M1 ( x0 + Dx, y0 + Dy) = M1 ( x0 + Dx, f ( x0 + Dx) ) |
. Проведемо січну M0 M1 |
пряму, що проходить через точки |
M0 та M1 . |
|
|
Дотичною до кривої y = f ( x) в точці M0 |
називають граничне положення січної M0 M1 при наближенні |
|
точки M1 до точки M0 вздовж кривої, тобто при Dx ® 0 . |
y = f ( x) в точці M0 ( x0 , f ( x0 ) ) . |
|
Постановка задачі: написати рівняння дотичної до графіка функції |
||
Рівняння прямої, яка проходить через точку M0 , має вигляд: y f ( x0 ) = k ( x x0 ) . Потрібно знайти кутовий коефіцієнт k = tga , де a – кут нахилу дотичної до осі Ox . Для січної M0 M1 кутовий коефіцієнт
kM0M1 можна знайти з трикутника M0 M1N : kM0M1 |
= tgj = |
M1N |
= |
Dy |
. Тоді кутовий коефіцієнт дотичної |
|||||||
M0 N |
Dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
|
def |
|
lim kM0M1 |
= lim |
Dy . |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Dx®0 |
|
Dx®0 |
Dx |
||||
2. Означення похідної. Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функцій.
Нехай функція y = f ( x) визначена на проміжку ( a;b) . Візьмемо точку x Î( a;b) і надамо їй приріст Dx такий, що x + Dx Î( a;b) . Тоді функція в цій точці отримає приріст Dy = f ( x + Dx) f ( x) .
Означення 1. Похідною функції y = f ( x) в точці x називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля (якщо ця границя існує):
y¢ = lim |
Dy |
= lim |
f ( x + Dx) f ( x) |
. |
|
||||
Dx |
|
|
|||||||
Dx®0 |
Dx®0 |
Dx |
|
|
|
df ( x) |
|
||
Похідна функції y = f ( x) має декілька позначень: y¢, |
f ¢( x) , yx¢ , |
dy |
, |
|
. Стосовно двох останніх |
||||
dx |
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
позначень детально поговоримо пізніше. Запис y¢x означає, що похідна береться за незалежною змінною x .
Інколи це варто підкреслити. Коли з умови задачі наперед відомо за якою змінною береться похідна, то індекс у її позначеннях, зазвичай, не пишуть.
Знаходження похідної функції в точці x називається диференціюванням цієї функції. Якщо функція в точці x має скінченну похідну, то така функція називається диференційовною в цій точці. Функція,
диференційовна у всіх точках ( a;b) , називається диференційовною на цьому проміжку. Позначення: f ( x) ÎC1 ( a;b) .
Механічний зміст похідної: похідна функції шляху за часом в момент часу t0 s¢( t0 ) – це миттєва швидкість точки в цей момент: v ( t0 ) = s¢( t0 ) .
Геометричний зміст |
похідної: похідна |
f ¢( x0 ) є кутовий коефіцієнт дотичної |
до графіку |
функції |
|||
y = f ( x) в точці M0 ( x0 , f ( x0 ) ) . |
Отже, рівняння |
шуканої дотичної |
запишеться у |
вигляді: |
|||
y f ( x0 ) = f ¢( x0 ) ( x x0 ) . |
|
|
( x0 , f ( x0 ) ) . |
|
|
|
|
Нехай до кривої y = f ( x) проведена дотична в точці M0 |
|
|
|
||||
Нормаллю до кривої |
y = f (x) в |
точці |
M0 ( x0 , f ( x0 ) ) |
називається пряма, |
яка |
перпендикулярна до |
|
дотичної і проходить через точку дотику (рис. 3). На підставі умови перпендикулярності дотичної і нормалі
кутовий коефіцієнт нормалі дорівнює |
1 |
, а рівняння нормалі у випадку |
f ¢( x0 ) ¹ 0 запишеться у |
||||||
f ¢( x0 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вигляді |
y f ( x |
) = |
1 |
( x x ) |
. |
|
|
|
|
f ¢( x0 ) |
|
|
|
||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
y = f ( x ) |
|
|
н о р |
м а л ь |
|
|
|
M |
0 |
д о т и |
ч н а |
y 0 |
|
|
|
|
0 |
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Рис.3. Дотична і нормаль |
|||
Приклад. Використовуючи означення похідної, знайти похідні функцій: а) y = C ; б) y = x2 ; в) y = sin x .
Розв’язання.
а) Надамо змінній x приріст |
Dx , тоді функція y |
отримає приріст |
Dy = y ( x + Dx) y ( x) |
= C C = 0 . |
|||||||||||||||||||||
Тому |
C¢ = lim |
Dy |
= lim |
0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Dx®0 |
Dx®0 |
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Надамо змінній x приріст Dx , тоді функція y отримає приріст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Dy = y ( x + Dx) y ( x) = ( x + Dx)2 x2 = 2xDx + ( Dx) 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Знаходимо відношення приросту |
функції до |
приросту |
аргумента: |
Dy |
= |
2xDx + Dx2 |
= 2x + Dx . Знайдемо |
||||||||||||||||||
Dx |
|
Dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
границю цього відношення при |
Dx ® 0 : lim |
|
= lim ( 2x + Dx) = 2x |
. За означенням похідної отримуємо |
|||||||||||||||||||||
y¢ = 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
®0 |
Dx |
|
Dx®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dy = sin ( x + Dx) sin x . |
|
|
|||||||||
в) |
Знаходимо |
приріст |
функції |
|
|
y = sin x : |
За |
формулою |
|||||||||||||||||
sina sin b = 2sin a b cos a + b |
|
отримаємо |
|
Dy = 2sin |
x + Dx x |
cos |
x + Dx + x |
|
= 2sin Dx cos 2x + Dx . |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|||
Використовуючи першу важливу границю, отримаємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
2x + Dx |
|
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y¢ = lim |
2sin 2 |
cos |
|
2 |
|
|
= lim |
sin 2 |
lim cos |
2x + Dx = cos x . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Dx®0 |
|
|
|
|
|
Dx®0 |
Dx |
Dx®0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 Оскільки існують односторонні границі, а похідна виражається через границі, то існують і односторонні
похідні.
Означення 2. Правою (лівою) похідною функції y = f ( x) в точці x називається права (ліва) границя
відношення Df ( x) при Dx ® 0 справа (зліва), якщо такі границі існують, тобто
Dx
f ¢( x + 0) = lim |
Df ( x) |
, |
f ¢( x 0) = lim |
Df ( x) |
. |
Dx |
|
||||
Dx®+0 |
|
Dx® 0 |
Dx |
||
Теорема 1. Функція y = f ( x) |
диференційовна в точці x тоді та тільки тоді, коли |
||||
|
|
( $f ¢( x + 0) ) Ù ( $f ¢( x 0) ) Ù ( |
f ¢( x + 0) = f ¢( x 0) = f ¢( x) ) |
||
Приклад. Чи є функція y =| x | диференційовною в точці x = 0 ? |
|||||
Розв’язання. Згідно з означенням похідної |
|
||||
y¢( x) = lim |
Dy |
= lim | x + Dx | | x | ; |
y¢( 0) = lim |
| Dx | . |
|
Dx®0 |
Dx |
Dx®0 |
Dx |
Dx®0 |
Dx |