Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-15

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

220.36 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекція 15. Основні класи інтегровних функцій.

В диференціальному численні було показано, що похідна будь-якої елементарної функції також є елементарною функцією, тобто операція диференціювання не виводить нас з класу елементарних функцій.

За теоремою Коші неперервна на інтервалі ( a;b) функція є інтегровною на цьому інтервалі. Проте теорема

не стверджує, що первісну можна виразити через елементарні функції. Часто інтеграли від елементарних функцій вже не належать до цього класу, тобто не виражаються через елементарні функції. До таких

інтегралів відносяться, наприклад, òe- x2 dx , ò sinx x dx , òcos x2dx , ò lndxx та інші. Важливо зауважити, що всі

вони існують, але виражаються через інші функції, що не є елементарними. Відомо відносно небагато класів елементарних функцій, результатом інтегрування яких є елементарна функція. Зупинимося на таких класах функцій.

1. Інтегрування деяких класів функцій, що містять квадратний тричлен.

Розглянемо методику обчислення деяких інтегралів, що містять у знаменнику квадратний тричлен:

I1 = ò

I2 = ò

ax2 + bx + c

I3 = ò

( Ax + B) dx

I4 = ò

( Ax + B) dx

де a,b,c Î ¡ , a ¹ 0 .

ax2 + bx + c

Спочатку перетворимо квадратний тричлен, виділивши у ньому повний квадрат:

c ù

b ö2

b ö2 ù

éæ

b ö2

+ bx + c = a êx

x +

= a êx

+ 2x

+ ç

- ç

= a êç x +

± k

a û

2a ø

êè

2a ø

де

= ±k2 , k > 0 , причому знак "+" чи "–" вибирається залежно від того, додатним чи від’ємним є

4a2

число

4a2

I1 = ò

= a

Таким

чином, інтеграл

ax2 + bx + c

ö2

2 . Якщо в останньому інтегралі зробити

ç x +

± k

заміну змінних x +

= z , dx = dz

, то отримаємо табличні інтеграли

I1 = 1

arctg

+ C =

arctg

+ C

ò z2 + k2

або

z - k

x +

- k

I1 = a ò

+ C =

+ C .

z2 - k 2

2ak

z + k

2ak

x +

+ k

Зауваження. Якщо

= 0 , то I1 = a

ò z2

= -

+ C = -

+ C .

4a2

Приклад. Обчислити інтеграл ò

x2 - 8x + 23

d ( x - 4)

Розв’язання. ò

= ò

x - 4

arctg

+ C .

x2 - 8x + 23

( x - 4) 2 + 7

(

x - 4) 2 + (

Розглянемо інтеграл

= ò

. За допомогою перетворень, зроблених для I1 , цей інтеграл

+ bx + c

(залежно від знаку коефіцієнта a ) зводиться до одного з табличних інтегралів:

k ¹ 0 або ò

= ln

z +

± k

+ C , якщо a > 0 ,

= arcsin

+ C

, якщо a < 0 , k ¹ 0 .

± k

- z

Якщо ж k = 0 , то

I2 =

= ±

1 ln

+ C = ±

1 ln

x +

+ C .

a ò

Приклад. Обчислити інтеграл ò

5 + 4x - 4x

= 1

= 1 arcsin

x -

+ C = 1 arcsin 2x

Розв’язання.

+ C

5 + 4x - 4x2

+ x - x

ö2

- ç x

випадку інтегралів

I3 = ò

( Ax + B) dx

= ò

( Ax + B) dx

чисельнику

підінтегральної

функції

ax2 + bx + c

виділяємо похідну квадратного тричлена ax2 + bx + c і розкладаємо даний інтеграл на суму двох інтегралів. Зокрема, для інтеграла I3 робимо такі перетворення:

Ax + B

( 2ax + b) + B -

2ax + b

Ab ö

dx =

dx + ç B -

ò ax

+ bx + c

2a ò ax

+ bx + c

ò ax

+ bx + c

2a ø

Другий

інтеграл

інтегралом

типу I1 ,

першому

внесемо

2ax + b

під знак

диференціала

( 2ax + b)

dx = d ( ax2 + bx + c) та зробимо заміну змінних ax2 + bx + c = z :

2ax + b

=ò

( ax2 + bx + c)

= ò

= ln

+ bx + c

+ C .

