Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-16

Лекція 16.

Визначений інтеграл.

1. Означення та властивості визначеного інтеграла.

Задача про знаходження площі криволінійної трапеції.

Історично поняття первісної функції тісно пов’язане зі задачею про знаходження площі фігури.

Нехай на відрізку a, b

задана неперервна функція

y = f ( x) , що набуває лише невід’ємних значень

(рис.1).

y

y =

f ( x )

M

C

B

y

i

m

0

A a

x 1

x i - 1

x i

D x i x i

x n - 1

b D

x

Рис.1. Криволінійна трапеція

Розглянемо фігуру

ABCD , що обмежена кривою

y = f ( x) , вертикальними прямими x = a, x = b

і

відрізком a; b

осі

OX . Така фігура називається

криволінійною трапецією. Поділимо її основу

довільними точками

a = x0 , x1, ... , xn = b на n частин, причому

x0 x1 ... xn і

введемо позначення

Dx1 = x1 x0 ;

Dx2 = x2 x1 ;

Dxn = xn xn 1 .

трапеція ABCD

n

Якщо через

точки поділу

провести вертикальні

прямі, то

розіб’ється на

n

n

Sn = å yi Dxi = å f (xi ) Dxi .

i=1

i=1

Означення визначеного інтеграла.

Враховуючи наведені вище позначення, введемо означення визначеного інтеграла.

Означення 1.

Число

d = max Dx

i=1,n

i називається діаметром розбиття.

На кожному

з відрізків x0 ; x1

, x1; x2 ,…, xn 1; xn виберемо довільним чином по точці,

які

позначимо x1,x2 ,...,xn

( x0 x1

x2

... xn b) і складемо суму

n

Sn = f (x1 ) Dx1 + f (x2 ) Dx2 + ... + f (xn ) Dxn = å f (xi ) Dxi .

i=1

Ця сума називається інтегральною сумою функції f ( x)

на відрізку a; b .

Сума Sn залежить від способу розбиття відрізка a; b

на частини xi 1; xi і від вибору точок xi

на

Припустимо, що при d ® 0 (при цьому

n ® ¥ ) границя послідовності інтегральних сум Sn прямує до

n

деякого числа

S :

lim Sn = lim å f (xi ) Dxi

= S .

d ®0

d ®0

i=1

довільного вибору точок xi на відрізках xi 1; xi інтегральна сума Sn

n

= å f (xi ) Dxi

прямує до одного і

i=1

f ( x) на

того ж числа S , то це число називається визначеним інтегралом (інтегралом Рімана) функції

відрізку a;b

і позначається òb

f ( x)

dx , тобто

a

b

n

ò f (

x) dx =limd ®0 å f (xi )

Dxi .

a

a

i=1

b

a; b –

Число

називається нижньою межею

інтеграла,

–

верхньою межею,

відрізок

інтегрування,

x – змінна інтегрування.

, визначеної на a; b , границя послідовності інтегральних сум

Означення 3. Якщо для функції

f ( x)

існує в сенсі означення 2, то функція

f ( x)

називається інтегровною (за Ріманом) на відрізку a; b .

Необхідною умовою

існування

визначеного інтеграла

на

відрізку

a; b

є обмеженість

функції

y = f ( x)

на цьому відрізку. Дійсно, якщо функція була б необмеженою, то за рахунок вибору точки x

можна зробити значення

f (x ) , а разом з ним і інтегральну суму, як завгодно великою. За цих умов

скінченної границі S , очевидно, не існувало б. Тому надалі вважатимемо, що розглядувані функції є

обмежені, тобто m £ f ( x)

£ M .

Суми Дарбу та їх властивості.

Позначимо через m і M відповідно найменше та найбільше значення функції f (

x) на відрізку a;b .

Найменше та найбільше значення функції

f ( x)

на кожному з інтервалів xi 1; xi

(i =

) позначимо mi і

1, n

n

n

Sn = m1Dx1 + m2Dx2 + ... + mn Dxn = åmi Dxi ;

= M1Dx1 + M 2Dx2 + ... + M n Dxn = åM i Dxi ,

Sn

i=1

i=1

y

y =

f ( x )

m

i

0

a

x 1

x i - 1

x i

x n - 1

b

x

Рис.2. Геометрична інтерпретація нижньої суми Дарбу Sn

y

y

=f

( x )

M

i

Рис.3.

