Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-6
.pdfЛекція 6. Неперервність функції. Точки розриву та їх класифікація.
Теореми про неперервні функції.
Неперервні функції складають досить широкий і важливий з точки зору практичних застосувань клас функцій. Природу багатьох явищ і процесів намагаються описати за допомогою неперервних функцій.
Поняття неперервності функції, як і поняття границі, є одним з основних у математичному аналізі.
Означення 1. Функцію f ( x) , визначену в околі точки x0 , називають неперервною в точці x0 , якщо |
|||||||||
lim f ( x) = f ( x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основі означення Коші границі функції в точці сформулюємо означення 1 на мові „ε - δ”. |
|||||||||
Означення 1'.Функція f ( |
x) – неперервна в точці x0 Î( a;b) , якщо |
||||||||
"e > 0 |
$d = d ( e ) > 0 "x Î( a;b) : |
|
x - x0 |
|
< d Þ |
|
f ( x) - f ( x0 ) |
|
< e . |
|
|
|
|
||||||
Різницю x - x0 називають приростом аргументу в точці x0 і позначають Dx , а різницю f ( x) - f ( x0 ) |
|||||||||
називають приростом функції в точці x0 , що відповідає даному приросту аргументу Dx , і позначають Dy , тобто
|
|
|
Dx = x - x0 , Dy = f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
У цих позначеннях означення неперервності функції в точці еквівалентне наступному. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Означення 2. Функцію |
f (x) , визначену в околі точки |
x0 , називають неперервною в точці |
x0 , якщо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim Dy = 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад. Довести, що функція |
f ( |
x) = 1 |
|
неперервна в будь-якій точці x0 ¹ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
Нехай |
|
|
x0 |
¹ 0 |
|
|
|
і |
|
|
запишемо |
|
|
приріст |
функції |
f ( |
x) |
|
в |
точці |
|
x0 : |
|||||||||||||||
Dy ( |
x0 ) = f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) |
= |
|
|
1 |
|
|
- |
1 |
= |
|
|
|
-Dx |
|
. |
Тому |
lim Dy = 0 |
, якщо |
x |
¹ 0 |
. Отже, |
y |
= 1 |
– |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( x0 + Dx) × x0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x0 + Dx x0 |
Dx |
®0 |
|
0 |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
неперервна в будь-якій точці x0 ¹ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Функція |
y = f ( |
x) називається неперервною на проміжку |
X , якщо вона неперервна в кожній точці |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
цього проміжку; записують |
f ( x) ÎC ( X ) |
|
. При цьому, якщо проміжок X є відрізком або півінтервалом, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
при дослідженні неперервності функції в кожній не внутрішній точці проміжку |
X будемо розглядати |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
відповідні |
|
односторонні |
границі. |
|
Наприклад, |
|
функцію |
y = f ( x) , |
задану |
на |
півінтервалі |
( |
-¥;a] |
|||||||||||||||||||||||||
вважатимемо неперервною в точці a , якщо |
|
lim |
|
f ( |
x) = f |
( a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®a |
-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зауваження. Будь-яка елементарна функція неперервна на своїй області визначення. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1. Для того, щоб функція |
|
f ( x) , визначена в околі точки |
x0 , була неперервна в цій точці, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
необхідно і достатньо, щоб x |
lim |
f |
( |
x |
) |
= |
|
lim f |
( |
x |
) |
= f |
( |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
®x |
-0 |
|
|
|
x®x |
+0 |
|
|
|
|
0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Означення 3. Точка x0 |
називається точкою розриву функції |
, якщо функція в цій точці не є |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неперервною. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На основі теореми 1 можна сформулювати інше означення точки розриву функції. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Означення 4. Точка x0 |
називається точкою розриву функції |
f ( x) , якщо функція |
f ( x) |
визначена в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
проколотому околі точки x0 і ( x0 Ï D( f ) ) Ú (xlim®x0 f ( x) ¹ f ( x0 ) ) .