Отже,

ax2 + bx + c

Ax + B

Ab ö

I3 =

dx =

+ bx + c

ç B -

÷ I1 .

ò ax

+ bx + c

2a ø

Приклад. Знайти інтеграл ò

4x - 3

dx .

x2 - 5x - 7

d ( x2 - 5x - 7)

Розв’язання. ò

4x - 3

dx = ò

( 2x - 5) + 7

dx = 2ò

2x - 5

dx + ò

dx = 2ò

5x - 7

- 5x - 7

- 5x

- 7

- 5x - 7

ç x -

2x - 5 - 53

+7ò

= 2ln

- 5x -

+ C .

ö2

2x - 5 +

ö2

ç x -

- ç

Інтеграл

I4 =

( Ax + B) dx

за

допомогою

перетворень,

аналогічних

як

і для

I3 ,

зводиться до

ax2 + bx + c

табличного інтеграла ò

= 2

+ C

та інтеграла типу I2 .

Приклад. Обчислити інтеграл ò

3x - 2

dx .

+ 4x -1

3x - 2

( 2x + 4) - 8

d ( x2 + 4x -1)

d ( x + 2)

Розв’язання. ò

dx = ò

dx = 2

- 8ò

+ 4x - 1 -

x2 + 4x -1

x + 2 2 - 5

-8ln

x + 2 +

x + 2 2 - 5

+ C .

2. Інтегрування раціональних дробів.

Розвинення раціонального дробу у суму простих дробів.

Нагадаємо означення дробово-раціональної функції.

Означення 1. Відношення двох многочленів R( x) = Pm (( x)) , де Qn x

Pm ( x) = b0 xm + b1xm-1	m
Pm ( x) = b0 xm + b1xm-1	+ ... + bm = åbj xm- j ,
	j=0

Qn ( x) = c0 xn + c1xn-1 + ... + cn = åci xn-i ,

b0 ,c0 ¹ 0 , ci ,bj Î R , m ³ 1, n ³ 1,

i =

j =

називається

1,n,

1,m

i=0

дробово-раціональною функцією або раціональним дробом.

Pm ( x)

Зауваження. Вважаємо, що многочлени

Pm ( x) , Qn ( x) не мають спільних коренів, тобто дріб

Qn ( x)

нескоротним.

Pm ( x)

Якщо степінь чисельника менший

від

степеня знаменника ( m < n) ,

то дріб

називається

Qn ( x)

правильним, в іншому випадку ( m ³ n)

дріб називається неправильним.

Якщо дріб неправильний, то діленням чисельника на знаменник його можна подати у вигляді суми

многочлена степеня m - n і правильного дробу:

Pm ( x)

= Mm-n (

x) +

Rk (

, ( k < n) .

Qn ( x)

Qn (

Згідно з основною теоремою алгебри довільний многочлен степеня n можна подати у вигляді добутку

Qn ( x) = c0 (

x - a1 ) k1 ...(

x - as ) ks ( x2 + p1x + q1 )l1 ...(

x2 + pt x + qt )lt ,

(1)

де k + ... + k

+ 2(

+ ... + l )

= n ,

2 - 4q < 0,

i = 1,2,...,t , s,t Î ¥ .

Означення 2.

Bx + C

Раціональні

функції

вигляду

( x2 + px + q)k

, де

( x - a) k

x - a

x2 + px + q

A, B,C, p,q Î R ,

k Î ¥ \ {1}

і квадратний

тричлен

x2 + px + q

не

має дійсних

коренів, називаються

простими дробами.

