Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-12

Означення 1. Частинною похідною функції

z = f ( x1,..., xm )

за аргументом (змінною)

xk

називається

скінченна границя (якщо вона існує) відношення частинного приросту Dxk z

до приросту аргумента Dxk ,

якщо Dxk ® 0 , тобто

f ( x ,..., x

)

- f ( x ,..., x

)

Dx z

, x

+ Dx , x

,..., x

,..., x

lim

k

= lim

1

k -1

k

k k +1

m

1

k

m

.

Dxk

Dxk

Dxk ®0

Dxk ®0

¶z

¶f

; z¢xk ; fx¢k

¶z

Застосовують наступні позначення частинної похідної:

;

. Позначення

на відміну

¶x

¶x

k

¶x

k

k

Геометричний зміст частинних похідних. Нехай функція двох змінних

z = f (

x, y)

має

частинні

похідні в точці ( x0 , y0 ) . Проведемо площину y = y0 , яка паралельна до координатної площини

Oxz . Тоді

fx¢( x0 , y0 )

є кутовим коефіцієнтом дотичної до лінії перетину поверхні z =

f ( x, y)

і площини

y = y0 в точці

( x0 , y0 ) ,

тобто тангенсом кута нахилу цієї дотичної до додатного

напряму осі

Ox .

Аналогічно,

f y¢( x0 , y0 )

є кутовим коефіцієнтом дотичної, що проходить через точку

( x0 , y0 ) , до

кривої, яка

утворюється в результаті перетину поверхні z = f ( x, y) з площиною x = x0 .

Зауваження. Із означення частинних похідних випливає, що при обчисленні частинних похідних

змінної. Треба лише пам’ятати, що при знаходженні частинної похідної за змінною xk

всі інші змінні

вважаються сталими.

Приклад. Знайти частинні похідні функцій:

xy2 ) ; 3) z = xy + yx + x - 2y .

1)

z = ln (

x2 + 3y2 ) ;

2) z = x arctg(

Розв’язання.

1)

¶z

=

2x

,

¶z

=

6 y

;

x

2

2

¶y

x

2

+ 3y

2

¶x

+ 3y

2)

¶z

= arctg( xy

2

)

+

xy2

,

¶z

= x

2xy

=

2x2 y

;

¶x

1+ x

2

y

4

¶y

1

+ x

2

y

4

1+ x

2

y

4

3)

¶z

= yx y-1 + yx

ln y +1 ,

¶z

= x y ln x + xy x-1 - 2 .

¶x

¶y

2. Диференційовність функції декількох змінних.

Означення 2. Функція

z = f (

x1,..., xm )

називається диференційовною в точці

M ( x1,..., xm ) , якщо її

повний приріст Dz можна подати у вигляді

Dz = A1Dx1 + A2Dx2 + ... + AmDxm + a1Dx1 + ... + amDxm ,

де A1,..., Am Ρ , a1,...,am

– нескінченно малі функції при Dx1 ® 0,...,Dxm ® 0 .

Теорема 1. Якщо функція z = f ( x1,..., xm )

диференційовна в точці M ( x1,..., xm ) , то в точці M існують

¶z

,K,

¶z

¶z

=

Ai

частинні похідні

, причому

, i =1, m .

¶x

¶x

¶x

Доведення.

1

m

i

Нехай Dz ( M )

= f (

x1 + Dx1 ,..., xm + Dxm ) - f (

x1,..., xm ) = A1Dx1 + A2Dx2 + ... + AmDxm + a1Dx1 + ... + amDxm ,

де

A1,..., Am Ρ ; a1,...,am

– нескінченно малі функції при Dx1 ® 0,...,Dxm ® 0 . Покладемо

Dx

= Dx

= ... = Dx

= Dx

= ... = Dx = 0 . Тоді Dx z (

M ) = AiDxi + ai Dxi , звідки

Dx z ( M )

= A + a

і

i

i

1

2

i-1

i+1

m

i

Dxi

i

¶z ( M )

= lim

Dx

z ( M )

= Ai .

i

¶xi

Dxi ®0

Dxi

Зауваження. Для функції однієї змінної твердження щодо її диференційовності та існування похідної є

рівносильними. У випадку функції декількох змінних ми маємо інше: існування частинних похідних –

необхідна умова диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою диференційовності. Для

диференційовності функції у точці недостатньо тільки існування частинних похідних – потрібно

додатково вимагати неперервності частинних похідних.

можна записати в такій формі:

Наслідок. Умову диференційованості функції в точці M

Dz =

¶z

Dx1

+ ... +

¶z

Dxm + o( r ) , де

r = Dx

2 + ... + Dx 2 .

