Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

162.65 Кб

Скачать

☆

Лекція 13.

Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Формули Тейлора та Маклорена для функції декількох змінних.

Екстремуми функції декількох змінних.

1. Частинні похідні та диференціали вищих порядків.

Частинні похідні першого порядку, взагалі кажучи, є в свою чергу функціями від тієї ж кількості змінних, що й вихідна функція. Тому має зміст задача про знаходження частинних похідних від похідних першого порядку.

Означення 1. Частинні похідні від частинних похідних першого порядку функції, якщо вони існують, називаються другими частинними похідними або частинними похідними другого порядку даної функції.

Для частинних похідних другого порядку використовують наступні позначення:

Якщо z = f (

x1,..., xm ) , то

æ ¶z

ö def

¶2 z

æ ¶z

ö def

¢¢

. Якщо, наприклад, z = f ( x, y) , то

або

¶x

¶ æ ¶z ö ¶2 z

¶ æ ¶z ö

¶2 z

¶ æ ¶z ö

¶2 z

¶ æ ¶z ö ¶2 z

¢¢

÷ =

або

відповідно.

¶x

¶x ø

¶x

¶y è ¶x

¶y¶x

¶x è

¶y ø

¶x¶y

¶y è

¶y

Приклад. Для функції z = x3 cos(

xy2 )

обчислити частинні похідні другого порядку.

¶z

Розв’язання.

cos(

)

- x

sin (

)

¶x

¶z

= -x

sin (

)

× 2xy

= -2x

y sin ( xy

)

¶y

¶2 z

= 6xcos(

)

- 3x

sin (

)

- y

(3x

sin (

) + x

cos(

)

¶x2

¶2 z

= -2x4 (sin ( xy2 ) + y cos(

xy2 ) × 2xy)

= -2x4 sin (

xy2 ) - 4x5 y2 cos (

xy2 )

¶y

¶2 z

( 3x

cos(

) - x

sin (

) ) = -3x

sin (

)

× 2xy - x

(

2y sin (

)

+ y

cos (

) × 2xy )

¶y¶x

¶y

¶2 z

= -6x3 y sin( xy2 ) - 2x3 y sin ( xy2 ) - 2x4 y3 cos( xy2 ) = -8x3 y sin ( xy2 ) - 2x4 y3 cos( xy2 ) ,

( -2x

y sin ( xy

) ) = -2 y ( 4x

sin (

) + x

cos(

) × y

) = -8x

y sin (

)

cos ( xy

) .

¶x¶y

¶x

Означення 2. Частинні похідні вищих порядків, які беруться за різними змінними, називаються

мішаними.

¶z

¶2 z

Теорема 1. Якщо функція z = f (

x, y)

та її частинні похідні

¶x

¶y

визначені та неперервні

¶x¶y

¶y¶x

в точці

P( x, y)

та в деякому її околі, то в цій точці мішані частинні похідні другого порядку рівні між

¶2 z

собою, тобто

¶x¶y

¶y¶x

Означення 3. Частинна похідна

n -го порядку - це перша похідна від частинної похідної (n -1) -го

порядку.

Для частинних похідних вищих порядків ( n ³ 3 ) зберігаються позначення, аналогічні до позначень

частинних похідних першого і другого порядків. Наприклад, якщо z = f ( x, y)

, то

¶3 z

¶2 z

¶3 z

¶2 z

¶n z

¶n-1

p + q = n .

3 =

;

÷ ;....;

, де

¶x

¶y¶x

¶y

¶x

¶y

¶x

¶y

Для мішаних частинних похідних n -го порядку правильна теорема.

Теорема 2. Нехай функція

z = f (

x1,..., xm )

, її частинні похідні до ( n -1)

-го порядку включно та мішані

частинні похідні

n -го порядку визначені та неперервні в точці

M ( x1,..., xm )

та деякому її околі. Тоді

мішані

частинні

похідні

n -го

порядку,

які

відрізняються

лише

черговістю

диференціювання, в точці

M ( x1,..., xm ) є рівні між собою.

z = f

(

x, y

) , то

¶3 z

Наприклад, якщо

¶x¶y2

¶y¶x¶y

¶y2¶x .

Означення 4. Другим

диференціалом

функції

z = f ( x1,..., xm ) , який відповідає незалежним

диференціалам (приростам) dx1, dx2 , ... , dxm , називається диференціал від першого диференціалу: d 2 z = d ( dz) .