Pm ( x)

Теорема 1. Правильний раціональний дріб

єдиним чином можна подати у вигляді суми простих

Qn ( x)

дробів. Кожному множнику вигляду ( x - a) k

у розкладі (1) знаменника правильного дробу відповідає сума k

простих дробів вигляду

+ ... +

x - a

( x - a)

Кожному множнику вигляду

(

x2 + px + q)l

у розкладі (1) знаменника правильного дробу відповідає сума

l простих дробів

B1x + C1

B2 x + C2

Bl x + Cl

+ ... +

x2 + px + q

(

x2 + px + q)2

( x2 + px + q)l

Для визначення невідомих коефіцієнтів

Ai , Bi ,Ci дріб

Pm ( x)

зображають у вигляді суми простих дробів

Qn (

на основі теореми 1, які зводять до спільного знаменника

Qn ( x) . Прирівнюючи чисельники, отримуємо

зліва многочлен степеня m ( m < n) , а справа – степеня n -1

з невідомими коефіцієнтами, вираженими

через Ai , Bi ,Ci . З рівності вказаних многочленів отримуємо невідомі коефіцієнти.

Приклад. Розвинути дріб

-10x2 + 6x - 3

у суму простих дробів.

x4 + 3x2

Розв’язання. Цей дріб є неправильним ( m = 6, n = 4 ), тому діленням чисельника на знаменник подамо його у вигляді суми многочлена і правильного дробу:

x6 - 10x2 +6x - 3	= x2 - 3+	- x2 +6x - 3 .
x4 +3x2
		x4 +3x2

Зобразимо дріб з правої частини рівності у вигляді суми простих дробів. Для цього розкладемо на

множники його знаменник:

+3x2 = x2

(

кратності 2 , якому

) . Знаменник має дійсний корінь

відповідають прості дроби

; множнику x

відповідає простий дріб вигляду

Bx +C

. Зводячи

прості дроби до спільного знаменника, матимемо

(

+3 + A

x2 +3 +

(

Bx +C

)

- x

+6x - 3

Bx +C

A x

)

2 (

)

x4 +3x2

= x + x2 + x2 +3 =

x4 +3x2

Прирівнюючи чисельники лівої і правої частин рівності, отримаємо

(

)

(

)

2 (

)

Bx +C

- x2 +6x - 3 = A x

2 +3

+ A

x2 +3

Для знаходження невідомих A1 ,

A2 ,

B , C можна або прирівнювати коефіцієнти при однакових степенях

змінної x в лівій і правій частині

останньої

рівності або надавати змінній х

почергово чотири різні

значення. Підставляючи у рівність замість

числа 0,1, - 1, 2 , отримаємо систему чотирьох

рівнянь з

чотирма невідомими

4A1

+4 A2 + B +C = 2,

1 +

2 -

10,

îï 14A1 +7A2 +8B +4C = 5,

розв’язком якої є A1 = 2, A2 =- 1, B =- 2, C = 0 . Таким чином,

x6 - 10x2 +6x - 3

= x

2 - 3+

2 -

x2 +3

x4 +3x2

Інтегрування простих дробів.

Щоб обчислити інтеграл від правильного раціонального дробу ò

Pm (

dx,

m < n

, необхідно вміти:

Qn (

1)розвивати раціональні дроби у суму простих дробів;

2)інтегрувати прості дроби.

Розв’язанню першої із задач був присвячений попередній пункт; у цьому пункті ми розв’яжемо другу

задачу.

Bx + C

( k = 2,3...)

Розглянемо інтегрування простих дробів вигляду

( x2 + px + q)k

( x - a) k

x2 + px + q

x - a

Очевидно,

що

dx = Aln

x - a

+ C ,

( x - a)

1-k

+ C

( k = 2,3...) .

Питання про

( x - a) k

1- k

x - a

Bx + C

знаходження

інтеграла ò

вже

розглядалось.

Для

знаходження

інтеграла вигляду

+ px + q

Bx + C

потрібно виділити в чисельнику похідну квадратного тричлена

x2 + px + q , розкласти

( x

+ px + q)

даний інтеграл на суму двох інтегралів і використати рекурентну формулу:

p ö

ç x +

2k - 3

Ik = ò

2 ø

Ik -1 ,

k = 2,3... .

