Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

153.5 Кб

Скачать

☆

Лекція 11. Функції декількох змінних.

Границя і неперервність.

1. Основні означення.

Означення 1. m - вимірним координатним простором називається множина всеможливих

впорядкованих сукупностей ( x1,..., xm ) дійсних чисел.

Позначається m – вимірний координатний простір ¡m . Кожна впорядкована сукупність ( x1,..., xm ) Î ¡m

називається точкою координатного простору і позначається буквою M або

M ( x1,..., xm ) ; числа

x1,..., xm

називаються координатами точки M .

Означення 2.

Координатний простір

¡m

називається

евклідовим,

якщо між

двома довільними

точками M

(

¢¢

(

¢¢

визначена відстань

x1,..., xm ) , M

x1,..., xm )

(

)

M ¢, M ¢¢

x¢

- x¢¢ 2 +

x¢

- x¢¢

2 + ... + x¢ - x¢¢ 2 .

m - вимірний евклідовий простір позначається

Em .

m - вимірному

евклідовому просторі

розглядатимемо, зокрема, наступні множини точок:

KR ( M0 ) = {M Î Em : ( x1 - x10 )2 + ... + ( xm - xm0 )2 < R2 }

–

відкрита

m - вимірна

куля

центром

точці

M0 ( x10 ,..., xm0 )

радіуса

R ;

R ( M0 ) = {M Î Em : ( x1 - x10 )2 + ... + ( xm - xm0 )2 £ R2 }

–

замкнена

m - вимірна

куля

центром

точці

M0 ( x10 ,..., xm0 )

радіуса

R ;

SR ( M0 ) = {M Î Em : (

x1 - x10 )2 + ... + (

xm - xm0 )2 = R2 }

– m - вимірна сфера з центром в точці M0 радіуса R .

Означення 3. Відкрита m - вимірна куля радіуса e > 0 з центром в точці M0 називається e - околом точки M0 і позначається Ue ( M0 ) .

Отже, Ue ( M0 ) = Ke ( M0 ) .

Означення 4. Точка M0 множини D Ì Em називається внутрішньою точкою множини D , якщо

$Ue ( M0 ) : Ue ( M0 ) Ì D .

Означення 5. Множина D Ì Em називається відкритою, якщо довільна точка цієї множини є внутрішньою точкою.

Означення 6. Множина D Ì Em називається обмеженою, якщо $KR ( M0 ) : D Ì KR ( M0 ) .

Означення 7. Множина D Ì Em називається зв’язною, якщо довільні дві точки x¢

та x¢¢

цієї множини

можна з’єднати неперервною кривою, всі точки якої належать цій множині.

x''

Означення 8. Областю називається відкрита і зв’язна множина в просторі Em .

Означення 9. Якщо

кожній точці M ( x ,..., x

)

деякої

множини

D Ì E

за деяким

правилом

ставиться у відповідність єдине значення змінної

z , то

z називають функцією від n

незалежних

змінних x1,..., xm , визначеною на множині D .

При цьому пишуть z = f ( x1,...,xm ) , де

x1,..., xm

– незалежні змінні (аргументи),

z – залежна змінна

(функція).

Множина D точок M (

x1,..., xm ) , в яких функція

z = f ( M )

визначена, називається областю визначення

функції

z = f ( x1,...,xm )

позначається

D( f ) . Значення,

які

при цьому

набуває

залежна змінна

z ,

називаються множиною значень функції і позначається E ( f ) .

Область визначення функції двох змінних наглядно ілюструється геометрично (наочно). Якщо кожну

пару значень x та y

будемо зображати

точкою

M ( x, y) площини Oxy ,

тоді

область визначення

зобразиться деякою сукупністю точок на площині. Ця сукупність точок є геометричним зображенням

області визначення.

Означення 10. Графіком G f функції z = f ( x, y)

називається множина таких точок ( x, y, z) Î E3 , що

( x, y) Î D ( f ) Î E2 , а z = f ( x, y) .

( x, y, f ( x, y) ) задає в

Якщо в просторі E3

задати прямокутну систему координат, то трійка чисел

точку, а

G f

є,

взагалі

кажучи, деякою

поверхнею. Рівняння

z = f ( x, y)

рівнянням

цієї поверхні.