2	¶	2	z
Можна показати, що d 2 z = å	¶		z	dxi dxj . Зокрема, якщо для z = f ( x, y) виконуються умови теореми
Можна показати, що d 2 z = å
i, j=1	¶xi¶xj
2, то					¶2 z2 dx2		¶2 z	dxdy + ¶2 z2 dy2 .
			d 2 z =			+ 2	¶2 z
			d 2 z =			+ 2	¶x¶y
					¶x		¶x¶y	¶y
Означення 5. Диференціалом	n -го порядку або						n -им диференціалом функції z = f ( x1,..., xm ) , який

відповідає незалежним диференціалам (приростам) dx1, dx2 , ... , dxm , називається диференціал від ( n -1) - го диференціалу:

d n z = d (

d n-1z) .

Якщо позначити диференціальний оператор першого порядку

dx1 +

dx2 + ... +

dxm літерою L ,

¶x

то

ön

d n z º Ln z = ç

dx1 +

dx2 + ... +

dxm ÷

z .

¶x1

¶xm

¶x2

Зауваження. Можна показати, що другий (і вищого порядку) диференціал функції багатьох змінних не володіє властивістю інваріантності форми. Доведення цього факту проводиться подібно до того, як це було зроблено у випадку функції однієї змінної.

2. Формули Тейлора та Маклорена.

Теорема 3. Нехай функція z = f ( x1,..., xm )

є n -1 разів диференційовною в e -околі точки M0 ( x10 ,..., xm0 ) і

n -разів диференційовною в самій точці M0 (

x10 ,..., xm0 ) . Тоді

f (

M ) = f ( M0 ) +

d 2 f

+ ... +

d n f

+ o( r n ) ,

, M ( x10 + Dx1, x20 + Dx2 ,..., xm0

+ Dxm ) .

де r =

Dx 2 + ... + Dx

в точці M0 ( x10 ,..., xm0 ) . Якщо

Ця

формула

називається

формулою Тейлора

функції

z = f ( x1,..., xm )

M0 ( 0,...,0) , то формула називається формулою Маклорена.

Увипадку функції двох змінних формула Тейлора має вигляд:

f ( x, y) = f (

x , y

) +

é¶f

( x0 , y0 )

(

x - x

) +

¶f ( x0 , y0 )

( y - y

) ù

¶x

¶y

¶2 f ( x0

, y0 )

( x - x

)

+ 2

¶2

( x0 , y0 )

(

x - x ) ( y - y

) +

¶2 f ( x0

, y0 )

( y - y

)

¶x2

¶x¶y

¶y2

+... +

êé

(

x - x0 ) +

(

y - y0 ) úùn

f ( x0 , y0 ) + o( r n ) ,

¶y

n!ë¶x

де r = x - x0 2 + y - y0 2 .

3. Екстремуми функції декількох змінних.

Означення 6.	Функція z = f ( M )	має в точці	M0 локальний максимум (мінімум), якщо
o	( M0 ) : f ( M0 ) > f ( M )	( f ( M0 ) < f ( M ) ) .
$d > 0 "M Î Ud	( M0 ) : f ( M0 ) > f ( M )	( f ( M0 ) < f ( M ) ) .
Точки локального максимуму (мінімуму) функції			z = f ( M ) називаються точками локального
екстремуму.

z = f (x, y)

	0	y
	0
x		M
x		o

¶z

(i = 1,

)

функції z = f (

M ) не існують або дорівнюють

Означення 7. Точки, в яких частинні похідні

¶x

нулю, називаються критичними (стаціонарними) точками функції.

Теорема 4 (необхідна умова екстремуму).

Нехай існують частинні похідні

¶z

i = 1,...,m

–

¶x

точка локального екстремуму функції z = f ( M ) . Тоді

¶z

= 0,

i = 1,...m .

¶x

f ( M )

Зауваження. Рівність нулю частинних похідних першого порядку функції

в точці

не є

достатньою умовою екстремуму.

z = xy

M0 ( 0;0) .

z ( 0;0)

Приклад.

Розглянемо

функцію

околі

точки

Очевидно,

що

= 0

¶z

= 0 . Але M0 ( 0;0) не може бути точкою локального екстремуму, оскільки в довільному d -

¶x

( 0;0)

¶y

( 0;0)

околі точки M0 функція z = xy

приймає як додатні, так і від’ємні значення.

