Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-7.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

188.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Якщо Dx > 0 , то \| Dx \|= Dx	і	Dy	= 1 ; якщо Dx < 0 , то \| Dx \|= Dx	і	Dy	= 1. Маємо	y¢( 0 0) = 1 ,
		Dx			Dx
y¢( 0 + 0) = 1 . Отже, функція
	y =\| x \|		не є диференційовна в точці x = 0 . Геометрично це означає відсутність

дотичної до кривої в точці x = 0 (рис. 4).

y		y
y
		1
		0	x
		0
0	x	-	1
		-	1

Рис.4. Функція

y =

та її похідна

Теорема 2. Якщо функція y = f ( x) є диференційовною в точці x0 , то вона неперервна в цій точці.

Доведення. Нехай

функція y = f ( x)

диференційована

точці x0 . Це

означає, що існує границя

lim

= f

( x0 ) . За властивістю границі функції маємо

= f

lim a ( Dx)

= 0

. Домножимо

( x0 ) + a ( Dx) , де Dx®0

Dx®0

обидві

частини

рівності

на

Dx :

Dy = f ¢( x0 ) Dx + Dxa ( Dx) .

Звідси

випливає,

що

lim Dy = f

¢( x0 ) lim Dx + lim Dxa

( Dx) = 0

, а це є означенням неперервності функції в точці.

Dx®0

Зауваження. Обернене твердження

неправильне: якщо

функція неперервна в точці

x0 , то вона не

обов’язково диференційовна в цій точці. Наприклад, функції

є неперервними в точці

x = 0 ,

y =| x |, y = 3 x2

але не диференційовними в цій точці (див., зокрема, попередній приклад).

3. Правила диференціювання.

Основні правила і формули диференціювання.

1. Похідна суми (різниці) двох диференційовних функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій: ( u ( x) ± v( x) )¢ = u¢( x) ± v¢( x) .

Доведення. За означенням похідної отримуємо

éu ( x + Dx)

± v( x + Dx)

ù éu

( x) ± v( x) ù

éu ( x + Dx) u ( x) ù ± év ( x + Dx) v ( x)ù

(

)

± v

(

) )

¢ = lim

= lim

û ë

Dx®0

u ( x

+ D

u ( x)

év

(

x + Dx

)

(

= lim

± lim

) û

= u¢

( x) ± v¢( x) .

Dx®0

2. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює сумі добутку похідної першого множника на другий та добутку першого множника на похідну другого:

( u ( x) v( x) )¢ = u¢( x) v( x) + u ( x) v¢( x) .

Доведення. За означенням похідної

(

)

(

) )

¢ = lim

u ( x + Dx) v ( x + Dx) u ( x) v ( x)

Dx®0

= lim

u ( x + Dx) v ( x + Dx) u ( x) v ( x + Dx) + u ( x) v ( x + Dx ) u ( x ) v ( x )

Dx®0

v ( x + Dx) éu ( x + Dx) u ( x) ù + u ( x) év ( x + Dx) v (

x) ù

v ( x + Dx) éu ( x + Dx) u ( x )ù

= lim

Dx®0

u ( x) év ( x + Dx) v ( x) ù

Dx®0

+ lim

= lim v

( x + Dx) u¢( x) + lim u ( x) v¢( x) = u¢(

x) v ( x) + u ( x) v¢( x) .

Dx®0

У ланцюжку рівностей використано теорему 2, з якої з диференційовності функції v ( x) в точці x

випливає її неперервність у цій точці, а тому lim v ( x + Dx) = v ( x) .

Dx®0

Сталий множник можна винести за знак похідної:

( cu ( x) )¢ = cu¢( x) ,

c = const .

Доведення.

( cu ( x) )

( x)

, бо c

= 0 .

= c u (

x) + cu

( x) = cu

Похідна частки двох диференційовних функцій обчислюється за формулою:

u ( x)

ö¢

( x) v ( x) u (

( x)

÷ =

x) v

, v

( x) ¹ 0 .

v2 ( x)

è v ( x)

Довести самостійно.