Проектуючи G f

на площину Oxy , одержують область визначення D( f ) .

z 0

z =

f ( x

, y )

M 0 ( x

0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ) )

y 0

D f

Рис.1. Область визначення функції двох змінних

Приклади.

1) Нехай z = ax + by + c , де a,b,c числові параметри, x, y незалежні змінні. Областю визначення цієї функції є весь простір E2 , множина значень множина всіх дійсних чисел. Графіком функції є площина в

E3 .

2) Нехай z = 1- x2 - y2 . Область визначення функції D ( z) = {( x, y) Î E2 : 1- x2 - y2 ³ 0} . Множина значень – відрізок [ 0;1] . Графіком функції є верхня половина сфери x2 + y2 + z2 =1.

2. Способи задання функції декількох змінних.

Способи задання функції декількох змінних в основному такі ж, як і для функції однієї змінної.

Аналітичний спосіб.

Функції m змінних можуть задаватися за допомогою однієї або декількох формул. Такий спосіб задання називається аналітичним. Зокрема, якщо одна із змінних виражена через всі інші, то кажуть, що функція задана явно.

+ y

< 1,

<1;

Приклади. Функції z = ln ( x

+ xy) ,

ïx

z = í

задані аналітичним способом,

ïarcsin

+ arcsin

³1,

³1.

причому явно.

Якщо залежна змінна z не виражена явно через аргументи x1, x2 ,..., xm , а зв’язок між x1, x2 ,..., xm , z описано формулою F ( x1, x2 ,..., xm , z) = 0, то кажуть, що функція багатьох змінних задана неявно.

Графічний і табличний способи задання функції застосовують лише для функції двох змінних.

3. Границя і неперервність функції двох змінних.

Поняття границі та неперервності для функції декількох змінних є узагальненням понять границі та

неперервності функції однієї змінної. Розглянемо послідовність точок Mn ( x1( n) ,..., xm( n)							),		nÎ ¥ евклідового
простору Em .
Означення 11. Точка		A( a1,...,am )			Î Em називається границею послідовності точок Mn ( x1( n) ,..., xm( n) ) ,
якщо			"e > 0 $N = N ( e ) Î ¥ "n ³ N : r ( Mn ; A) < e .
			"e > 0 $N = N ( e ) Î ¥ "n ³ N : r ( Mn ; A) < e .
Той факт, що точка A є границею послідовності точок						lim M		n	= A	або Mn ® A
Той факт, що точка A є границею послідовності точок						Mn записується так: n®¥		n		або Mn ® A
при n ® ¥ . Якщо	послідовність точок має границю, то					вона називається збіжною,			у протилежному
випадку – розбіжною.									точок Mn до A
Зауваження. На відміну від границі числової послідовності, спосіб прямування									точок Mn до A
довільний.
Теорема 1. Точка A( a1,...,am ) Î Em					є границею послідовності точок Mn ( x1( n) ,..., xm( n) )		при n ® ¥ тоді та
лише тоді, коли x( n)	® a ,..., x( n) ® a			m	при n ® ¥ .
1	1	m		m

Означення границі функції (Коші, на мові “e - d ”). Число b називається границею функції f ( M ) в

точці A , якщо для довільного числа e > 0 існує таке число d = d ( e ) > 0 , що для всіх x , які задовольняють

умову 0 < r ( M , A) < d , виконується нерівність | f (

M ) - b |< e .

Якщо число

є границею функції f ( M ) в точці A , то пишуть

lim f

(

)

= b

або

f ( M ) ® b при

M ® A

lim

x ,..., x

m )

= b

®a

( 1

M ® A або x12

®a12

.............

xm ®am

Суть означення границі функції f ( M ) в точці

A полягає в тому, що для всіх точок

M , відстань від

яких до точки A є досить малою, значення функції f ( M ) за абсолютною величиною як завгодно мало

відрізняються від числа b .

Означення границі функції (Гейне, на мові послідовностей). Число b називається границею функції f ( M ) в точці A , якщо "{ Mn } Î D( f ) , Mn ® A, M n ¹ A , виконується умова { f ( Mn )} ® b при n ® ¥ .

Зауваження. Оскільки спосіб прямування M ® A довільний, то поняття границі функції багатьох змінних значно складніше, взагалі кажучи, ніж поняття границі функції однієї змінної, для якої прямування

до точки на осі можливе лише справа або зліва. Поняття односторонніх границь функції багатьох змінних не має змісту.