( x

+ px + q)

( x2 + px + q)

k -1

ç q -

÷( k -1)

2ç q -

( k -1)

(пропонуємо довести рекурентну формулу самостійно, застосувавши формулу інтегрування частинами).

Інтегрування раціональних дробів.

Алгоритм інтегрування раціональних дробів Pm (( x)) :

Qn x

1) вияснити, чи дріб Pm (( x)) є правильним. Якщо дріб неправильний, то виділити його цілу частину; Qn x

2)розвинути правильний дріб у суму простих дробів;

3)знайти інтеграли від виділеної цілої частини і всіх простих дробів і записати суму інтегралів.

Розглянемо деякі частинні випадки.

Знаменник має лише дійсні різні корені:

Qn ( x) = c0 ( x - a1 ) ( x - a2 ) ...( x - an ) .

У цьому

випадку

дріб

Pm ( x)

розвинемо

у суму

простих дробів

вигляду

( i = 1,2,..., n) і

Qn ( x)

x - ai

інтегруємо:

( x)

dx = òçç

+ ...

÷dx = A1 ln

x - a1

+ A2 ln

x - a2

+ ... + An ln

x - an

+ C .

( x)

x - a

n ø

Приклад. Обчислити інтеграл ò

2х -1

dx .

- х

- 6х

Розв’язання. Розвинемо підінтегральну функцію у суму простих дробів:

2x -1

Aх - 3 х + 2

)

+A x х + 2

)

+A x х - 3

)

1 (

) (

(

х3 - х2 - 6х

х( х - 3) ( х + 2)

x - 3

x + 2

х( х - 3) ( х + 2)

звідки

2x -1 = Aх - 3 х + 2

)

+A x х + 2

)

+A x х - 3

) .

(

) (

(

Знайдемо невідомі коефіцієнти A1 , A2 , A3 , надаючи змінній x

значення коренів знаменника:

x = 0 :

-1 = -6A Þ A = 1

;

x = 3 :

5 =15A Þ A = 1 ;

x = -2 :

-5 = 10A Þ A = - 1 .

Отже,

æ 1

2х -1

dx =

÷ dx

x -

x +

+ C .

- х

6х

ç x

x - 3

x + 2 ÷

Знаменник має лише дійсні корені, причому деякі з них кратні:


Qn ( x)	= c0 ( x - a1 ) k1 ( x - a2 ) k2 ...( x - as ) ks ,		k1 + k2 + ... + ks		= n .
У цьому	випадку підінтегральна функція		розвивається		у суму простих дробів вигляду	Ai+ j -1
						( x - ai ) j
( i =1,2,..., s,	j =1,2,...,ki ) .
Приклад. Обчислити інтеграл ò		x2 - 2x		dx .
		( x -1) 2 ( x + 3)

Розв’язання. Розвинемо підінтегральну функцію у суму простих дробів і знайдемо невідомі

коефіцієнти:		x - 2x						A1		A2				A3			1 (	) (		)		2 (			) 3 (	)
		2															Aх -1х			+ 3 +A х				+ 3 +A х		-1	2
		2				=			+			+			=													,

	( x	-1)	2	(	x + 3)			x -1		( xх-1)	2		x + 3							( -1)		2	(	+ 3)
	( x	-1)		(	x + 3)					( xх-1)		х				)	2 (		)	( -1)			(	+ 3)
							x2 - 2x			1 (		) (				)	2 (		)	3	(		)	2 ;
							x2 - 2x			= Aх	-1х			+ 3			+A х	+ 3		+A х		-1		2 ;
x = 1 :	-1 = 4A2				Þ A2		= - 1		Î;
							4

x = -3 : 15 = 16A3 Þ A3 = 1516 ;

x = 0 : 0 = -3A1 + 3A2 + A3 Þ A1 = A2 + 13 A3 = - 14 + 165 = 161 . Перейдемо до обчислення інтегралу:

ò ( x2)-(2x ) dx = 1 ò dx - 1 ò ( dx ) + 15 ò dx = 1 ln x -1 + 1 × 1 + 15 ln x + 3 + C . x -1 2 x + 3 16 x -1 4 x -1 2 16 x + 3 16 4 x -1 16

Знаменник має комплексні прості корені.