Геометрична

інтерпретація

верхньої суми

a

x 1

x i-1

x i

x n-1

Дарбу

Sn

0

b

x

Нижня

та

Оскільки для довільної точки xi

з відрізку xi 1; xi

правильною є нерівність mi £ f (xi ) £ Mi , а, отже,

і mi Dxi £ f (xi ) Dxi £ MiDxi

( Dxi > 0)

n

n

n

, то åmi Dxi £ å f (xi ) Dxi £ åMi Dxi .

i=1

i=1

i=1

n

n

n

Оскільки åmi Dxi = Sn , åM i Dxi =

,

å f (xi ) Dxi = Sn , то матимемо

Sn

£ Sn £

.

Sn

Sn

i=1

i=1

i=1

Теорема 1. Для існування визначеного інтеграла необхідно та достатньо, щоб

lim(

Sn

Sn ) = 0 .

d ®0

Вкажемо декілька класів інтегровних функцій.

1. Якщо функція

f ( x)

неперервна на a;b , то вона інтегровна на цьому відрізку.

2. Якщо функція

f (

x) неперервна на a;b всюди за виключенням скінченної

кількості точок,

які є

точками усувного розриву або точками розриву першого роду, то вона інтегровна на цьому відрізку.

3. Якщо функція

f ( x)

монотонна і обмежена на a;b , то вона інтегровна на цьому відрізку.

2. Геометричний та фізичний зміст визначеного інтеграла.

Геометричний зміст визначеного інтеграла: для невід’ємної функції y = f ( x)

інтеграл

òb

f ( x) dx

обмеженої лініями x = a , x = b ,

y = f ( x)

a

чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції,

, та

віссю

абсцис y = 0 .

v = v( t ) – швидкість прямолінійного руху точки, то

Фізичний зміст визначеного інтеграла: якщо

a

a

a

b

вважаємо, що a b .

1. Якщо

f ( x)

інтегровна на a; b і f ( x) ³ 0 , то òb

f ( x) dx ³ 0 .

інтегровна на a; b , то функція

a

також інтегровна на a; b , причому

2. Якщо

f ( x)

f ( x)

òb

f ( x) dx £ òb

f ( x)

dx .

m( b a) £ òb

f ( x) dx £ M ( b a) .

a

4. Якщо f ( x) і g ( x) інтегровні на a; b , і f ( x) £ g ( x) на цьому відрізку, то òb

f ( x) dx £ òb g ( x) dx .

a

a

Приклад. Вияснити (не обчислюючи), який з інтегралів більший: ò1

x3 cos2 xdx чи ò1

x2 cos2 xdx .

0

0

2p

dx

Приклад. Оцінити інтеграл

ò

.

11+ 3cos x

0

Розв’язання. Найбільшого значення підінтегральна функція f (

x) =

1

набуває при

x = p , бо

11+ 3cos x

1

cosp = 1 і знаменник

функції

найменший,

тобто

M = f (p ) =

. Аналогічно,

при

x = 0

та

x = 2p

8

1

1 £ f (

1

підінтегральна функція

набуває

найменшого

значення: m = f ( 0)

= f ( 2p ) =

. Отже,

x) £

на

14

14

8

відрізку 0;2p , звідки, враховуючи властивість 3 ( b a = 2p ), матимемо

p £

2òp

f ( x) dx £ p .

4

0

7

Теорема 2 (про середнє значення). Якщо функція

f ( x)

неперервна на a;b , то на цьому відрізку існує

така точка x , для якої виконується співвідношення òb

f ( x)

dx = f (x ) ( b a) .

a

f ( x) на відрізку a; b , то, згідно з властивістю 3, m £

1

òb

f ( x) dx £ M . Позначимо

1

òb

f ( x) dx = m ,

b a a

b a a

Теорема 5. Нехай в інтегралі òb

f ( x) dx функція f ( x) неперервна на відрізку a; b . Введемо нову

a

1)

функція j ( t) неперервно диференційовна на ; ;

2)

складена функція f (j ( t) ) визначена і неперервна на ; , то

b

ò f ( x) dx = ò f (j ( t ) )j¢( t ) dt .

функції òa

f (

x) dx =2òa

f ( x) dx , а для непарної функції – òa

f ( x) dx =0 .

a

0

a

Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Нехай

u (

x) і v( x)

– неперервнот диференційовні на відрізку a;b

функції. Тоді d ( uv) = udv + vdu .

Інтегруючи цю рівність по проміжку від a до b , матимемо òb d ( uv)

= òb udv + òb vdu , звідки, враховуючи, що

a

a

a

òb d ( uv) = uv

ba

, отримаємо формулу

a