Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-9

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

177.44 Кб

Скачать

☆

Лекція 9.

Властивості диференційовних функцій. Формули Тейлора та Маклорена.

1. Основні теореми диференціального числення.

Розглянемо тепер деякі теореми диференціального числення, що стосуються диференційовних функцій. Ці теореми є корисними при розв’язуванні багатьох задач та дослідженні графіків функцій.

Теорема Ферма. Якщо диференційовна на [a;b] функція y = f ( x) досягає найбільшого або найменшого значення у внутрішній точці x0 цього відрізку, то похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто f ¢( x0 ) = 0 .

Доведення. За означенням диференційовності функції в точці x0 маємо

lim a ( Dx)

f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ¢( x0 ) Dx + a ( Dx) Dx ,

де

= 0 . Перепишемо останнє співвідношення у вигляді

Dx®0

(

)

( 0 )

(

) û

+ Dx

- f

= é f ¢

+ a

ù Dx

Оскільки

функція y = f ( x)

досягає

найбільшого

або найменшого

значення у

точці

x0 , то

f (

x0 + Dx) - f ( x0 )

або

невід’ємна,

або

недодатна

одночасно

для

всіх достатньо

малих

Dx . Якщо б

виконувалось

f ¢( x0 )

¹ 0 , то для

Dx , достатньо близьких до нуля, величина

f ¢( x0 ) + a ( Dx) мала б знак

(

é f

(

+ a

(

ù Dx

змінювала б

знак

зі

зміною

знаку

протиріччя

завершує

0 ) , а тому ë

0 )

)

x . Це

доведення теореми.

Геометричний зміст теореми Ферма: в точці найбільшого або найменшого значення, яке досягається всередині [a;b] , дотична до графіка функції паралельна до осі абсцис (рис. 1).

				x
0	a	x 0	b	x

Рис. 1. Геометрична інтерпретація теореми Ферма

Теорема Ферма може бути використана для доведення так званих теорем про середнє – теорем Ролля і Лагранжа.

Теорема Ролля. Нехай функція y = f ( x) задовольняє наступні умови:

1)неперервна на відрізку [a;b] ;

2)диференційовна на інтервалі ( a;b) ;

3)на кінцях відрізка [a;b] має однакові значення, тобто f ( a) = f ( b) .

Тоді існує принаймні одна така точка x Î( a;b) , в якій похідна функції дорівнює нулю: f ¢( x ) = 0 .

Доведення. Оскільки функція y = f ( x) неперервна на відрізку [a;b] , то за теоремою Вейєрштраса існують точки xm , xM Î[ a;b] , в яких вона набуває відповідно найменше і найбільше значення. Якщо f ( xm ) = f ( xM ) , то функція є сталою на [a;b] , а тому f ¢( x) º 0 і твердження теореми доведено. Якщо ж f ( xm ) < f ( xM ) , то за умови f ( a) = f ( b) одна з точок xm , xM повинна міститися в ( a;b) . Цю точку позначимо через x . За теоремою Ферма f ¢( x ) = 0 .

Зауважимо, що таких точок x на інтервалі (a;b) може бути декілька (рис.2).

y
f(a)
0	a	x	x	b	x
Рис 2. Геометрична інтерпретація теореми Ролля.

Теоремі Ролля можна надати механічне тлумачення. Нехай точка здійснює рух в додатньому напрямі осі Ox , перебуваючи в момент часу ta у точці з координатою xa . Для того, щоб точка знову опинилася в

момент часу tb

( tb

> ta )

в точці xa , тобто повернулась назад, обов’язково в якийсь момент часу t0

Î ( ta ;tb )

її швидкість

має

дорівнювати

нулю

(зміна

напрямку

руху на

протилежний). Швидкість руху точки

n ( t ) = x¢( t )

. Отже, існує принаймні одна точка t0 , в якій n ( t0 ) = 0 .

Приклад.

Довести, що

на

інтервалі

( -1;1)

існує

така

точка c ,

що для

функції

f ( x)

= arctg

(

-1 - x4

похідна в цій точці дорівнює нулю, тобто

f ¢

(

)

= 0

)

Розв’язання. Функція

f ( x)

= arctg

(

x2 -1

- x4 +1

на

відрізку

[

-1;1

задовольняє

всі умови теореми

)

]

Ролля. Дійсно, ця функція визначеною на [ -1;1]

і елементарною і тому неперервною на [ -1;1] . ЇЇ похідна

f ¢( x)

- 4x

визначена на (

-1;1)

і f

( -1) = f

(1) = 0 . Тому згідно з теоремою Ролля на інтервалі

(

x2 -1 2

)

( -1;1)

існує така точка c , в якій

f ¢( c)

= 0 .