У цьому випадку Qn ( x) = c0 ( x - a1 ) k1 ...( x - as ) ks ( x2 + p1x + q1 ) ...( x2 + pt x + qt ) , k1 + ... + ks + 2t = n .

Приклад. Обчислити інтеграл ò	x4	- 3x3 + 4			dx .
		x	3	+ 2x

Розв’язання. Цей дріб є неправильним ( m = 4, n = 3 ), тому діленням чисельника на знаменник подамо

його у вигляді суми многочлена і правильного дробу:

x4 - 3x3 + 4

= x - 3 +

- 2x2 +6x +4 .

x3 + 2x

Тепер розвинемо правильний дріб

- 2x2 +6x +5

у суму простих дробів і знайдемо невідомі коефіцієнти:

x3 +2x

+ Bх(

Aх

+ 2

-2x

+ 6x + 4

-2x

6x + 4 =

Bx + C =

(

)

x3 + 2x

x2 + 2)

x2 + 2

(

)

+Bх( +C x)

-2x2 + 6x + 4 = Aх

+ 2

Надамо змінній х почергово три

довільні

різні значення. Наприклад,

якщо

x = 0 , x =1, x =- 1, то

отримаємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими

ïì

2A = 4,

= 8,

í 3A+ B

- C

=- 4,

îï 3A+ B

розв’язком якої є A = 2, B =- 4,

C = 6 . Таким чином,

x4 - 3x3 + 4

= x - 3+ 2 + - 4x +6

x3 + 2x

звідки

x2 +2

x4 - 3x3 + 4

-4x + 6 ö

dx =

ç x -

3 +

÷dx =

- 3x + 2ln

- 2ln

+ 2

2 arctg

+ C .

+ 2x

Знаменник має комплексні кратні корені.

Qn ( x) = c0 ( x - a1 ) k1 ...( x - as ) ks

( x2 + p1x + q1 )l1 ...( x2 + pt x + qt )lt ,

k1 + ... + ks + 2( l1 + ... + lt ) = n .

Bx + C

У цьому випадку серед простих

дробів підінтегральної функції

дроби вигляду

( x2 + px + q)k

інтеграли від яких обчислюються із застосуванням рекурентної формули.

Приклад. Обчислити інтеграл ò

3x -1

dx .

( x

+ 2x + 5)

Розв’язання. Виділимо в чисельнику похідну від квадратного тричлена

x2 + 2x + 5 і розвинемо інтеграл

у суму двох інтегралів:

3 ( 2x + 2) - 4

3x -1

2x + 2

dx = ò

dx =

dx - 4ò

( x2 + 2x + 5)2

Перший інтеграл обчислюємо заміною змінної, а другий – за рекурентною формулою:

2x + 2

x2 + 2x + 5 = t,

dx =

( 2x + 2) dx = dt

= ò t2

= - t

+ C = -

+ C ,

( x2 + 2x + 5)2

x2 + 2x + 5

x +1

(

x +1

= ò

+ 8 I1

+ 8

(

+ 2x

+ 5)

(

2 + +

)

(

2 + +

)

+ 2x + 5

(

+ +

)

(

x 2x

)

x +1

arctg

x +1

+ C .

8( x2 + 2x + 5)

Отже,

3x -1

x +1

x + 4

x +1

dx = -

4 arctg

+ C = -

4 arctg

+ C .

( x2 + 2x + 5)2

x2 + 2x + 5)

2( x2 + 2x + 5)

3. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

Обчислення інтегралів вигляду ò R( sin x,cos x) dx , де R – раціональна функція.

