|
|
|
|
|
Лекція 7. |
|
|
|
|
Похідна функції дійсної змінної. |
|||
1. Задачі, які приводять до поняття похідної функції. |
|
|
|
|
||
Задача про швидкість руху матеріальної точки (задача Ньютона). |
|
|
|
|||
Нехай точка нерівномірно рухається вздовж деякої прямої за законом |
s = s( t ) , де t |
– час, s( t ) |
– шлях, |
|||
пройдений за час t . Знайдемо v( t ) |
– швидкість точки в момент t , яку називають миттєвою. |
|
||||
s |
|
|
|
|
|
|
s ( t + D t |
) |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s ( t |
) |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
t |
t + D t |
t |
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 1. Геометрична інтерпретація середньої швидкості руху |
|
|
||||
В момент часу t пройдений шлях дорівнює s = s( t ) |
, а в момент часу t + Dt |
– шлях |
s( t + Dt ) = s + Ds |
|
(рис. 1). Тоді за проміжок часу Dt середня швидкість визначається за формулою |
v = |
Ds |
. Очевидно, чим |
|
|
||||
|
|
cep. |
Dt |
|
менший проміжок часу Dt , тим середня швидкість vcep. |
буде ближчою до v( t ) . Отже, миттєву швидкість |
|||
такибудемо ототожнювати з границею |
|
|
|
|
v( t ) = lim vcep. = lim Ds . |
|
|
|
|
def |
|
|
|
|
Dt®0 |
Dt®0 Dt |
|
|
|
Задача про дотичну (задача Лейбніца).
Розглянемо задачу про побудову дотичної до графіка функції. Нехай на площині задано графік неперервної функції y = f ( x) (рис.2).
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
+ D y |
|
|
M |
1 |
|
с і ч н а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D y |
|
|
|
|
|
|
д о т и ч н |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
0 |
M |
0 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
a |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
D x |
x 0 |
+ |
D x |
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Рис.2. Січна і дотична |
|
|
|
|||
Розглянемо довільну точку M0 ( x0 , y0 ) = M0 ( x0 , f ( x0 ) ) |
цієї кривої. Надамо аргументу x0 приріст Dx . |
|||||||
Новому |
значенню |
аргумента |
x0 + Dx |
на |
кривій |
y = f ( x) |
відповідає |
точка |