Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= arctg ( y2

x2 ) , x2 > 0 ;

= arctg ( -1)

( cos( -p 4) + isin ( -p 4) ) ; z2 = 2

ei( -p 4) .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

178.75 Кб

Скачать

☆

								Лекція 2.
				Комплексні числа та дії над ними
1. Поняття комплексного числа.
Рівняння	x2 +1 = 0 у множині ¡ коренів не має. Щоб це рівняння мало корені, повинні існувати числа,
квадрати яких дорівнюють -1 .
Число i =			називається уявною одиницею ( i2 = -1 ).
Число i =		-1	називається уявною одиницею ( i2 = -1 ).
Вираз вигляду			x + iy , де x, y – дійсні числа, називається комплексним числом (алгебричною формою
комплексного числа).
Множина всіх комплексних чисел позначається £ . Очевидно, що {					z Î£	z2	+1 = 0 = {i;-i}	.
					z Î£	z2	+1 = 0 = {i;-i}
							}
Якщо комплексне число z = x + iy , то дійсні числа				x та y називаються відповідно дійсною та уявною
частинами комплексного числа z і позначаються так:
			x = Re z;	y = Im z .

Будь-яке дійсне число можна розглядати як комплексне число, у якого уявна частина дорівнює нулю: x = x + i×0 . Таким чином, множина дійсних чисел ¡ є підмножиною множини комплексних чисел £ :

¡ Ì £ .

Комплексне число, у якого дійсна частина дорівнює нулю, а уявна частина відмінна від нуля, називається

уявним: z = 0 + iy = iy		( y ¹ 0) .
Два комплексних числа z = x + iy і				z = x - iy , у яких дійсні частини однакові, а уявні відрізняються
тільки знаком, називаються комплексно спряженими. Очевидно, що							= z .
						z	= z .
Нехай z1 = x1 + iy1 ,		z2	= x2 + iy2 . Два комплексних числа називаються рівними, якщо є однаковими їх
дійсні та уявні частини:			ì x = x		2 .
дійсні та уявні частини:			z1 = z2 Û í 1		2 .
			î y1 = y2
Комплексне	число	дорівнює нулю,		якщо його дійсна та уявна частини є нульовими, і навпаки:
ìx = 0	.
z = 0 Û í	.
î y = 0

Зауваження. Для комплексних чисел, які не є дійсними не визначають поняття “більше” та “менше”.

2. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.

Операції додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального степеня здійснюються за правилами дій над многочленами з урахуванням того, що i2 = -1 .

Зокрема, додавання (віднімання) комплексних чисел z1 = x1 + iy1 і z2 = x2 + iy2 здійснюється так – дійсні та уявні частини чисел відповідно додаються (віднімаються):

z1 + z2 =( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) ; z1 - z2 = ( x1 - x2 ) + i ( y1 - y2 ) .

Множення комплексних чисел z1 = x1 + iy1 і z2 = x2 + iy2 здійснюється за правилом множення двочленів:

z1z2 = ( x1 + iy1 ) ( x2 + iy2 ) = x1x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i2 y1 y2 = ( x1x2 - y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) .

Зауваження.

1) Для множення комплексного числа z = x + iy на дійсне число a досить його дійсну та уявну частини помножити на це число a : az = ax + iay .

2) Знайдемо натуральні степені уявної одиниці: i1 = i, i2 = -1, i3 = i2 ×i = -i, i4 = i3 ×i = -i2 = 1. Отже, i4k = 1, i4k +1 = i, i4k +2 = -1, i4k +3 = -i .

3) При піднесенні комплексного числа до натурального степеня можна застосовувати відомі з елементарної математики формули скороченого множення, а також формулу бінома Ньютона.

4) Сума і добуток двох комплексно спряжених чисел z = x + iy і z = x - iy є дійсним числом: z + z = 2x ; z × z = x2 + y2 .

5) Дійсну та уявну частини комплексного числа z = x + iy можна виразити через саме число та спряжене до нього z = x - iy :

x =	z + z	;	y =	z - z	.

2				2i

Ділення комплексних чисел z1 = x1 + iy1 і z2 = x2 + iy2 , z2 ¹ 0 виконується так:

1)треба чисельник і знаменник дробу z1 z2 домножити на число z2 , спряжене до знаменника z2 ;

2)врахувати, що i2 = -1 , і звести подібні доданки;

3)почленно розділити чисельник на знаменник і одержати частку в алгебричній формі.

z1 : z2

z1 × z2

x1x2 + y1 y2

+ i

x2 y1 - x1 y2

× z2

+ y2

Зауваження. Основні властивості розглянутих арифметичних операцій над комплексними числами співпадають з відповідними властивостями аналогічних операцій над дійсними числами. Тому для комплексних чисел залишаються правильними всі теореми, правила, формули, що виведені для дійсних чисел.