Інтеграли зазначеного виду зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою так званої

універсальної тригонометричної підстановки tg 2x = t . У результаті цієї підстановки маємо:

2sin

cos

2sin

cos

2tg

sin x =

;

sin

+ cos

2 x

1+ tg

2 x

1+ t2

cos

- sin

cos

- sin

1- tg

1- t2

cos x =

1+ t2 .

sin

+ cos

1+ tg

Враховуючи, що x = 2arctg t

і dx =

2dt

, отримаємо

1+ t2

,1- t

2 ö

ò R( sin x,cos x) dx = ò Rç

dt = ò R1 ( t ) dt ,

1+ t

ø1+ t

де

R (

t) = R æ

,1- t2 ö

– раціональна функція.

1+ t

1 + t

+ t

Приклад. Обчислити інтеграл ò

3 + 5sin x

Розв’язання. Для обчислення інтегралу зробимо універсальну тригонометричну підстановку:

2dt

= ò

2dt

= t, sin x =

= 3

3 + 5sin x

1+ t2

3t 2 +10t + 3

t +1

5 ö2

ö2

çt +

- ç ÷

3 ø

= 2

3 ln

t +

1 ln

3t +1

+ C =

+ C .

3t + 9

t +

На практиці універсальна тригонометрична підстановка може привести до громіздких раціональних функцій. Тому в окремих випадках зручно використовувати деякі інші підстановки, які випливають із

властивостей підінтегральної функції R( sin x,cos x) . Сформулюємо і покажемо приклади застосування таких правил:

1.Якщо R( sin x,cos x) є непарною функцією відносно sin x , тобто R( -sin x,cos x) = -R( sin x,cos x) , то інтеграл ò R( sin x,cos x) dx зводиться до інтегралу від раціональної функції підстановкою cos x = t .

2.Якщо R( sin x,cos x) є непарною функцією відносно cos x , тобто R( sin x,-cos x) = -R( sin x,cos x) , то інтеграл ò R( sin x,cos x) dx зводиться до інтегралу від раціональної функції підстановкою sin x = t .

Якщо функція

R( sin x,cos x)

задовольняє

умову R( -sin x, -cos x) = R( sin x,cos x) , то інтеграл

ò R( sin x,cos x) dx зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою tg x = t

(або ctg x = t ).

Зауваження. Наведені вище підстановки можна застосовувати і у випадках, коли підінтегральна функція

не є раціональною функцією.

cos x

1) ò

Приклад. Обчислити інтеграли:

dx ;

2) ò

3sin2 x - cos2 x

4sin2 x + sin x cos x - 3cos2 x

Розв’язання.

1) Підінтегральна функція є непарною функцією відносно cos x , тому робимо заміну sin x = t :

cos x

sin x = t, cos xdx = dt,

dx =

= ò

= 1 ò

= 1 ln

t + t2

- 1

+ C =

cos

x = 1- sin

x = 1

- t

3sin2 x - cos2

3t2 - 1- t2

t2 - 1

=12 ln sin x + sin2 x - 14 + C .

2)Підінтегральна функція задовольняє умову R( -sin x, -cos x) = R( sin x,cos x) , тому заміна tg x = t :

tg x

= t,

= dt

= ò

4sin2 x + sin x cos x - 3cos2 x

cos2 x ( 4 tg2 x + tg x - 3)

cos2 x

4t2 + t - 3

t +

4t - 3

+ C

+ C =

7 ln

1 ö2

7 ö2

t +

4t + 4

ç t +

- ç

8 ø

Обчислення інтегралів вигляду òsina xcos b xdx , òsina xsin b xdx , òcosa xcos b xdx

Такі інтеграли за допомогою тригонометричних формул

sina cos b = 12 ( sin (a - b ) + sin (a + b ) ) , sina sin b = 12 ( cos(a - b ) - cos(a + b ) ) , cosa cos b = 12 ( cos(a - b ) + cos(a + b ) )

зводяться до суми інтегралів вигляду òsin kxdx , òcos kxdx . Вправа. Обчислити òsin3x cos4x dx .

Обчислення інтегралів вигляду òsink x cosl xdx ( k,l Î ¥) .

