Розглянемо числову послідовність, задану формулою загального члена

x

=

n +1

. Зобразимо її члени

n

n

точками числової осі (рис. 1).

x 4

x

3

x 2

x 1

0

1

5

4

3

2

Ў

4

3

2

Рис.1.

Легко зауважити, що зі збільшенням n члени послідовності

xn

як завгодно близько наближаються до

одиниці. При цьому | xn -1| з збільшенням n зменшується:

| x -1|= 1, | x -1|= 1 , | x -1|= 1 , | x

4

-1|=

1 ,..., | x -1|= 1 ,...

1

2

2

3

3

4

n

n

n

Більше того, для довільного як завгодно малого числа

e > 0

ми завжди можемо вказати такий номер

елемента послідовності, починаючи з якого | xn -1|< e . Наприклад,

e = 0,1:

| xn -1|< 0,1 Þ

1

< 0,1 Þ n > 10

;

n

e = 0,01:

| xn -1|< 0,01 Þ

1

< 0,01 Þ n > 100 .

n

Ці міркування і лежать в основі означення границі послідовності.

Означення 1. Число a називається границею числової послідовності {an }

, якщо

"e > 0 $N = N ( e ) Î ¥ "n > N :

an - a

< e .

Той факт, що число a є границею послідовності

{an } записується так:

lim a

= a

або an

® a при

n®¥

n

n ® ¥ . Якщо послідовність

має границю,

то вона називається збіжною, у протилежному випадку

–

розбіжною.

називається границею числової послідовності {an }

Означення 1'(на мові околів). Число a

, якщо в

a

- e

a a + e

x 1

x 2

x 3

Ў

x N + 1

Рис. 2. Графічне зображення збіжної послідовності

Приклад. Користуючись означенням границі послідовності, довести, що lim

n + 3

=

1 .

Розв’язання. Потрібно довести, що для кожного додатного e

n®¥

2n +1

2

N , що для

існує таке натуральне число

n + 3

- 1

n + 3

1

5

довільного натурального n > N правильна нерівність

< e . Оскільки

- 2

=

< e

2n +1

2

(

2n +1

2n +1

2

)

для n >

1

æ

5

ö

n + 3

1

ç

-1÷

, то

нерівність

-

< e

виконується

для

довільного

натурального

2

2e

2n +1

2

è

ø

é

1

æ

5

öù

, де [...]

n > N = ê

ç

-1÷ú

– ціла частина числа.

2

2e

ë

è

øû

Вправа. Користуючись означенням границі послідовності, довести, що:

1) lim

3n -1 = 3 ;

2)

lim 1 sin p n = 0 .

n®¥ n + 2

n®¥ n

2

Означення 2. Число a не є границею послідовності {an } , якщо $e > 0

"N Î ¥ $n > N :

an - a

³ e .

Вправа. Довести розбіжність вказаних послідовностей: 1) an = ( -1) n ; 2)

an = sin p n .

2

Доведення. Припустимо, що послідовність {an }

має дві границі, тобто

lim a

n

= a

і

lim a

n

= b

. Тоді

n®¥

n®¥

Теорема 2. Збіжна послідовність обмежена.

lim a

= a

. Тоді, згідно з означенням 1 границі послідовності для числа e = 1

Доведення. Нехай n®¥

n

$N Î ¥ "n > N :

an - a

< 1 .

Нехай

d = max{

a1 - a

,

a2 - a

,...,

aN -1 - a

,1} .

Тоді

"n Î ¥:

an - a

£ d

Þ a - d £ an £ a + d . Отже,

послідовність { an } обмежена.

{ an } ,{ bn } ,{ cn } виконуються

Теорема 3. (про

проміжну

послідовність). Нехай

для послідовностей

умови:

1) "n Î ¥: an £ bn £ cn ;

lim a

= lim c = a

.

2) n®¥ n

n®¥ n

Тоді послідовність {bn }

збіжна:

lim b

= a

.

n®¥

n

Доведення. Нехай число e > 0 задане. Тоді

$N1 = N ( e ) "n > N1 : -e < an - a < e,

$N2 = N ( e ) "n > N2 : -e < cn - a < e.

Тоді "n ³ max{ N1, N2}

маємо a

- e < an £ bn £ cn < a + e

Þ

bn - a

< e . Отже,

lim b

= a

.

n®¥ n

Теорема 4. Нехай

lim a

n

= a

і a < b . Тоді $ N ( b)

"n ³ N ( b) : an < b .

n®¥

Теорема 5. Нехай

lim a

n

= a

і

"n Î ¥: an ³ b . Тоді a ³ b .

n®¥

Теорема 6. Нехай

lim a

n

= a, lim b

= b

і "n Î ¥: an £ bn . Тоді a £ b .

n®¥

n®¥ n

Пропонуємо доведення теорем 4-6 провести самостійно.

Для послідовностей, що мають границі, справедливі такі твердження.

Теорема 7. Нехай

lim a

n

= a, lim b

= b

.Тоді:

n®¥

n®¥ n

1)

lim

( can ) = ca , c = const ;

n®¥

( an ± bn )

2)

lim

= a ± b ;

n®¥

( anbn ) = ab ;

3)

lim

n®¥

4) якщо b ¹ 0 , то lim

æ

ö

= a

;

ç an

÷

n®¥

b

ø

b

è n

5)

lim

( an ) k = ak ,

k Î ¥.

n®¥

Доведення. Доведемо рівність 2).

< e

lim an

= a Þ "e > 0 $N1 = N1 (

e ) Î ¥ "n > N1 :

an - a

,

n®¥

2

lim bn = b Þ "e > 0

$N2

= N2 ( e ) Î ¥ "n > N2

:

bn - b

< e .

n®¥

2

Позначимо

N = max{ N

; N

2

} . Тоді "n > N :

a

n

+ b - a - b

£

a

n

- a

+

b - b

< e

+ e = e . Отже,

1

n

n

2

2

lim ( an + bn ) = a + b = lim an + lim bn .

n®¥

n®¥

n®¥

Аналогічно можна довести, що lim ( an - bn )

= a - b = lim an - limbn .

n®¥

n®¥

n®¥

def

1× 2 × 3×...× n,

n Î ¥ ;

n!

=

Cn0

= Cnn

= 1 ,

Cn0

= 1.

Cnk

=

n!

= n( n -1) ...( n - k +1) ;

def

k!( n - k ) !

k !

Формула бінома Ньютона має вигляд:

n

( a + b) n

= åCnk an-k bk .

k =1

Приклад. Довести, що послідовність xn =

æ

+

1

ön

має границю.

ç1

n

÷

è

ø

Розв’язання. Спочатку покажемо, що послідовність { xn }

монотонно зростає. Дійсно,

æ

1

ön

1

n ( n -1)

1

n

( n -1) ...( n - k +1)

1

n ( n -1) ...1 1

1

æ

1

ö

xn = ç1+

÷

= 1+ n

+

+ ...

+

+ ... +

= 2 +

ç1-

÷ + ... +

n

n

2!

n

2