¶xm

¶x1

1

m

Теорема 2. Якщо функція z = f (

x1,..., xm )

диференційовна в точці M ( x1,..., xm ) , то вона неперервна цій

dz = A1Dx1 + ... + AmDxm .

Оскільки Dxi

= dxi ( dxi

називають диференціалом незалежної змінної xi ), то

dz =

¶z

dx1 +

¶z

dx2 + ... +

¶z

dxm .

¶x2

¶xm

¶x1

Доданкки dzxi

=

¶z

dxi , i =

називають частинними диференціалами функції z = f ( x1,..., xm ) .

1, m

¶xi

3. Диференціювання складеної функції.

Нехай

на

деякій

множині

D

визначена

складена

функція

z

= f ( x1,..., xm ) , де

x1 = x1 ( t1 ,...,tk ) ,

x2 = x2 ( t1 ,...,tk ) ,..., xm = xm

( t1,...,tk )

,

і

нехай

функції

x

( t

,...,t

k

) , i =

1,m

, мають у деякому околі точки

( t1,...,tk ) Î D

неперервні

частинні

похідні

за

змінними

t1

,...,tk , а

функція z

= f

( x1,..., xm ) – неперервні

частинні

похідні

за

змінними

x1

,..., xm

в деякому околі точки

( x1

( t1,...,tk ) ,..., xm (

t1,...,tk ) )

. Тоді складена

функція z = f

( x1 ( t1 ,...,tk ) ,..., xm ( t1

,...,tk ) )

диференційовна в точці

( t1,...,tk ) , причому

¶z

=

¶z

× ¶x1

+

¶z

×

¶x2

+ ... +

¶z

×

¶xm

,

¶t

¶x

¶x

¶t

¶x

2

¶t

m

¶t

1

1

1

1

1

....................................................................

¶z

=

¶z

× ¶x1

+

¶z

×

¶x2

+ ... +

¶z

×

¶xm

.

¶t

¶x

¶x

k

¶t

k

¶x

2

¶t

k

m

¶t

k

1

Приклад. Обчислити

¶z

,

¶z

, якщо z = ex2 +3 y2 , x = sin ( t1t2 ) ,

y = t12 .

¶t2

Розв’язання.

¶t1

¶z

= ¶z

×

¶x

+

¶z

× ¶y = ex2 +3 y2 2x × cos( t1t2 ) t2 + ex2 +3 y2 6 y × 2t1 = 2ex2 +3 y2 ( xt2 cos( t1t2 )

+ 6yt1 ) ,

¶y

¶t1

¶x

¶t1

¶t1

¶z

= ¶z ×

¶x

+ ¶z ×

¶y

= ex2 +3 y2 2x × cos(

t t

)

t

+ ex2 +3 y2 6 y × 0 = 2xt ex2 +3 y2

cos( t t

)

.

¶t2

¶x ¶t2

¶y ¶t2

1 2

1

1

1 2

z = f ( x1 ( t ) ,..., xm ( t ) ) є функцією однієї

Зауваження. Якщо

z = f ( x1,..., xm )

, а

x1 = x1 ( t ) ,..., xm = xm ( t )

, то

змінної t . Тоді

dz ¶z

dx1

¶z

dx2

¶z

dxm

...+

dt

=

¶x

×

dt

+

¶x

×

dt

+

¶x

×

dt

.

1

2

m

Розв’язання.

Оскільки

F ( x, y) = y5 + 2x2 y2 + xy - 42 , то

¶F

= 4xy2 + y ,

¶F

= 5y4 + 4x2 y + x . Тоді

¶y

¶x

y¢x

dy

¶F ¶x

4xy2 + y

. У точці x =1 , y = 2

dy

= -

4 ×1×22 + 2

= -

18

= dx

= -

= -

маємо

dx

89 .

x=1

5× 24

+ 4 ×12 × 2 +1

¶F ¶y

5y4 + 4x2 y + x

¶z

¶z

3

y=2

Приклад. Знайти ¶x ,

¶y

, якщо z

- 3xyz = 5 .

¶F

Розв’язання. Тут F ( x, y, z)

= z3 - 3xyz - 5 , тому

¶F

= -3yz ,

= -3xz ,

¶F

= 3z2 - 3xy

і

¶y

¶z

¶z

-3yz

yz

¶z

-3xz

xz

¶x

= -

=

,

= -

=

.

¶x

3z2 - 3xy

z2 - xy

¶y

3z2 - 3xy

z2 - xy

4. Інваріантність форми першого диференціала.