Зауваження. Іншою формою необхідних умов екстремуму функції z = f ( M )

є умова dz

= 0 , оскільки

з того, що

¶z

= 0, i = 1,...,m випливає, що dz

= 0 .

¶xi

Розглянемо функцію двох змінних z = f ( x1, x2 )

. Її другий диференціал має вигляд:

d 2 z = ¶

z2 ( dx1 ) 2

+ ¶

+ 2

dx1dx2

( dx2 ) 2 = åå

dxidxj .

¶x1

¶x1¶x2

¶x2

i=1 j =1 ¶xi¶xj

Аналогічно, якщо z = f (

x1,..., xm ) , то

m m

d 2 z = åå

dxi dxj .

i=1 j =1

¶xi ¶xj

Останній вираз називається квадратичною формою відносно dx1,..., dxm .

Означення 8. Квадратична форма відносно dx1,...,dxm називається додатньо (від’ємно) визначеною в

точці M0 , якщо

"dx1,...,dxm , що не всі дорівнюють нулю одночасно, ця форма приймає лише додатні

(від’ємні) значення.

Позначення: d 2 z

> 0

– додатньо визначена квадратична форма в точці

M0 , d 2 z

< 0 – від’ємно

визначена квадратична форма в точці M0 .

Якщо квадратична форма в точці

приймає як додатні, так і від’ємні значення для різних наборів

dx1,...,dxm , то вона називається знакозмінною в точці M0 .

Приклад. Розглянемо квадратичну форма (

dx1 ) 2 + 2x1dx1dx2 + x2 ( dx2 ) 2 в точках M1 (1;1)

і M2 (1;-3) :

é( dx

) 2 + 2x dx dx

+ x

(

) 2 ù

= (

) 2 + 2dx dx

+ ( dx

) 2

= ( dx + dx

é( dx

) 2 + 2x dx dx

+ x

(

) 2 ù

= (

) 2 + 2dx dx

- 3( dx

) 2 = ( dx + dx

)

2 - 4( dx

)2 = ( dx - dx

) ( dx + 3dx

)

Очевидно, що дана квадратична форма додатньо визначена в точці M1 (1;1) і знакозмінна в точці M2 (1;-3) .

Назвемо матрицею квадратичної форми d 2 z = åå

dxi dxj матрицю

i=1 j=1

¶xi ¶xj

zx x

...

zx x

1 2

1 m

zx2 x1

zx2 x2

...

zx2 xm

= ç

ç......... .......... ... ..........

xm x1

xm x2

...

xm xm

Матриця A є симетричною, оскільки

zx1x2

= zx2 x1 ,..., zxi x j

= zx j xi ,

i ¹ j ,

i, j =

1,m

Головними мінорами симетричної матриці A назвемо наступні визначники:

A1 = zx1x1 ,

zx x

,…,

zx x

4. Критерій Сільвестра. Достатні умови екстремуму.

1.Квадратична форма є додатно визначеною тоді та лише тоді, коли всі головні мінори матриці A додатні: A1 > 0, A2 > 0,..., Am > 0 .

2.Квадратична форма є від’ємно визначеною тоді та лише тоді, коли A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, A4 > 0,....

Теорема 5 (достатні умови екстремуму). Нехай

функція z = f ( M )

– один раз диференційовна в

деякому околі стаціонарної точки M0

і два рази диференційована в точці M0 . Тоді:

1) якщо d 2 z

> 0 , то M0

– точка локального мінімуму функції z = f ( M ) ;

2) якщо d 2 z

– точка локального максимуму функції z = f ( M ) ;

< 0 , то M0

3) якщо d 2 z

– знакозмінна квадратична форма, то в точці M0 немає екстремуму.

Зауваження. Якщо d 2 z

= 0 , то нічого не можна сказати про існування екстремуму в точці M0 .

Потрібні дослідження за допомогою диференціалів вищих порядків.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію u = x2 + y2 + z2 + 2 y + 2z .