Приклад. Виконати дії над комплексними числами:

z = 3( 2 - 3i) ( 2 - i) - (

3 - i)3 + 5×

4 - 5i

3 + 4i

Розв’язання. Виконуємо дії як над многочленами:

( 4 - 5і) ( 3 - 4і)

4 - 5i

z = 3( 2 - 3i) ( 2 - i) - ( 3 - i)

+ 5

3 + 4iі= 3(4 -і 2i - 6i + 3i

) - 27 + 27i - 9i

+ i

+ 5×

( 3 + 4 ) ( 3 - 4 )

= 3(4 - 8i - 3) - 27 + 27i + 9 - i + 5×

12 -16i -15i + 20i2

- 8i) -18 + 26i + 5×

12 -16i -15i - 20

9 -16i2

= 3(1

9 +16

= 3 - 24i -18 + 26i + -8 - 31i = -15 + 2i + -8 - 31i

= ( -83 - 21i) 5 = -83 5 - ( 21/ 5) i .

3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент комплексного числа.

Якщо на площині введено прямокутну (декартову) систему координат Oxy , то між множиною всіх точок цієї площини і множиною комплексних чисел £ можна встановити взаємно однозначну відповідність: кожному комплексному числу z = x + iy відповідає єдина точка M (x; y) і навпаки (рис. 1). Дійсні числа зображаються точками осі абсцис Ox , тому вісь Ox називається дійсною віссю. Уявні числа зображаються точками осі ординат Oy , тому вісь Oy називається уявною віссю. Числу z = 0 відповідає

(

x; y)

|argz

Рис. 1

z1+z2

z1–z2

0Рис. 2

початок координат O(0;0) .

Координатна площина Oxy , яка зображає множину всіх комплексних чисел £ , називається комплексною площиною £ або z -площиною.

Зауваження. Комплексне число z = x + iy можна також зобразити радіусвектором OM ( x; y) , що виходить із початку координат O(0;0) і закінчується в точці M ( x; y) (рис. 1).

Зауваження. Додавання і віднімання комплексних чисел можна здійснювати за правилами (трикутника та паралелограма) відповідних операцій над векторами (рис. 2). Множення комплексних чисел можна розглядати як ще один вид (поряд зі скалярним і векторним) добутку векторів.

Величину | z |= x2 + y2 називають модулем комплексного числа z . Очевидно, що | z | дорівнює відстані від точки M (x; y) до початку координат,

а також довжині радіус-вектора OM .

Кут нахилу вектора OM до осі Ox називається аргументом комплексного числа z і позначається Arg z

. Він визначається з точністю до сталого доданку вигляду 2p k, k Î¢ (довільного числа повних обертів). Значення аргументу, що належить проміжку (-p ;p ] , називається головним значенням аргументу і позначається arg z . Тобто Arg z = arg z + 2p k , k Î ¢ .

Головне значення аргументу визначається за формулою:

ìarctg( y x)

x > 0;

+ p ,

x < 0, y ³ 0;

ïarctg( y x)

-p ,

x < 0, y < 0;

arg z = íarctg ( y

2 ,

x = 0;

y > 0;

ï p

ï-p 2 , x = 0, y < 0.

або зі системи рівнянь

( arg z) =

ïcos

+ y

ïsin ( arg z) =

+ y

Зауваження. Для числа z = 0 модуль дорівнює нулю, а аргумент є невизначеним.

4. Тригонометрична та показникова форми комплексного числа.

Якщо на комплексній площині (рис. 1) ввести також полярну систему координат Orj з полюсом у початку декартової системи координат і полярною віссю, що співпадає з віссю Ox , то точку

M ( x; y) , яка зображає комплексне число z = x + iy можна задати полярними координатами M ( r;j ) , при цьому полярний радіус r =| z | , а полярний кут j = arg z.

Використовуючи зв’язок декартових і полярних координат x = r cosj , y = r sinj , комплексне число z = x + iy можна подати у вигляді

z = x + iy = r cosj + ir sinj = r ( cosj + i sinj ) .