Наведемо класифікацію точок розриву функцій. Розрізняють точки розриву трьох типів: точки усувного
розриву, точки розриву першого роду і точки розриву другого роду. |
|
|
|
|
|||||
1. Якщо існує |
lim f ( x) , але |
f ( x) не визначена в точці |
x |
(рис. 1) або |
lim f ( x) ¹ f ( x0 ) |
(рис. 2), то |
x |
||
|
x®x |
0 |
|
0 |
|
x®x |
0 |
|
0 |
називають точкою усувного розриву.
y |
|
|
|
|
y = f ( x ) |
0 |
x 0 |
x |
Рис.1 |
|
|
|
y |
|
|
f ( x 0 |
) |
|
y = f ( x ) |
|
|
|
|
|
0 |
x 0 |
x |
|
|
Рис.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки усувного розриву. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Якщо функцію |
f ( x) |
довизначити |
|
в |
точці |
x0 |
|
або |
змінити |
|
її |
значення |
в |
|
цій |
точці так, щоб |
|||||||||||||||||||||
f ( x0 ) = lim f ( x) , то отримана функція буде неперервною в точці |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x®x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад. Функція |
f ( x) |
= sin x |
в точці x0 |
= 0 має усувний розрив. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Якщо |
в |
точці |
розриву |
x |
|
|
існують |
скінченні |
односторонні |
границі |
|
x |
lim |
f ( |
x) = f ( x0 + 0) , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®x |
+0 |
|
|
||
|
|
f ( x) |
= f ( |
x0 - 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
lim |
і f ( |
x + 0) |
¹ f ( |
x |
- 0) , то x |
|
називають точкою розриву першого роду (рис. 3), а |
||||||||||||||||||||||||||||||
x®x |
-0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
різницю w ( |
f ; x0 ) = f ( x0 + 0) - f ( x0 - 0) |
|
– стрибком функції f ( |
x) |
у точці x0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f ( |
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
( x 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3. Точка розриву першого роду. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Приклад. Функції |
f ( x) = [ x] |
(рис. |
|
4) і |
f ( x) |
= { |
def |
x - [ x] |
(рис. |
|
5) |
в точках |
x = k , |
k Î ¢ мають |
|||||||||||||||||||||||
|
x} = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
розриви першого роду, причому |
w |
([ |
x |
] |
;k |
) |
=1 |
, |
w |
x ;k |
) |
= -1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
({ } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Якщо в точці розриву |
x |
хоча б одна з односторонніх границь |
|
lim |
f |
( x) або |
x |
lim |
f ( |
x) не існує чи |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®x |
+0 |
|
|
®x |
-0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
дорівнює нескінченності, то x0 |
|
називають точкою розриву другого роду (рис. 6, 7). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
0 |
x |
0 |
x |
y=f(x) |
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
y |
|
|
y=f(x) |
|
|
0 |
x 0 |
x |
|
Рис. 7 |
|
Точки розриву другого роду |
|
|
|
Приклад. Функція f ( x) = e- 1x в точці x0 = 0 має розрив другого роду, бо |
lim e- 1x = 0 |
, |
lim e- 1x = +¥ |
|
x®+0 |
|
x®-0 |
(рис. 8). |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приклад. Дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву і встановити їх тип. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
cos x, |
x £ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) f ( x) = |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
; |
|
б) f ( |
x) = íx +1, 0 < x £ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1+ e |
x-1 |
|
|
|
|
ï |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
x > 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) Область визначення даної функції D( |
f ) = ¡ \ {1} . Оскільки f ( |
x) є елементарною функцією, то вона |
|||||||||||||||||||||
неперервна для всіх |
x Î ¡ , крім |
x =1 , яка є точкою розриву функції. Знаходимо односторонні границі в |
|||||||||||||||||||||
точці x =1 : |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= 0 , |
|
lim |
|
|
|
= 1. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x®1+0 1+ e |
|
|
|
|
|
|
x®1-0 1+ e |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x-1 |
|
|
|
|
|
x-1 |
|
||||||||||
Отже, односторонні границі існують, але не рівні між собою, тому |
x =1 є точкою розриву першого роду; |
||||||||||||||||||||||
w ( f ;1) = 0 -1 = -1 – стрибок функції в точці x =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
б) Дана функція не є елементарною, але кожна з елементарних функцій cos x, x +1, |
|
неперервна в |
|||||||||||||||||||||
x - 2 |
|||||||||||||||||||||||
кожній внутрішній точці області свого визначення, тобто на інтервалах ( -¥;0) , ( 0;2) , ( 2;+¥) відповідно.