Зауваження. Так само, як і для функції однієї змінної, правильними є теореми про границю суми (різниці), добутку, частки функцій.

Приклад. Обчислити границю

lim

2x - y2 +1

+ y

x®2

y®1

Розв’язання. lim

2x - y2 +1

2 × 2 -12 +1

= 0,8.

+ y

x®2

y®1

Зауваження. Щоб довести, що границя

функції в

точці

A не існує,

достатньо показати, що вона

залежить від способу (шляху) прямування до точки A .

Приклад. Довести, що

lim

x - 2y

не існує.

x®0

x + y

y®0

x - 2 y

0 ü

x - 2kx

x (1- 2k )

1- 2k

ì1,

k = 0,

Розв’язання. lim

y = kx, x ® 0

= lim

= í

ý =

= í

x + y

x + kx

x (1+ k )

1+ k

x®0

0 þ

x®0

ï-

, k = 1.

y®0

sin ( x + y)

Приклад. Обчислити границю функції z =

при x ® 0, y ® 0 .

ln (1+ x + y)

Розв’язання. Зробимо заміну x + y = t . Очевидно, що при x ® 0, y ® 0 змінна t ® 0 , а границя функції

двох змінних дорівнює границі функції однієї змінної t :

lim

sin

( x + y)

ì0

= lim

sin t

ì0

= lim

cost

= lim(1+ t ) cost =1

= í

+ x + y)

ln (1+ t )

y®0 ln (1

î0

t®0

î0

t®0

x®0

1+ t

f ( M ) = 0 .

Означення 12. Функція

f ( M ) називається нескінченно малою при M ® A , якщо

lim

Теорема 2. lim f ( M ) = b

M ® A

тоді та лише тоді, коли існує функція a ( M )

така, що

f (

M ) = b + a ( M ) ,

®A

причому a ( M ) ® 0 при M ® A .

Зауваження. Порівняння нескінчено малих функцій багатьох змінних здійснюється так само, як і для

функцій однієї змінної.

Означення 13. Функцію

f ( M ) , визначену в околі точки A , називають неперервною в точці A , якщо

lim f ( M ) = f ( A) .

M ® A

Означення неперервності можна дати за Коші та за Гейне.

Означення 14.

Величина

Dx f ( M ) = f (

x1,..., xi-1, xi + Dxi , xi+1 ,..., xm ) - f ( x1,..., xm )

називається

частинним приростом функції f ( x1,..., xm )

в точці M ( x1,..., xm )

за змінною xi .

Означення 15. Величина

Df ( M )

= f (

x1 + Dx1,..., xm + Dxm ) - f (

x1,..., xm ) називається повним приростом

функції f ( x1,..., xm ) в точці

M ( x1,..., xm ) .

Теорема 3. Функція

(

f ( M ) , визначена в околі точки

A( a1,...,am ) , є неперервною в цій точці тоді та

Dx ®0 (

m )

- f

(

,...,a

m ) )

= 0

lim

a + Dx ,...,a

+ Dx

лише тоді, коли Dx12 ®0

..............

Dxm ®0

f ( x1,..., xm ) , якщо функція в цій точці не

Означення 14. Точка

A називається точкою розриву функції

є неперервною.

Зауваження. На відміну від функції однієї змінної класифікації точок розриву функції двох і більше змінних не існує.

Зауваження. Функції багатьох змінних, які неперервні в точці або в замкненій області, мають низку аналогічних властивостей, що й функції однієї змінної, неперервні в точці чи на відрізку [ a;b] .

Соседние файлы в папке Пукач лекції 1-16

#
12.02.2016249.62 Кб64Lektsiya-1.pdf
#
12.02.2016594.11 Кб29Lektsiya-10.pdf
#
12.02.2016153.5 Кб28Lektsiya-11.pdf
#
12.02.2016173.94 Кб27Lektsiya-12.pdf
#
12.02.2016162.65 Кб27Lektsiya-13.pdf
#
12.02.2016181.8 Кб30Lektsiya-14.pdf
#
12.02.2016220.36 Кб30Lektsiya-15.pdf
#
12.02.2016175.9 Кб27Lektsiya-16.pdf