1 dt

=4 ò t2 + 14 t - 43 =

1 ln 4 tg x - 3 + C . 7 4 tg x + 4

Якщо степені k та l парні, то для обчислення інтегралу òsin2n x cos2m xdx				( n,m = 0,1,2... )
використовують тригонометричні формули пониження степеня	sin2 x =	1- cos 2x	, cos2 x = 1+ cos2x .
		2		2

Якщо хоча б один з показників степеня є непарним, то підінтегральна функція є непарною відносно

функції

sin x

(якщо непарним є показник степеня

sin x ) або функції

cos x (якщо непарним є показник

степеня

cos x ). А ці випадки вже розглядалися вище (потрібно провести заміну cos x = t або sin x = t

відповідно).

Приклад. Обчислити інтеграли:

1) òsin4 x cos2 x dx ; 2) òsin4 x cos3 x dx .

Розв’язання.

1) òsin

x cos

1- cos2x ö2 1+ cos2x

dx =

ò(1

- 2cos2x + cos

2x)

(1+ cos2x) dx =

x dx = òç

ò(1

- cos 2x - cos

+ cos

2x)

dx =

sin 2x

1+ cos 4x

dx + òcos

1 æ

sin 2x

sin 4x

ç x -

2xdx ÷

ç x -

ç x

sin 2x

sin 4x ö

sin3 2x öö

sin 4x

sin3 2x

ò(1

- sin

2x)d ( sin 2x) ÷

ç x -

ç x +

çsin 2x -

÷÷ + C

+ C

;

øø

2) òsin4 x cos3 x dx = òsin4 x cos2 x cos x dx =

sin x = t, cos xdx = dt,

òt4 (1- t2 )

dt =ò( t4

- t6 ) dt =

+ C =

cos

= 1- sin

x = 1- t

sin5

sin7 x

+ C .

4. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій.

Інтегрування ірраціональних функцій є досить складною задачею. Розглянемо деякі класи ірраціональних функцій, інтеграли від яких за допомогою відповідних підстановок зводяться до інтегралів від раціональних функцій.

Інтеграли вигляду ò R ( x, n

)

dx , ( n = 2,3.... , a,b Î ¡ , a ¹ 0 ).

ax + b

Якщо підінтегральний вираз містить лише лінійну ірраціональність

, то, використовуючи заміну

ax + b

= t (звідки x =

tn - b

ntn-1

dt ), підінтегральну функцію вдається раціоналізувати:

n ax + b

- b

n-1

ò R ( x, n ax + b )

dx = ò R

,t ÷ nt

dt .

Приклад. Обчислити інтеграл ò

x2dx

2x +1

Розв’язання. Раціоналізуємо інтеграл заміною 3

= t :

2x +1

(

-1

)

æ t

x dx

-1

ò( t7 - 2t4 + t ) dt =

3 2x + 1 = t, x

, dx

dt =

÷ + C =

2x + 1

çæ

( 3

(

( 3

)2 ÷ö

2x +1

+ C .

, x

,..., x

Інтеграли вигляду ò Rç x, x

÷ dx .

Якщо підінтегральний вираз є раціональною функцією своїх аргументів,

pi Î ¥ ,

qi Î ¢ , то заміною

,...,

= t

де

–

спільний

знаменник

дробів

підінтегральна

функція виразиться

через

раціональну функцію змінної t .

Приклад. Обчислити інтеграл ò

dx .

+ 3

Розв’язання. Підінтегральна

функція

раціональною

функцією

відносно

12 ,

. Спільним

знаменником

дробів

12.

Тому

проведемо заміну

змінних

= t ,

звідки

x = t12 ,

x = t6 ,

= t16 , 4

= t15 і dx = 12t11dt .

( t2 - 9)

+ 9

dx =

12t

dt = 12

= 12

ç t

- 3

÷dt =

ò 3 x4

+ 34 x5

ò t

+ 3t

ò t +

t + 3

t +

3ø

= 12

ç t

- 3t + 9ln

+ 3

+ C = 12ç

- 312 x + 9ln

12 x + 3

+ C .

Зауваження.