Такий запис називається тригонометричною формою комплексного числа. Якщо звернутись до основної формули Ейлера

eij = cosj + i sinj ,

(її доведення наводиться в теорії рядів), то від тригонометричної форми можна перейти до показникової форми комплексного числа: z = reij .

Зауваження. З основної формули Ейлера випливають допоміжні формули Ейлера:

cosj = Reeij ;	sinj = Im eij ;	cosj = eij + e-ij	;	sinj = eij - e-ij .
		2		2i

Приклад. Зобразити на комплексній площині і подати в тригонометричній та показниковій формах наступні комплексні числа, що задані в алгебричній формі:

z = -		+ i ; z2 = 2 - 2i ; z3 = 2i ; z4 = -2	; z5 = -2 -i .
	3
1

Розв’язання. Побудуємо задані числа на комплексній площині (рис. 3).

Знайдемо модуль і головне значення аргументу кожного з даних чисел та запишемо їх у тригонометричній та показниковій формах:

z1	y2 z3
z1	1	x
z4		x
- 2		1 2
z5	-1
	- 2	z2
	- 2
	Рис. 3

1) z = -

+ i : x = -

= 2 ;

3; y = 1;

= x2

+ y2

arg z1

= arctg ( y1

x1 ) + p , x1 < 0, y1 ³ 0 ;

arg z1

= arctg( -1

) + p = -p 6 + p = 5p 6 ;

z1 = 2

( cos ( 5p 6)

+ isin (5p 6) ) ;

z1 = 2ei( 5p 6) .

2) z2 = 2 - 2i : x2 = 2; y2 = -2 ; z2 = x22 + y22 = 22 ;

= 2i :

x3 = 0;

y3 = 2 ;

x32 + y32

= 2 ;

arg z3 = p 2, x = 0; y > 0 ;

z3 = 2( cos(p 2)

+ i sin ( p 2) ) ;

z3 = 2ei (p 2) .

= -2 :

x4 = -2; y4 = 0 ;

arg z4 = arctg ( y4 x4 ) + p ,

x4 < 0, y4 ³ 0 ;

x42 + y42 = 2 ;

arg z4 = arctg0 + p = p ;

= 2( cosp + i sinp ) ;

z4 = 2eip .

= -2 -i : x5 = -2; y5 = -1 ;

;

arg z5 = arctg( y5 x5 ) -p ,

x5 < 0, y5 < 0 ;

= x2

+ y2

arg z5 = arctg (1 2) -p ;

(cos( arctg (1 2)

- p )

+ isin ( arctg (1 2) - p ) ) ,

ei( arctg(1 2) -p ) .

5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.

Нехай комплексні числа задані в тригонометричній формі. Обчислимо їх добуток: z1 × z2 = r1 ( cosj1 + i sinj1 ) × r2 ( cosj2 + isinj2 ) =

= r1r2 ( cosj1 cosj2 + i cosj1 sinj2 + isinj1 cosj2 - sinj1 sinj2 ) = r1r2 (cos(j1 +j2 ) + isin (j1 +j )2 ) .

Якщо комплексні числа задані в показниковій формі, то:

z1 × z2 = r1 eij1 × r2 eij2 = r1r2 ei(j1 +j2 ) .

Отже, добутком двох комплексних чисел z1 і z2 є комплексне число, модуль якого дорівнює добутку модулів, а аргумент – сумі аргументів співмножників, тобто

z1z2 = z1 × z2 , Arg( z1z2 ) = Arg z1 + Arg z2 .

Нехай комплексні числа задані в тригонометричній формі, причому z2 ¹ 0 . Обчислимо їх частку:

z1	=	r1	( cosj1	+ i sinj1 )	=	r1	( cosj1 + i sinj1 ) ( cosj2 - isinj )	=	r1	( cos(j1 -j2 ) + i sin (j1 -j2 ) ) .
z2		r2	( cosj2	+ i sinj2 )		r2	( cosj2 + isinj2 ) ( cosj2 - isinj2 )		r2

Якщо комплексні числа задані в показниковій формі, то

z		=	r eij1			=	r	e	i(j -j		)
	1		1				1		1	2		.
z	2		r e	ij	2		r		1	2		.
	2		2				2

Отже, часткою z1 z2 двох комплексних чисел z1 і z2 , є комплексне число, модуль якого дорівнює частці модулів діленого z1 і дільника z2 , а аргумент – різниці аргументів діленого z1 і дільника z2 , тобто

z		z		æ	z	ö

1	=	1	,	Argç	1	÷	= Arg z1 - Arg z2 .

z2		z2
				è z2		ø

Натуральним степенем zn комплексного числа z називається комплексне число, отримане множенням числа z самого на себе n разів, де n – натуральне число.