Теорема Лагранжа. Нехай функція y = f (

задовольняє такі умови:

1)неперервна на відрізку [a;b] ;

2)диференційовна на інтервалі ( a;b) .

Тоді існує принаймні одна така точка x Î( a;b) , в якій похідна дорівнює відношенню приросту функції на цьому відрізку до довжини відрізка, тобто

f ¢( x ) =

f ( b) - f ( a)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

b - a

f ( b) - f ( a)

F ( x) = f ( x) -

( x - a)

b - a

яка, очевидно, неперервна на відрізку [a;b] , диференційовна на ( a;b)

і F ( a)

= F ( b) = f ( a) . Відповідно до

теореми Ролля, існує точка x Î( a;b) , в якій F¢( x ) = f ¢( x ) -

f ( b) - f (

= 0 , тобто

f ¢( x ) =

f ( b) - f ( a)

b - a

Геометричний зміст теореми Лагранжа: на інтервалі (

a;b) існує така точка x , що дотична до графіка

функції

y = f ( x) в

точці з координатами (x , f ( x ) )

нахилена

до осі

під таким же кутом

j = arctg

f ( b) - f ( a)

, що й січна, яка проходить через точки ( a, f ( a) ) ,

( b, f ( b) ) (див. рис. 3).

b - a

y f ( b )

	f ( a	)	f
		f	f
						x
	0	a	x	b		x
Pис.3. Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа
Теорема Коші (узагальнена		формула	скінченних приростів).		Нехай функції f ( x) і g ( x)

задовольняють такі умови:
1)	f ( x)	і	g ( x)	неперервні на відрізку [a;b] ;
2)	f ( x)	і	g ( x)	диференційовні на інтервалі ( a;b) ;
3)	g¢( x) ¹ 0 для довільного x Î( a;b) .

Тоді існує така точка x Î( a;b) , що
	f ( b) - f ( a)	=	f ¢( x )
				.
	g ( b) - g ( a)		g¢( x )	.

Доведення теореми Коші пропонуємо провести самостійно. Вказівка. Розглянути допоміжну функцію

F ( x) = f ( x) - f ( a) - f (( b)) - f (( a)) ( g ( x) - g ( a) ) g b - g a

і застосувати теорему Ролля.

2. Правило Лопіталя.

Похідна

функції може

ефективно

використовуватися

під час

обчислення

границь для

розкриття

невизначеностей типу

ì0

або

ì¥

. Припустимо, що

lim

f ( x) = 0

lim j ( x)

= 0

, тобто

f ( x)

і j ( x) є

x®x0

і x®x0

î0

î¥

( x®¥

)

( x®¥

)

f ( x) = ¥

lim j ( x) = ¥

нескінченно малі при

x ® x0 (

x ® ¥) . Можна також розглянути випадки

lim

x®x0

( x®¥)

тобто f ( x)

і j ( x) є нескінченно великі при

x ® x0

( x ® ¥) . У кожному випадку границя

lim

f ( x)

j ( x)

x®x

( x®¥)

приводить

до невизначеностей

ì0 ü

ì¥

типу

невизначеностей

часто можна

або í

ý . Розкриття такого

î0 þ

î¥

здійснити на підставі правила Лопіталя, яке сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема (правило Лопіталя). Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання границя скінченна або дорівнює

нескінченності.
Тобто для невизначеностей типу	ì0		ü	або	ì¥		ü	можна застосувати формулу:
Тобто для невизначеностей типу	í	0	ý	або	í	¥	ý	можна застосувати формулу:
	î	0	þ		î	¥	þ

lim	f ( x)	= lim	f ¢( x)
lim	j ( x)	= lim	j¢( x) .
x®x0	j ( x)	x®x0	j¢( x) .
( x®¥)		( x®¥)

Зауважимо, що в правій частині останньої формули записана частка похідних, а не похідна частки.