Аналогічно

обчислюються

інтеграли

ax + b

та

Rç x, n

÷ dx

æ ax + b ö q1

æ ax + b ö q2

æ ax + b ö qk

cx + d ø

Rç x, ç

,ç

....ç

÷ dx . Для першого з них застосовується заміна t = n

ax + b

, для

è cx + d

ø è cx

+ d ø

è cx + d ø

cx + d

æ ax

+ b ön

, де

n – спільний знаменник дробів

,...,

другого – t = ç

è cx

+ d ø

Вправа. Обчислити ò x

x +1

dx .

x -1

Інтеграли вигляду ò R(

) dx .

ax2 + bx + c

Виділенням під знаком радикала повного квадрата та відповідною лінійною заміною змінних такі

інтеграли зводяться до одного з трьох видів: ò R( x,

) dx ,

ò R( x,

)

ò R( x,

) dx . Ці

a2 - x2

x2 + a2

dx ,

x2 - a2

інтеграли за допомогою "тригонометричних" підстановок зводяться до інтегралів від раціональних функцій. Зокрема:

1) для інтеграла ò R(

) dx застосовується підстановка x = a cost або x = asint ;

a2 - x2

2) для інтеграла ò R(

) dx застосовується підстановка x = a tgt

або x = a ctgt ;

x2 + a2

3) для інтеграла ò R(

) dx застосовується підстановка

x2 - a2

x =

або

x =

sin t

cost

Приклад. Обчислити інтеграл

x x

- 4

ò R(

) dx , тому зробимо

Розв’язання.

Даний

інтеграл

належить

до

інтегралів

вигляду

x2 - a2

2cost

підстановку x =

, звідки dx = -

dt і

4 - 4sin2 t =

2cost . Отже,

x2 - 4 =

- 4 =

sin t

sin2 t

sin t

2cost

= ò

- sin2 t

dt = -ò

= -

+ C =

x =

Þ t = arcsin

= -

arcsin

+ C .

2cost

sin t

- 4

sin t

Зауваження. Інтеграл вигляду ò R( x, ax2 + bx + c ) dx можна раціоналізувати також за допомогою трьох підстановок Ейлера (запропоновані Л. Ейлером у 1768 році):

1)якщо a > 0 , то проводиться заміна ax2 + bx + c = t ± ax ;

2)якщо c > 0 , то проводиться заміна ax2 + bx + c = xt ± c ;

3)якщо підкореневий вираз має два дійсні корені, то проводиться заміна ax2 + bx + c = t ( x - l ) , де l – один з коренів.

Підстановки Ейлера хоч і раціоналізують інтеграл вигляду ò R( x, ax2 + bx + c ) dx , але використовуються доволі рідко, оскільки приводять до досить громіздких обчислень.

Інтеграли від диференціальних біномів.

Диференціальним біномом називається вираз вигляду xm ( a + bxn ) p , де m, n, p – раціональні числа;

a, b – довільні сталі. Як довів П.Л.Чебишов, інтеграли від диференціальних біномів ò xm ( a + bxn ) p dx

виражаються через інтеграли від раціональних функцій відносно нової змінної лише у трьох випадках:

1) якщо p – ціле число і виконано підстановку x = ts , де s – найменший спільний знаменник дробів m та n ;

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Пукач лекції 1-16

#
12.02.2016594.11 Кб29Lektsiya-10.pdf
#
12.02.2016153.5 Кб28Lektsiya-11.pdf
#
12.02.2016173.94 Кб27Lektsiya-12.pdf
#
12.02.2016162.65 Кб27Lektsiya-13.pdf
#
12.02.2016181.8 Кб30Lektsiya-14.pdf
#
12.02.2016220.36 Кб30Lektsiya-15.pdf
#
12.02.2016175.9 Кб27Lektsiya-16.pdf
#
12.02.2016178.75 Кб30Lektsiya-2.pdf
#
12.02.2016154.56 Кб34Lektsiya-3.pdf
#
12.02.2016186.52 Кб75Lektsiya-4.pdf
#
12.02.2016143.21 Кб29Lektsiya-5.pdf