Із правила множення комплексних чисел в тригонометричній формі випливає перша формула Муавра: zn = ( r ×( cosj + i sinj ) )n = rn ( cosnj + i sin nj ) .

Приклад. Обчислити ( 3 - i)40 .

Розв’язання. Запишемо число 3 - i в тригонометричній формі:

3 - i = 2( cos( -p 6) + i sin ( -p 6) ) . За першою формулою Муавра маємо

(3 - i)40 = (2(cos( -p 6) + isin ( -p 6) ) )40 = 240 (cos( -20p 3) + i sin ( -20p 3) ) = 240 (cos ( -6p - 2p 3) +

+i sin( -6p - 2p3) ) = 240 (cos( -2p 3) + i sin ( -2p 3) ) = 240 (-12 + i × 32) = -239 + i ×239 3 .

Коренем n -го степеня nz з комплексного числа z називається таке комплексне число, n -й степінь

якого дорівнює z .

Очевидно, що корінь n -го степеня з нуля дорівнює нулю.

Якщо комплексне число z відмінне від нуля z ¹ 0 , то корінь n -го степеня nz має рівно n різних значень. Нехай nz = z1 і z = r ( cosj + i sinj ) , z1 = r1 ( cosj1 + isinj1 ) . Тоді з рівності z1n = z маємо:

r1n ( cosnj1 + isin nj1 ) = r ( cosj + i sinj ) .

Звідси rn = r , nj1

= j + 2p k, k Î¢ або r = n

, j = j + 2p k , k Î¢ .

Отримуємо другу формулу Муавра:

j + 2p k

j + 2p k ö

z = n r × cosj + i sinj

+ i sin

r çcos

де k = 0,1,2,K,n -1 ;

– арифметичне значення кореня з додатного числа. Зауважимо, що в останній

формулі k = 0,1,2,K,n -1 , оскільки для інших цілих значень k раніше знайдені корені повторюються.

На

комплексній площині

всі

корені

n -го

степеня

комплексного числа

z ¹ 0 зображуються

вершинами правильного n -кутника, вписаного в коло з центром у початку координат і радіусом n

Приклад. Обчислити:

а)

;

б)

-9i

i -1

Розв’язання. а) Запишемо підкореневе число -9i

в тригонометричній формі

-9i = 9( cos( -p 2)

+ i sin (

-p 2) ) .

За другою формулою Муавра маємо:

-p 2 + 2pk

-p 2 + 2pk ö

-9i =

9 cos

-p 2

+ i sin -p 2

+ isin

çcos

= 3( cos( -p 4 + p k ) + isin ( -p 4 + p k ) )

, де

k = 0,1.

При k = 0 :

= 3( cos ( -p 4) + isin ( -p 4) )

= 3

2 - i ×3

2 .

-9i

При k = 1:

= 3( cos( 3p 4)

+ isin ( 3p 4) )

= -3

2 + i ×3

2 .

-9i

б) Запишемо підкореневе число i -1 в тригонометричній формі i -1 =

( cos( 3p 4)

+ isin ( 3p 4) ) .

За другою формулою Муавра обчислюємо:

3p 4 + 2p k

3p 4 + 2p k ö

3 i -1 = 3

cos

3p 4 + isin

3p 4

+ isin

= 6 2 çcos

÷ ,

= 6

( cos(p 4 + 2p k

+ isin (p 4 + 2pk

3) ) , де

k = 0,1,2 .

При k = 0 :

= 6

( cos(p 4) + isin (p 4) )

(1+ i) .

i -1

3 2

При k = 1:

= 6

(cos(11p 12) + isin (11p 12) ) .

i -1

k = 2 :

= 6

( cos(19p 12) + isin (19p 12) ) = 6

(cos( -5p 12) + isin ( -5p 12) ) .

При

i -1

6. Многочлени та їх корені. Розклад многочлена на множники.

Функція комплексної змінної

P (z) = a

+ a zn-1

+ ... + a

z + a

n-1

називається многочленом n -го степеня стандартного вигляду.

Тут z – комплексний аргумент; n

– степінь многочлена; a0 , a1 , ..., an – сталі комплексні коефіцієнти; a0

називається старшим коефіцієнтом, причому a0

¹ 0 ; an

називається вільним членом.

Теорема 1 (теорема Безу). При діленні многочлена Pn ( z)

на різницю z - a остача від ділення дорівнює

Pn ( a) .