Приклад. Обчислити lim x2 -x1+ ln x . x®1 e - e

Розв’язання. Чисельник і знаменник окремо прямують до нуля при								x ®1, тому маємо невизначеність
ì0	ü	. Скористаємося правилом Лопіталя, тобто знайдемо границю відношення похідних чисельника і
типу í	ý
î0	þ
знаменника:							1
							1
		lim	x2	-1+ ln x	ì0 ü	= lim	2x + x		3 .
					= í ý			=
				ex - e	= í ý		ex	=	e
		x®1		ex - e	î0 þ	x®1	ex		e

Зауваження. Якщо частка

f ¢

( x)

при

x ® x0 (

® ¥)

залишається невизначеністю типу

або

ì¥

í ý

j¢

( x)

то потрібно знову застосовувати правило Лопіталя, тобто перейти до відношення других похідних:

lim

f ¢( x)

= lim

f ¢¢( x)

j¢( x)

j¢¢( x)

x®x0

x®x

( x®¥)

і т.д.

e3x - 3x -1

Приклад. Обчислити lim

sin2

Розв’язання.

x®0

- 3x -1

lim

- 3x -1

0 ü

= lim

(

)

= lim

- 3

lim

-1

lim

= í

ý =

sin2 5x

( sin2 5x)¢

x®0

0 þ

x®0

x®0 2sin5x cos5x

×5

5 x®0 sin10x

5 x®0

10cos10x

У випадку невизначеностей типу { 0 × ¥}

або { ¥ - ¥}

потрібно алгебрично перетворити дану функцію так,

щоб звести її до невизначеності типу

0 ü

або

ì¥

і далі застосовувати правило Лопіталя.

0 þ

î¥

Приклад. Обчислити границі:

lim

(

ln x) ;

lim

æ 1

а)

б)

÷ .

-1

Розв’язання.

x®0

è x

{ 0 × ¥}

а)

Тут маємо

невизначеність

типу

. Запишемо

добуток

функцій

у вигляді

частки,

потім,

отримавши невизначеність типу

¥ ü

, застосуємо правило Лопіталя:

lim

( x

ln x) = { 0 × ¥}

= lim

ln x

ì¥

= lim

1/ x

= -

lim x

= 0 .

-2 / x

x®0

x®0 1/ x

î¥

x®0

2 x®0

б) Маємо невизначеність типу {

¥ - ¥

} . Для того, щоб знайти границю цієї функції, зведемо дроби до

спільного знаменника, а потім, у випадку невизначеності типу

0ü

, застосуємо правило Лопіталя:

lim

æ 1

ö =

{

¥ - ¥ = lim ex -1- x =

= lim

ex -1

= ì

= lim

x®0

}

x®0

(

)

x®0

í ý

x®0

è x e -1ø

0 þ

e -1+ xe

î0 þ

e ( 2 + x )

-1

Якщо границя функції є невизначеністю типу {00}

, {¥0}

або {1¥ }

, то потрібно прологарифмувати дану

функцію і знайти границю її логарифма.

Приклад. Обчислити:

а)

lim

( sin 2x) x ;

б)

lim( 3 - 2x)1/sinp x .

Розв’язання.

x®0

x®1

а) Це невизначеність типу {00}

. Нехай I = ( sin 2x) x , тоді ln I = x ln ( sin 2x)

. Обчислимо границю функції

ln I , застосовуючи правило Лопіталя:

2cos2x

ln ( sin 2x)

ì¥

2x2 cos2x

limln I = lim xln ( sin 2x) = { 0 × ¥}

= lim

== lim

sin 2x

= -lim

sin 2x

x®0

®0

î¥

x®0

= -lim 2cos 2x × lim
x®0	x®0
Отже, lim I = e0	=1.
x®0

x2	ì0		ü	= -2lim	2x	= 0 .
	== í		ý
sin 2x		0			2cos 2x
	î		þ	x®0

б) Покладемо	I = ( 3 - 2x)1/sinp x (limx®1 I = {1¥ } ) .					Логарифмуючи і застосовуючи правило Лопіталя,
отримаємо					1
		ln ( 3 - 2x)	ì0 ü		1	( -2)		2 .
limln I = lim		ln ( 3 - 2x)	ì0 ü	= lim	3 - 2x	( -2)		2 .
			= í ý				=
		sinp x	= í ý		p cosp x		=	p
x®1	x®1	sinp x	î0 þ	x®1	p cosp x			p

Таким чином,	lim I = e2/p .
	x®0

3. Формули Тейлора та Маклорена.

Нехай многочлен

P( x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn

потрібно розвинути за степенями x - x0 , де x0 – деяке число, тобто многочлен необхідно записати у вигляді

P( x) = A0 + A1 ( x - x0 ) + ... + An ( x - x0 ) n ,

де A0 , A1,..., An – невідомі коефіцієнти. Покладаючи

x = x0 в

останній рівності, отримаємо

P( x0 )

= A0 .