Тому |
f ( x) може мати розрив лише у тих точках, де змінюється її аналітичний вираз, тобто при x = 0 і |
|||
x = 2 |
. Дослідимо |
f ( x) на неперервність у цих точках. Для цього обчислимо односторонні границі і |
||
значення функції |
f ( x) у точках x = 0 і x = 2 . |
|||
|
lim f |
( x) = lim cos x =1 , |
lim f ( x) |
= lim ( x +1) =1, f ( 0) = cos0 =1 . |
|
x®-0 |
x®-0 |
x®+0 |
x®+0 |
Оскільки |
lim f ( |
x) = lim f ( x) = f |
( 0) =1 , то |
f ( x) неперервна в точці x = 0 . |
||||
|
|
x®-0 |
x®+0 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f ( x) = lim |
( x +1) = 3 , lim |
f ( x) = lim |
1 |
= +¥ . |
|
|
|
|
||||||
|
|
x®2-0 |
x®2-0 |
|
x®2+0 |
x®2-0 x - 2 |
||
|
|
|
|
f ( x) |
||||
Отже, в точці x = 2 функція |
має розрив другого роду. |
|||||||
|
Теорема 2. Якщо f ( x) , g ( x) |
– неперервні в точці x0 , то: |
||||||
1) |
cf ( x) |
– неперервна в точці x0 , "c Î ¡ ; |
|
|
|
|||
2) |
f ( x) ± g ( x) , |
f ( x) × g ( x) – неперервні в точці x0 ; |
||||||
f(x)
3)g(x) неперервна в точці x0 , якщо g ( x0 ) ¹ 0 .
|
|
Теорема 3. Якщо f ( x) – неперервна в точці x0 , а g ( y) – неперервна в точці |
y0 |
= f ( x0 ) , то g ( f ( x) ) |
||||||||||||||||||||||
неперервна в точці x0 |
, тобто |
lim g |
( |
f ( x) |
) |
= lim g |
( y) |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
x®x |
|
|
|
y® y |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
неперервна на [ a;b] |
|
|
|
|
||
|
|
Теорема 4 (Вейєрштраса). Якщо функція |
f ( x) |
, то вона досягає на цьому відрізку |
||||||||||||||||||||||
свого |
найбільшого |
і |
( |
найменшого |
|
значення, |
тобто існують точки |
x1 Î[ a;b] |
і |
x2 Î [a;b] |
такі, що |
|||||||||||||||
f |
( |
1 ) |
[ a;b] |
( |
x |
) і |
f |
2 ) |
[ a;b] |
|
( |
x |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
= min f |
|
|
|
x |
= min f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Зауваження. Теорема 4 не є правильною для проміжків іншого вигляду, ніж відрізок. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Приклад. Функція |
f ( |
x) = 1x на інтервалі ( 0;1) |
не досягає ні найбільшого, ні найменшого значення. |
|||||||||||||||||||||
|
|
Теорема 5 (Коші, про проміжне значення). Нехай f ÎC ([ a;b]) , |
f ( a) = A , |
f ( b) = B і |
A £ B . Тоді |
|||||||||||||||||||||
"C Î[ A; B] $x Î[ a;b] : f ( x ) = C .
y |
y |
|
B |
||
|
||
ф |
|
C |
|
|
0 |
x |
|
|
|
||
ф |
|
|
x |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
a |
ξ |
b |
|
0 |
|
|
Наслідок 1. Якщо f ÎC ([ a;b]) і |
f ( a) f ( b) < 0 , то $ c Î( a;b) : f ( c) = 0 . |
|||
|
Наслідок 2. Неперервна на [ a;b] |
функція f ( x) приймає будь-які значення з відрізка [ m; M ] і тільки їх, |
|||
де |
m = min f ( x) |
, |
M = max f ( x) |
. |
|
[ a;b] |
[ a;b] |
|
|||
Теорема 6 (про існування та неперервність оберненої функції). Нехай
1)f ( x) – визначена на [ a;b] ;
2)f ( x) – монотонна на [ a;b] ;
3)f ( x) – неперервна на [ a;b] .
Тоді існує обернена функція |
f -1 ( x) , визначена і монотонна на |
é f ( a) ; f ( b) ù . |
|
|
|
ë |
û |