Доведення. Pn ( z)

= Qn-1 ( z) × ( z - a)

+ R . Нехай тепер z = a , тоді Pn (a) = R .

Наслідок 1. Якщо a – корінь многочлена Pn (

, то цей многочлен Pn (z)

ділиться без остачі на різницю

z - a , тобто розкладається на множники

Pn (

z) = Qn-1 ( z)

×(

z - a) ,

де

частка Qn-1 ( z) – многочлен на

одиницю меншого степеня, ніж многочлен Pn (

z) .

Теорема 2 (основна теорема алгебри). Будь-який многочлен Pn ( z)

ненульового степеня n ³ 1 має хоча

б один корінь (дійсний чи комплексний).

Наслідок 2. Будь-який многочлен Pn (

ненульового степеня n ³ 1

має рівно n

коренів, серед яких

можуть бути однакові.

Наслідок 3. Якщо комплексне число z

є коренем многочлена, у якого всі коефіцієнти дійсні числа, то

є також коренем цього многочлена.

Наслідок 4. Будь-який многочлен Pn ( z)

ненульового степеня n ³ 1

розкладається на

множники

вигляді

Pn ( z)

= a0 ( z - z1 ) k1 ( z - z2 )k2 ... ( z - zm ) km ,

де

a0 – старший коефіцієнт; z1 , z2 ,..., zm

– різні (дійсні чи комплексні) корені,

m Î¥ ;

k1,k2 , ...,km –

відповідні кратності цих коренів, причому k1 + k2 + ...+ km = n .

Корені квадратного рівняння

az2 + bz + c = 0 ( a ¹ 0)

з комплексними коефіцієнтами a ,b,c знаходяться за відомими формулами

z =

-b ±

; D = b2 - 4ac ,

1,2

де

– одне зі значень квадратного кореня з дискримінанта D .

На множині комплексних чисел для коренів квадратного рівняння залишається правильною теорема

Вієта:

z1 + z2 = -b a ,

z1 z2 = c a .

Приклад. Розв’язати рівняння:

а)

4z2 + 4z + 5 = 0 ; б) z2 + 2i z -1+ 2i = 0 ; в) z4 + 5z2 - 36 = 0 .

Розв’язання. а)

= -

;

= -4 ± 8i

= - 1

± i .

-64 = 8i

1,2

2 × 4

( 2i)

2 -

(

2i)

= -

D =

-8i =

8 cos

-p / 2

+ isin -p / 2

б) D

;

(

2)) = 2 - 2i ;

2 - i (

= 2

( cos(-p / 4) +i sin(-p / 4)) = 2

z = -2i ± (2 - 2i)

= -i ± (1- i) ;

z = 1- 2i ; z

= -1.

1,2

в) зробимо заміну

= w

w2 + 5w - 36 = 0, D = 25 +144 = 169,

= -5 ±13

= 4;- 9

. Тоді,

= 4

Þ z

= ±2;

z2 = -9 Þ z

3,4

= ±3i .

1,2

Приклад. Розкласти многочлени на множники на множині комплексних чисел:

а) z4 + 5z2 - 36 ;

б) z4 -16 .

Розв’язання.

а) враховуючи попередній приклад і наслідок 4, маємо

z4 + 5z2 - 36 = ( z - 2) ( z + 2) ( z - 3i) ( z + 3i) ;

б) z4 -16 = ( z2 )2 - 42 = (

z2 - 4) ( z2 + 4)

= (

z2 - 22 ) ( z2 - ( 2i) 2 ) = ( z - 2) ( z + 2) ( z - 2i) ( z + 2i) .

Соседние файлы в папке Пукач лекції 1-16

#
12.02.2016173.94 Кб27Lektsiya-12.pdf
#
12.02.2016162.65 Кб27Lektsiya-13.pdf
#
12.02.2016181.8 Кб30Lektsiya-14.pdf
#
12.02.2016220.36 Кб30Lektsiya-15.pdf
#
12.02.2016175.9 Кб27Lektsiya-16.pdf
#
12.02.2016178.75 Кб30Lektsiya-2.pdf
#
12.02.2016154.56 Кб34Lektsiya-3.pdf
#
12.02.2016186.52 Кб75Lektsiya-4.pdf
#
12.02.2016143.21 Кб29Lektsiya-5.pdf
#
12.02.2016154.43 Кб28Lektsiya-6.pdf
#
12.02.2016188.3 Кб44Lektsiya-7.pdf