5. Якщо функція y = f ( u) – диференційовна в точці u , а функція u = j ( x) – диференційовна в точці x ,

то складена функція

y = f (j ( x) )

також диференційовна в точці

x ,

причому

похідна її

в точці x

обчислюється за формулою

y¢x = fu¢( u)

u=j ( x) jx¢ ( x) .

y = f ( u)

u ,

lim Dy = y¢ , тоді

Доведення.

Оскільки

функція

диференційована

точці

то

Du®0 Du

Dy = y¢

+ a

(

)

де

lim a

( Du) = 0 .

Отже,

Dy = y¢ Du + a ( Du) Du .

Оскільки

функція

u = j ( x)

Du®0

Du = j¢( x) ,

Du = j¢(

диференційована в

точці

x ,

то

lim

тоді

x) + b ( Dx) ,

де

lim b ( Dx) = 0 . Маємо

Dx®0

Du®0

Du = j¢( x) Dx + b ( Dx) Dx . Підставляючи значення Du у вираз для Dy отримаємо:

( x) Dx + b ( Dx)

Dx ) (j

( x) + b ( Dx ) ) Dx .

= yu j

( x) Dx + yu b ( Dx) Dx + a (j

( x) .

Поділивши на Dx і перейшовши до границі при Dx ® 0 , отримуємо yx

= yu j

6. Якщо функція

y = f (

x) диференційовна в точці x і

f ¢( x) ¹ 0 , то обернена до неї функція x = f 1 ( y)

(якщо вона існує) також диференційовна в точці

y , причому похідна її обчислюється за формулою

x¢y =

Довести самостійно.

Приклад. Використовуючи правила диференціювання, знайти похідні функцій: а) y = cos x ; б) y = tg x ; в) y = arcsin x .

Розв’язання.

а)

y¢ = ( cos x)¢

æ p

öö¢

æ p

ö æ p

ö¢

= sin x × ( 1) = sin x ;

= çsin ç

x ÷÷

= cosç

x ÷ × ç

øø

è 2

ø è

æ sin x

ö¢

( sin x)¢ cos x sin x( cos x)

cos2 x + sin2 x

б)

y¢ = ( tg x)¢ = ç

;

cos

è cos x

в)

( arcsin x)¢ =

1 < x <1

( sin y)¢

cos y

1 sin

y = ctg x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x .

Вправа. Вивести формули для похідних функцій

Використовуючи означення похідної та правила диференціювання 1–6 можна вивести формули похідних основних елементарних функцій та складених функцій f ( u) , де u = u ( x) (табл. 1).

Таблиця 1.

№n/n

Функція y

Похідна y¢

№n/n

Функція y

Похідна y¢

10.

sin u

cosu u¢

11.

cosu

sin u u¢

ua , a Î ¡

aua 1u¢

12.

tgu

u¢

13.

ctgu

cos2 u

u¢

14.

arcsin u

sin2 u

u¢

15.

arccosu

1 u2

eu u¢

1 u2

au ln a u¢

16.

arctgu

u¢

ln u

17.

arcctg u

1+ u2

u u¢

u¢

loga u

1+ u2

u¢

u ln a

Приклад. Знайти похідні функцій:

arctge2x

а) y = 3

ln x +

tg x ;

б)

sin3x .

а)

Розв’язання.

y¢ = (3x2 ln4 x)¢ + ( 3

)

¢ = (3x2 )¢ ln4 x + 3x2 (ln4 x)

¢ + çæ

( tg2x) 13

÷ö¢ = 3x2 ln32xln4

x +

3x2 4ln3 x +

;

tg2x

tg2 2x cos2

2e2 x

2 x 3cos3x

( arctge2 x )¢

sin3x

arctge2 x ( sin3x )¢

sin3x

arctge

б)

1+ e4 x

y¢ =

sin3x

Похідна степенево-показникової функції.

