 -20 0.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|, дБ');title('CB,Ln=0.625');

а) б)

Рис. 1.28. ДС F(v) для СВ в прямокутній системі: лінійний масштаб (а); логарифмічний (б)

На рис.1.28 зменшено діапазон зміни кута v (порівняно з рис.1.25). що дозволило краще розрізнити ГП та БП.

На основі ДС в прямокутній системі також можна визначити ШГП

figure ('Color','w');

Ln=0.625;

subplot(2,3,1);va=0;vb=180; vr=[va:vb]; v=vr./360*2*pi; b1=2*pi*Ln; b2=cos(b1);

b3=cos(b1.*cos(v))-b2;b4=(1-b2)*sin(v);f=abs(b3./b4);plot(vr,f);grid on;

hold on; plot(vr,0.7*(v+1)./(v+1),'LineWidth',2);hold on;

axis([va vb 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь CB,Ln=0.625');

subplot(2,3,2);

va=0;vb=180; vr=[va:vb]; v=vr./360*2*pi; f=abs(sin(v));plot(vr,f);grid on; hold on;

plot(vr,0.7*(v+1)./(v+1),'LineWidth',2);hold on;

axis([va vb 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь ДГ');

subplot(2,3,3);

va=-180;vb=180; vr=[va:vb]; v=vr./360*2*pi; f=(1+cos(v))./2;plot(vr,f);grid on;

hold on;plot(vr,0.7*(v+1)./(v+1),'LineWidth',2);hold on;

axis([va vb 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь EГ');

Рис. 1.29. ДС F(v) в прямокутній системі (СВ, ДГ, ЕГ) – визначення ШГП (2v_0.5)

Для визначення ШГП проведена допоміжна пряма на рівні F(v)=0.7. Її перетин з ДС вказує на ШГП, яка становить: для СВ при Ln=0.625 – 107^о-73^о =34^о; для ДГ– 136^о-44^о =92^о; для ЕГ – 67^о-(-67)=134^о;

ДС за кутовою густиною потужності в прямокутній системі (на площині). Нижче також приведені вказані ДС

figure ('Color','w');

Ln=0.625;

subplot(2,3,1);vr=[0:360]; v=vr./360*2*pi; b1=2*pi*Ln; b2=cos(b1);

b3=cos(b1.*cos(v))-b2;b4=(1-b2)*sin(v);f=abs(b3./b4);plot(vr,f.^2);grid on;

axis([0 360 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь CB,Ln=0.625');

for k=[2:3];

if k==2; f=abs(sin(v));

else f=(1+cos(v))./2;

end

subplot(2,3,k);vr=[0:360]; v=vr./360*2*pi; plot(vr,f.^2);grid on;

axis([0 360 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');

end

subplot(2,3,2);title('вісь ДГ');subplot(2,3,3);title('вісь ЕГ');

Рис. 1.30. ДС F²(v) в прямокутній системі (СВ, ДГ, ЕГ)

Порівнюючи ДС (рис1.25, рис.1.27) видно, що останні є більш вузькими. На основі даних ДС також можна визначити ШГП

figure ('Color','w');

Ln=0.625;

subplot(2,3,1);va=0;vb=180; vr=[va:vb]; v=vr./360*2*pi; b1=2*pi*Ln; b2=cos(b1);

b3=cos(b1.*cos(v))-b2;b4=(1-b2)*sin(v);f=abs(b3./b4);plot(vr,f.^2);grid on;

hold on; plot(vr,0.5*(v+1)./(v+1),'LineWidth',2);hold on;

axis([va vb 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь CB,Ln=0.625');

subplot(2,3,2);

va=0;vb=180; vr=[va:vb]; v=vr./360*2*pi; f=abs(sin(v));plot(vr,f.^2);grid on; hold on;plot(vr,0.5*(v+1)./(v+1),'LineWidth',2);hold on;

axis([va vb 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь ДГ');

subplot(2,3,3);

va=-180;vb=180; vr=[va:vb]; v=vr./360*2*pi; f=(1+cos(v))./2;plot(vr,f.^2);grid on;

hold on;plot(vr,0.5*(v+1)./(v+1),'LineWidth',2);hold on;

axis([va vb 0 1.2]);xlabel('v');ylabel('|f(v)|');title('вісь EГ');

Рис. 1.31. ДС F²(v) в прямокутній системі (СВ, ДГ, ЕГ) – визначення ШГП (2v_0.5)

Для визначення ШГП проведена допоміжна пряма на рівні F(v)=0.5. Її перетин з ДС вказує на ШГП, яка становить: для СВ при Ln=0.625 – 106^о-74^о =34^о; для ДГ– 135^о-45^о =90^о; для ЕГ – 65^о-(-65)=130^о. Отже, значення ШГП (2v_0.5), отримані згідно ДС (рис.1.29 та рис.1.31) повністю співпадають (з точністю до відліку результатів).

