Лекція 14.

Невизначений інтеграл.

Інтегральне числення виникло внаслідок потреби створення методу обчислення площ плоских фігур,

об’ємів та центрів тяжіння тіл тощо. У зародковому вигляді цей метод застосовувався ще Архімедом, а

систематичного розвитку набув у 17 столітті у роботах Б. Кавальєрі, Е. Торічеллі, П. Ферма, Б. Паскаля та

інших вчених. У 1659 році англійський математик І. Барроу встановив зв’язок між задачею про знаходження

площі та задачею про знаходження дотичної. І. Ньютон та Г. Лейбніц у 70-х роках 17 століття поширили

цей зв’язок від конкретних геометричних задач до диференціального та інтегрального числення, що дало

поштовх розвитку техніки інтегрування. Сучасний вигляд методів інтегрування започаткований у роботах

Л.Ейлера. Праці М. Остроградського та П. Чебишова завершили розвиток цих методів.

1.Означення та властивості невизначеного інтеграла.

З попередніх тем посібника відомо, що основним завданням диференціального числення є знаходження

похідної чи диференціала заданої функції

f ( x) . Розглянемо обернену задачу: для заданої функції

f ( x)

знайти таку функцію

F ( x) , похідна якої

співпадала

б з даною

функцією, тобто

F¢( x) = f ( x) , або

справджувалася рівність диференціалів dF (

x) = f (

x) dx . Наприклад, якщо

f ( x) = 2x , то легко здогадатись,

що F ( x) = x2 .

Означення 1. Функція F ( x)

називається первісною функції

f (

x)

на інтервалі ( a,b) , якщо для будь-

якої точки x Î(a,b) функція F ( x) диференційовна і задовольняє умову F¢(

x) = f ( x) або dF ( x) = f ( x) dx .

Інтервал ( a,b) може бути скінченним або нескінченним.

Очевидно, що якщо для функції існує первісна, то вона не є єдиною. Так, у наведеному прикладі

первісними функції

f ( x) = 2x

є, наприклад,

F1 ( x) = x2 +1,

F2 ( x)

= x2 - 3, ... , чи,

в

загальному,

сім’я

функцій F ( x)

= x2 + C , де C – довільна стала.

Теорема 1.

Якщо

функція

f ( x) має

дві

первісні F1 ( x)

і

F2 (

x)

на інтервалі

( a,b) ,

то

вони

відрізняються між собою на стале число: F1 ( x) - F2 ( x)

= C .

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію j ( x) = F1 ( x)

- F2 ( x)

. Оскільки F1¢( x) = f ( x) , F2¢(

x) = f ( x) ,

то j¢( x) = F1¢(

x) - F2¢( x) = f ( x) - f ( x) º 0

при

довільному

значенні

x

з інтервалу

( a,b) . Із тотожної

рівності нулю похідної функції

j ( x) на

( a,b)

випливає, що сама функція j ( x)

є сталою на цьому

інтервалі, тобто j ( x) = F1 ( x) - F2 ( x) = C .

y1 = F1 ( x)

y2 = F2 ( x)

Геометрична інтерпретація теореми 1. Якщо

та

– первісні однієї і тієї ж функції

f ( x) , то величина F1 ( x) - F2 ( x)

= y1 - y2

залишається сталою: F1 ( x) - F2 ( x) = C . Тобто ці криві в певному

розумінні "паралельні" між собою (рис.1).

y

y

=

F

(

x

)

1

1

C

C

y

2

=

F

2

(

x

)

C

0

x

Рис.1. Сім'я первісних F(x)

Означення 2. Сукупність усіх первісних заданої функції

f ( x) на

інтервалі ( a,b) називається

невизначеним інтегралом функції f ( x) і позначається символом ò f ( x)

dx .

, G¢( x) = g ( x)

для

x Î( a,b) . Тоді

ò f ( x) dx ± ò g ( x) dx = ( F ( x) + C1 ) ± ( G ( x) + C2 ) = F ( x) ± G ( x) + C ,

де C1, C2 – довільні сталі; C = C1 ± C2

також є довільною сталою.

Покажемо, що функція F ( x) ± G ( x)

є первісною для f ( x) ± g ( x) :

( F(x) ± G(x))¢ = F¢( x) ± G¢( x) = f ( x) ± g ( x) .

Отже, ò( f ( x)

± g (

x) ) dx = F(x) ± G(x) + C , а тому ò( f ( x) ± g ( x) ) dx = ò f ( x) dx ± ò g ( x) dx .

Таблиця основних інтегралів.

1)

ò0dx = C ;

8) òcos xdx = sin x + C ;

2)

òdx = x + C ;

9) ò

dx

= tg x + C ;

cos2 x

3)

ò x

a

dx =

xa +1

+ C, a ¹ -1

;

10)

ò

dx

= - ctg x + C ;

a +1

sin

2

x

4)

ò dx = ln

x

+ C ;

11) ò

dx

=

1 arctg

x

+ C = -

1 arcctg

x

+ C

,

a ¹ 0 ;

2

2

x

a

+ x

a

a

a

a

5)

òex dx = ex + C ;

12)

ò

dx

= arcsin

x

+ C = -arccos

x

+ C

,

a ¹ 0 ;

a

a

a

2

- x

2

òax dx =

ax

ò

dx

1

x - a

+ C

6)

+ C ;

13)

=

ln

, a ¹ 0 ;

x

2

2

x + a

ln a

- a

2a

òsin xdx = -cos x + C ;

ò

dx

7)

14)

= ln

x

+

x

2

± a

2

+ C ,

a ¹ 0 .

x

2

± a

2

а) ò

dy

Приклад. Обчислити інтеграли:

xdx ; б) ò

.