Розглянемо функцію

y = f ( x)j( x) . Знайдемо

ln y = j ( x)

ln f ( x) . Диференціюючи ліву і праву частини

цієї формули за змінною

x , отримаємо

y¢

= j¢(

x) ln f ( x) + j ( x)

f ¢(

f (

Враховуючи, що y = f ( x)j( x) , отримуємо формулу для похідної степенево-показникової функції:

	j( x) æ		f ¢( x) ö
y¢ = f ( x)	çj¢( x) ln	f ( x) + j ( x)		÷ .

	ç		f ( x)	÷
	è			ø

Зауваження. Похідна степенево-показникової функції дорівнює сумі похідної цієї функції як від степеневої функції та похідної цієї функції як від показникової функції.

Похідна логарифмічної функції	( ln y)¢ =	y¢	називається логарифмічною похідною. Її зручно
		y

використовувати також для диференціювання функцій, вирази яких суттєво спрощуються при логарифмуванні.

Приклад. Знайти похідні функцій:

а) y = x	sin 2 x	;	б)	3	2x +1		x2 2	.
				y =

					4 3	x

Розв’язання.

а) Маємо степенево-показникову функцію. Відповідно до зауваження

y¢ = xsin 2 x

б) Прологарифмуємо

æ	2cos2x ln x +	sin 2x ö
ç		x	÷ .
è			ø

функцію: ln y = 13 ln ( 2x +1) + 12 ln ( x2 2) 14 ln ( 3 x) . Звідси

y¢
y¢		1		2		1			2x			1			1			3	2x +1	x	2 2 æ 1				2		1			2x			1			1 ö
	=		×		+		×				+		×			Þ	y¢ =					ç		×		+		×				+		×			÷ .
y		3		2x +1		2		x	2	2		4		3	x								3		2x +1		2		x	2	2		4		3
									2										4 3 x											2
																			4 3 x		è															x ø

Похідна функції, заданої параметрично.

Якщо функція y = y ( x) задана параметрично, тобто рівняннями

функції обчислюється за формулою:

	¢	= lim	Dy	= lim	Dy Dt		=	yt¢	.
	¢
	yx		Dx		Dx			xt¢
		Dx®0	Dx	Dt®0	Dx	Dt		xt¢
	ìx = a cos3t,					Dt
Приклад. Знайти yx¢ , якщо	ìx = a cos3t,	a Î ¡ .
Приклад. Знайти yx¢ , якщо	í	a Î ¡ .
	î y = a sin3t,

Розв’язання.	y¢x =	( a sin3t )t	¢	=	3a cos3t	= ctg3t .
		( a cos3t)	¢		3a sin3t

		t

Похідна неявної функції.

ìx = j ( t) ,
ï	a £ t £ b , то похідна такої
í	a £ t £ b , то похідна такої
ï y =y ( t ) ,
î

Нехай рівняння F ( x, y) = 0 визначає y як неявну функцію аргументу x . Щоб знайти похідну y¢ , потрібно продиференціювати це рівняння за незалежною змінною x , вважаючи, що y є функцією змінної x , а потім з одержаного рівняння знайти y¢ .

Приклад. Обчислити y¢ , якщо x2 y3 + sin y x = 0 .

Розв’язання. Продиференціюємо рівняння за незалежною змінною x :

2xy

+ 3x

+ cos y × y

1 = 0 Þ

1 2xy3

3x2 y2 + cos y .

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Пукач лекції 1-16

#
12.02.2016178.75 Кб30Lektsiya-2.pdf
#
12.02.2016154.56 Кб34Lektsiya-3.pdf
#
12.02.2016186.52 Кб75Lektsiya-4.pdf
#
12.02.2016143.21 Кб29Lektsiya-5.pdf
#
12.02.2016154.43 Кб28Lektsiya-6.pdf
#
12.02.2016188.3 Кб44Lektsiya-7.pdf
#
12.02.2016126.11 Кб29Lektsiya-8.pdf
#
12.02.2016177.44 Кб28Lektsiya-9.pdf