Нормовані ДС за напруженістю поля в прямокутній системі (просторові).

Нижче також приведені вказані ДС

figure ('Color','w');

for k=[3 6];

Ln=0.55;

subplot(2,3,k);[v,g]=meshgrid(0:2:360,0:20:360);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3= cos( b1.*cos(v.*pi/180))-b2;

b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);F=abs(b3./b4);surf(v,g,(g+1)./(g+1).*F);hold on;

title 'просторова';grid on; axis([0 360 0 360 0 1.2]);xlabel('v');

ylabel('g');zlabel('|F(v)|');

end

subplot(2,3,3);title 'ДС СВ, Ln=0.625';

subplot(2,3,6);title 'проекція на пл.(|F(v)|,v)';

for k=[1 4];

subplot(2,3,k);[v,g]=meshgrid(0:2:360,0:20:360);v1=v.*pi/180;

F=abs(sin(v1));surf(v,g,(g+1)./(g+1).*F);hold on;

title 'просторова';grid on; axis([0 360 0 360 0 1.2]);xlabel('v');

ylabel('g');zlabel('|F(v)|');

end

subplot(2,3,1);title 'ДС ДГ';

subplot(2,3,4);title 'проекція на пл.(|F(v)|,v)';

for k=[2 5];

subplot(2,3,k);[v,g]=meshgrid(0:2:360,0:20:360);v1=v.*pi/180;

F=(1+cos(v1))./2;surf(v,g,(g+1)./(g+1).*F);hold on;

title 'просторова';grid on; axis([0 360 0 360 0 1.2]);xlabel('v');

ylabel('g');zlabel('|F(v)|');

end

subplot(2,3,2);title 'ДС ЕГ';

subplot(2,3,5);title 'проекція на пл.(|F(v)|,v)';

Рис.1.32. ДС F(v) в прямокутній системі (СВ, ДГ, ЕГ), просторова та її проекції на площину (v, |F(v)|)

Фактично проекція просторової ДС F(v) в прямокутній системі на площину (|F(v)|, v) автоматично формує ДС на площині, яку немає необхідності будувати додатково.

Нормовані ДС за напруженістю поля в прямокутній системі (просторові) та визначення ШГП. Використовуючи просторові ДС в прямокутній системі можна просто визначити ШГП

figure ('Color','w'); Ln=0.5;

for k=[1:3];

if k==1; Fa=0.7;a=20;

elseif k==2; Fa=0.7;a=500;

else Fa=0.7;a=500;

end

va=0;vb=360; vba=vb-va;

subplot(2,3,k);[v,g ]=meshgrid(va:vba/a:vb, va:vba/a:vb);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3=cos(b1.*cos(v.*pi/180))-b2;b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);

F=(g+1)./(g+1).*(abs(b3./b4)); surf(v,g,F);hold on;

Fd=Fa*(v+1)./(v+1).*(g+1)./(g+1); surf(v,g,Fd);

xlabel('v');ylabel('g ');

zlabel('|F(v)|');axis([0 360 0 360 0 1.2]);

end

subplot(2,3,1);title('ДС, площина F(v)=0.7');

subplot(2,3,2);title('ДС, площина F(v)=0.7');

subplot(2,3,3);title('ДС, площина F(v)=0.7');axis([50 130 0 360 0 1.2]);

а) б) в)

Рис.1.33. ДС СВ при Ln =0.5 (просторова, в прямокутній системі, з допоміжною площиною ) та її проекція на площину (v - |F(v)| ) при різних масштабах (б, в)

Якщо на нормованій просторовій ДС за напруженістю поля в прямокутній системі провести допоміжну площину на рівні F(v)=0.7, то можна отримати значення ШГП (2v_0.5). Для цього необхідно виконати проекцію просторової ДС на площину (v - F(v) ). Перевагою використання ДС в прямокутній системі для точнішого визначення ШГП є те, що по осі v можна змінювати масштаб (рис.1.33.б та рис.1.33,в) забезпечуючи необхідну розрізнючу здатність. Для аналогічних ДС в сферичній системі така зміна масштабу є неможливою.