Обчислюючи похідні P¢( x0 ) , P¢¢( x0 ) ,..., P(n) (

x0 ) , знайдемо послідовно всі коефіцієнти Ai ( i = 1,2,...,n) :

A1 = P¢( x0 ) , A2 =

P¢¢

( x0 )

,..., An =

P( n) (

x0 )

Підставляючи коефіцієнти Ai

, отримаємо формулу Тейлора для многочлена:

P( x) = P( x0 ) + P¢( x0 ) ( x

- x0 ) +

P¢¢( x0 )

( x - x0 )

+ ...+

P(n) ( x0 )

( x - x0 )

Формулу Тейлора можна записати для

довільної

функції

f ( x) ,

яка диференційовна

( n +1)

разів

включно в околі точки x0 :

f (

x) = f ( x0 ) +

f ¢( x0 )

( x - x0 ) + ... +

f ( n) ( x0 )

( x - x0 )

+ Rn ( x) .

f ( x) крім тейлорівського многочлена

Як бачимо,

формулі

Тейлора

для довільної

функції

( k )

( x0 )

( x - x0 ) k

степеня n присутній доданок Rn ( x) , який називають залишковим членом.

k =0

Залишковий член у формі Лагранжа має вигляд

Rn ( x) =

f ( n+1) ( x )

( x

- x0 )

n+1

( n +1) !

де точка x розміщенa між точками x і x0 . Очевидно, що для многочленів Rn ( x) º 0 . Можна показати, що Rn ( x) = o éë( x - x0 ) n ùû – вигляд залишкового члена у формі Пеано.

Формула Тейлора при x0		= 0 називається формулою Маклорена:
f ( x) = f ( 0) +	f ¢( 0)		x +	f ¢¢( 0)	x + ... +	f ( n) ( 0)	xn +	f ( n+1) ( x )	xn+1 .
		1!		2!		n!		( n +1) !

Формули Тейлора та Маклорена часто використовуються в прикладних задачах. За допомогою цих формул складні функції з великою точністю апроксимуються многочленами. Крім того, вони часто

використовуються при складанні таблиць наближених значень функцій. Залишковий член Rn ( x) у формі

Лагранжа характеризує точність наближення, тобто показує різницю між значенням функції і значенням тейлорівського многочлена. Формула Тейлора зі залишковим членом у формі Пеано зручна для обчислення

границь (метод виділення головної частини) та описання асимптотики функції при x ® x0 . Приклад. Розвинути за формулою Маклорена функцію y = sin x .

Розв’язання. Маємо f ( x) = sin x, f ¢( x) = cos x, f ¢¢( x) = -sin x, f ¢¢¢( x) = -cos x, f IV ( x) = sin x і т.д. Звідси, f ( 0) = 0, f ¢( 0) = 1, f ¢¢( 0) = 0, f ¢¢¢( 0) = -1, f IV ( 0) = 0 і т.д. На основі формули Маклорена отримуємо:

( -1)

n+1

2n-1

2k -1

sin x = x -

+ ... +

+ R2n ( x) = å( -1) k +1

+ R2n ( x) ,

( 2n -1) !

( 2k

-1)!

3! 5! 7!

k =1

2n+1

2k -1

+ o( x2n ) .

де залишковий член R2n ( x) = ( -1) n cosx

або sin x = å( -1) k +1

( 2n +1) !

( 2k

-1) !

k =1

Аналогічно можна записати розвинення за формулою Маклорена для деяких інших елементарних функцій:

ex = å

+ o

( xn ) ,

k =0 k!

+ o( x2n+1 ) ,

cos x = å( -1) k

( 2k )

k =0

+ o( xn ) ,

ln (1+ x)

= å( -1) k -1

k =1

(1+ x)a = 1+ åa (a -1) ...(a - k +1)		xk + o ( xn ) .
n
k =1	k!

Соседние файлы в папке Пукач лекції 1-16

#
12.02.2016186.52 Кб75Lektsiya-4.pdf
#
12.02.2016143.21 Кб29Lektsiya-5.pdf
#
12.02.2016154.43 Кб28Lektsiya-6.pdf
#
12.02.2016188.3 Кб44Lektsiya-7.pdf
#
12.02.2016126.11 Кб29Lektsiya-8.pdf
#
12.02.2016177.44 Кб28Lektsiya-9.pdf