9 + y

2

Розв’язання.

а) ò

1

2 x

3

2

+ C ;

2 + C =

x3

xdx = ò x2 dx =

3

3

б) ò

dy

= ò

dy

=

1 arctg

y

+ C .

2

2

2

3

9 + y

3 + y

3

Приклад. Обчислити інтеграли:

а) ò

4dx

б) ò( 2x + 5)

( x - 4) dx ;

в) ò

x4

г) ò

3sin2 x - 5

;

dx ;

dx .

3x2 -15

x2 + 2

cos2 x

Розв’язання.

4dx

4

dx

4

dx

4 1

x -

2

x -

5

5

5

а) ò

=

3

ò

=

3 ò

= 3 ×

ln

+ C =

15

ln

+ C ;

3x2 -15

x2 - 5

x2 - (

)2

2

x +

x +

5

5

5

5

2x3

3x2

б) ò( 2x + 5)

( x - 4) dx = ò(

2x2 - 3x - 20)

dx = ò2x2dx - ò3xdx - ò20dx =

-

- 20x + C .

2

3

в) ò

x4

dx =ò

x4 - 4 + 4

dx = ò

(

x2 + 2) ( x2 - 2) + 4

dx =ò( x

2

- 2) dx + ò

4

dx =

x3

- 2x + 2

x

+ C ;

2 arctg

x

2

+ 2

x

2

+ 2

x

2

+

2

x

2

+ 2

3

2

г) ò

3sin2 x - 5

dx = ò

3(1- cos2 x)

- 5

dx = ò

-3cos2 x - 2

dx =

ò( -3)

dx - ò

2

dx = -3x - 2 tg x + C .

cos2 x

cos2 x

cos2 x

cos2 x

f ( x)

не вдається, хоча відомо, що вона існує. Зробимо заміну змінної x = j ( t ) , де

j ( t) – неперервно

диференційовна функція, що має обернену t = j-1 ( x) . Тоді dx = j¢( t) dt і правильна формула

ò f ( x) dx = ò f (j ( t ) )j¢( t ) dt ,

яка називається формулою заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Доведемо формулу заміни змінної. Знайдемо похідні лівої та правої частини:

d

( ò f (x)dx) = f (x) ;

dx

( ò f (j ( t ) ) ×j¢( t) dt) =

( ò f (j ( t ) ) ×j¢( t ) dt )

d

d

dt

= f (j ( t ) ) ×j¢( t ) ×

1

= f (j ( t ) ) = f

( x)

.

dx

dt

dx

dx

dt

Отже, похідні лівої та правої частини рівні, звідки випливає рівність самих невизначених інтегралів.

1)

Функцію x = j ( t ) треба вибирати так, щоб невизначений інтеграл можна було звести до табличного.

2)

Після інтегрування необхідно повернутись до "старої" змінної x , виразивши t через x : t = j-1 ( x) .

Типовим прикладом застосування методу заміни змінної є обчислення інтегралів, аргументом

підінтегральних функцій яких є лінійна відносно x функція

f ( ax + b)

, a,b Î ¡, a ¹ 0 .

Теорема 5. Якщо ò f ( x)

dx = F ( x) + C , то для a ¹ 0

ò f (

ax + b) dx = 1 F ( ax + b) + C .

a

Доведення. Зробимо в інтегралі ò f ( ax + b) dx заміну змінних ax + b = z , звідки d ( ax + b)

= adx = dz або

dx =

1 dz ; тоді

ò f ( ax + b) dx =

1

ò f ( z) dz =

1

F ( z) + C =

1 F

( ax + b) + C .

a

a

a

a

1

ò

æ

p

ö

ò

dx ; в)

ò

-4 x

Приклад. Обчислити інтеграли: а)

cosç

3x +

6

÷dx ;

б)

e

dx .

4 5x - 2

Розв’язання.

è

ø

а)

æ

p

ö

1

cos

æ

+

p

ö æ

3x

+

p

ö

3x

+

p

= t

=

1

costdt

=

1

sint

+ C

=

1

æ

p ö

ò

cosç3x +

6

÷dx =

3 ò

ç 3x

6

÷d ç

6

÷ =

6

3

ò

3

3

sin ç3x +

÷ + C ;

è

ø

è

ø è

ø

è

6 ø

1

1

dx = 1 ò( 5x

1

= 1 òt -

1

4

3

4

3

б) ò

dx

= ò( 5x - 2) - 4

- 2) -

4 d ( 5x -

2) =

5x - 2 = t

4 dt =

t 4

+ C =

( 5x - 2) 4 + C ;

4

15

15

5x

- 2

5

5

в) òe-4 xdx = - 1 òe-4 xd ( -4x) =

-4x = t

= -

1

òetdt = - 1et + C = -

1 e-4 x + C .

4

4

4

4

1)

òsin ( ax + b) dx = -

1 cos( ax + b) + C ; 2)

òcos( ax + b) dx =

1 sin ( ax + b) + C ;

3) òeax dx =

1 eax + C ;

a

( ax + b)1-k

a

a

ò

dx

1

5) ò

dx

4)

= a ln

ax + b

+ C ;

=

+ C , для k ¹ 1.

ax + b

( ax + b) k

a(1- k )

Таблиця 2.

№

Вигляд інтеграла

Внесення під знак

Заміна

Новий вигляд

п/п.

диференціала

змінної

інтеграла

п

xdx = 12 d (

12 ò f ( z) dz

1.

ò f (

x2 )

xdx

x2 )

x2

= z

2.

ò f (

x3 )

x2 dx

x2dx = 13 d ( x3 )

x3 = z

13 ò f ( z) dz

ò

f (

)

1

dx

1

dx = 2d (

)