Розв’язання. Знайдемо стаціонарні точки функції:

ì2x = 0

ìx = 0

¶u

= 2x ,

= 2 y + 2 ,

2z + 2 ,

í2 y + 2 =

Þ í y = -1,

¶y

¶x

¶z

î2z + 2 =

îz = -1

тому M0 ( 0;-1;-1) – стаціонарна точка. Складемо матрицю квадратичної форми і обчислимо її головні мінори:

			æ	2	0	0	ö				2	0
uxx = 2 , uxy = 0 , uxz = 0 , uyy = 2	, uyz = 0		ç	0	2	0	÷				2	0	> 0
uxx = 2 , uxy = 0 , uxz = 0 , uyy = 2	, uyz = 0	, uzz = 2	, A = ç	0	2	0	÷	,	A1 = 2 > 0 ,	A2 =	0	2	> 0	,	A3 =	A	> 0 .
			ç	0	0	2	÷				0	2
			è	0	0	2	ø

Отже, d 2 z

> 0

–

додатньо

визначена

квадратична

форма,

тому M0 ( 0;-1;-1)

– точка локального

umin = u ( M0 ) = 1+1- 2 - 2 = -2 .

мінімуму функції u = x2 + y2 + z2 + 2 y + 2z ,

Випадок функції двох змінних.

Нехай z = f (

x, y )

. Матриця квадратичної форми d 2 z =

¶2 f

( dx) 2 + 2

¶2 z

dxdy + ¶2 z ( dy) 2 має вигляд

¶x2

¶x¶y

¶y2

¶2 f

¶x

¶x¶y

. З теореми 5 легко отримати такі достатні умови екстремуму функції двох змінних.

A = ç

¶2 f

¶y2

è ¶x¶y

Теорема 6. Нехай функція z = f ( x, y)

один раз диференційовна в деякому околі стаціонарної точки M0

і два рази диференційовна в точці M0 . Тоді:

1) якщо

ö2

> 0 , то M0

– точка екстремуму функції z = f (

x, y) , причому

¶x

¶y

¶x¶y

¶2

0 , то

– точка локального мінімуму функції z = f ( x, y) ,

а) якщо

¶x

б) якщо

¶2

0 , то

– точка локального максимуму функції z = f ( x, y) ;

¶x

ö2

2) якщо

¶2 f

< 0 , то в точці M0

немає екстремуму.

¶x

¶y

¶x¶y

ö2

Зауваження. Якщо

= 0 , то теорема 6

не

дає

змоги

визначити існування чи

¶x

¶y

¶x¶y ø

неіснування екстремуму в точці

M0 . У цьому випадку потрібні дослідження за допомогою диференціалів

вищих порядків.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію z = x3 + y3 - 3xy .

Розв’язання. Знайдемо стаціонарні точки функції:

ì ¶z

= 3x

- 3y = 0

ì y = x2

¶x

ï y = x

Þ M1 ( 0;0) ,

M2 (1;1) – стаціонарні точки.

¶z

= 3y

- 3x = 0

îïx4

- x

= 0

ïx ( x3 -1)

= 0

¶y

Тепер дослідимо на екстремум кожну стаціонарну точку. Оскільки

¶2 z

= 6x,

¶2 z

= -3,

¶2 z

= 6 y , то:

¶x2

¶x¶y

¶y2

¶2 z

= 0 ,

¶2 z

ö2 ù

= -9 <

0 , тому в точці M1 ( 0;0) екстремуму немає;

- ç

¶x

¶y

¶x

¶y

¶x¶y

¶2 z

= 6 ,

¶2 z

ö2 ù

= 27 >

0 ,

¶2 z

6 > 0 . Отже, M2 (1;1)

- ç

– точка локального

¶x

¶y

¶x

¶y

¶x¶y

¶x

мінімуму функції z = x3 + y3 - 3xy ,

zmin

= z ( M2 ) = -1 .

Соседние файлы в папке Пукач лекції 1-16

#
12.02.2016249.62 Кб64Lektsiya-1.pdf
#
12.02.2016594.11 Кб29Lektsiya-10.pdf
#
12.02.2016153.5 Кб28Lektsiya-11.pdf
#
12.02.2016173.94 Кб27Lektsiya-12.pdf
#
12.02.2016162.65 Кб27Lektsiya-13.pdf
#
12.02.2016181.8 Кб30Lektsiya-14.pdf
#
12.02.2016220.36 Кб30Lektsiya-15.pdf
#
12.02.2016175.9 Кб27Lektsiya-16.pdf
#
12.02.2016178.75 Кб30Lektsiya-2.pdf
#
12.02.2016154.56 Кб34Lektsiya-3.pdf