Комбінована ДС в прямокутній системі. Як і для ДС в сферичній системі (рис.1.25) для ДС в прямокутній системі також можна сформувати комбіновані ДС

figure ('Color','w');

a=20; va=0;vb=180; vba=vb-va;Lna=0.1;Lnb=0.101;

Lba=Lnb-Lna; subplot(2,3,1);[v,Ln ]=meshgrid(va:vba/a:vb, Lna:Lba/a:Lnb);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3=cos(b1.*cos(v.*pi/180))-b2;b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);

F=abs(b3./b4); surf(v,Ln,F);hold on;axis([0 180 0.1 0.65 0 1.2]);ylabel('Ln ');

a=20; va=0;vb=180; vba=vb-va;Lna=0.5;Lnb=0.501;

Lba=Lnb-Lna; subplot(2,3,1);[v,Ln ]=meshgrid(va:vba/a:vb, Lna:Lba/a:Lnb);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3=cos(b1.*cos(v.*pi/180))-b2;b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);

F=abs(b3./b4); surf(v,Ln,F);hold on;axis([0 180 0.1 0.65 0 1.2]);ylabel('Ln ');

a=20; va=0;vb=180; vba=vb-va;Lna=0.65;Lnb=0.6501;

Lba=Lnb-Lna; subplot(2,3,1);[v,Ln ]=meshgrid(va:vba/a:vb, Lna:Lba/a:Lnb);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3=cos(b1.*cos(v.*pi/180))-b2;b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);

F=abs(b3./b4); surf(v,Ln,F);hold on;axis([0 180 0.1 0.65 0 1.2]);ylabel('Ln ');

a=20; va=0;vb=180; vba=vb-va;Lna=0.5;Lnb=0.501;

Lba=Lnb-Lna; subplot(2,3,2);[v,Ln ]=meshgrid(va:vba/a:vb, Lna:Lba/a:Lnb);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3=cos(b1.*cos(v.*pi/180))-b2;b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);

F=abs(b3./b4); surf(v,Ln,F);hold on;axis([0 180 0.1 0.65 0 1.2]);ylabel('Ln ');

a=20; va=0;vb=180; vba=vb-va;Lna=0.1;Lnb=0.65;

Lba=Lnb-Lna; subplot(2,3,3);[v,Ln ]=meshgrid(va:vba/a:vb, Lna:Lba/a:Lnb);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3=cos(b1.*cos(v.*pi/180))-b2;b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);

F=abs(b3./b4); surf(v,Ln,F);hold on;axis([0 180 Lna Lnb 0 1.2]);ylabel('Ln ');

а) б) в)

Рис. 1.34. Комбінована ДС F(v) для СВ в прямокутній системі: її перерізи при Ln=const (a); проекція одного з перерізів на площину «v-|F(v)|» (б); просторова (в)

Але неоціненною перевагою комбінованих ДС в прямокутній системі є те, що на їх основі можна визначити динаміку зміни ШГП від Ln, тобто залежність 2v_0.5=f(Ln).

figure ('Color','w');

subplot(2,2,1); a=20; va=0;vb=180; vba=vb-va;Lna=0.01;Lnb=0.7;

Lba=Lnb-Lna; [v,Ln ]=meshgrid(va:vba/a:vb, Lna:Lba/a:Lnb);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3=cos(b1.*cos(v.*pi/180))-b2;b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);

F=abs(b3./b4); surf(v,Ln,F);hold on;

surf(v,Ln,0.7*v./v.*Ln./Ln);hold on;

axis([0 180 Lna Lnb 0 1.2]);xlabel('v ');ylabel('Ln ');

zlabel('|F(v)|');

subplot(2,2,2); a=200; va=0;vb=180; vba=vb-va;Lna=0.01;Lnb=0.7;

Lba=Lnb-Lna; [v,Ln ]=meshgrid(va:vba/a:vb, Lna:Lba/a:Lnb);

b1=2*pi*Ln;b2=cos(b1);b3=cos(b1.*cos(v.*pi/180))-b2;b4=(1-b2).*sin(v.*pi/180);

F=abs(b3./b4); surf(v,Ln,F);hold on;

a=20; va=0;vb=180; vba=vb-va;Lna=0.1;Lnb=0.7;

Lba=Lnb-Lna; [v,Ln ]=meshgrid(va:vba/a:vb, Lna:Lba/a:Lnb);

surf(v,Ln,0.7*v./v.*Ln./Ln);hold on;

axis([0 180 Lna Lnb 0 1.2]);xlabel('v ');ylabel('Ln ');

zlabel('|F(v)|');

а) б)

Рис. 1.35. Комбінована ДС F(v) для СВ в прямокутній системі та її перетин площиною при F(v) =0.7 (a); проекція на площину «v –Ln |» (б)

Таким чином, комбінованою ДС є можливість отримання на її основі графічної залежності 2v_0.5=f(Ln), приведеної на рис. 1.35,б.