функції y = f ( x) можна подати у вигляді Dy = f ¢( x) Dx + a ( Dx) Dx , де

lim a ( Dx) = 0 .

Dx®0

Перший доданок f ¢( x) Dx є головною частиною приросту функції, лінійною відносно Dx .

Означення 1. Головна, лінійна відносно Dx , частина приросту Dy

диференційовної в точці x функції

y

f ( x +

D x

)

M

f (

x

)

d y

D y

j

0

x

x

+

D x

x

Рис. 15

dy = f ¢( x) dx .

Отже, диференціал функції дорівнює добуткові похідної функції на диференціал її аргументу.

Нехай x = x ( t ) і y = f ( x) = f ( x ( t ) )

– складена функція змінної t . Тоді

dy = ft¢× dt = fx¢ × xt¢ × dt = fx¢× dx .

Отже, диференціал функції не залежить від того, чи

x – незалежна змінна, чи x – диференційовна

функція деякої іншої змінної t

(властивість інваріантності форми першого диференціала).

u, v, f –

Властивості диференціала

в основному аналогічні до властивостей похідної (тут

диференційовні функції, C = const ):

1. dC = 0 ;

4. d ( uv)

= vdu + udv ;

2. d ( Cu ) = Cdu ;

æ u ö

=

vdu - udv

;

5. d ç

÷

v

2

è v ø

3. d ( u ± v) = du ± dv ;

6. d (

f ( u ) ) = f ¢( u) du .

Зауваження.

Оскільки

f ( x + Dx)

- f ( x)

= f ¢( x)

Dx + a ( Dx) Dx ,

то,

відкидаючи

величину

a ( Dx) Dx = o( Dx) , отримуємо формулу:

f ( x0 + Dx) » f ( x0 ) + f ¢( x0 ) Dx .

Остання наближена формула дозволяє з похибкою o( Dx)

замінити функцію f ( x)

в малому околі точки x0

на суму f ( x0 ) + f ¢(

x0 ) Dx .

Приклад. Обчислити наближено:

1) ln1,25 ;

2)

.

4,16

Розв’язання.

1)

f ( x) = ln x, f ¢( x) =

1 ,

x0

= 1, Dx = 0,25, f ( x0 ) = ln1 = 0, f ¢(

x0 ) = 1 = 1 ;

ln1,25 » 0 +1× 0,25 = 0,25 ;

x

1

f ( x) =

, f ¢( x) =

1

; x0

= 4, Dx = 0,16; f ( x0 ) = 2, f ¢( x0 ) =

1

= 0,25 ;

2)

x

» 2 + 0,25× 0,16 = 2,04 .

4,16

2

x

2

4

2. Похідні вищих порядків.

До цього часу ми розглядали похідну f ¢( x) від функції y = f (

x) , яку ще називають похідною першого

порядку. Але похідна

f ¢( x)

у свою чергу може бути диференційовною функцією, похідна від якої також

може бути диференційовною функцією і т.д. Ці міркування лежать в основі

означення похідної n -го

порядку.

n -го порядку ( n -ою похідною) функції y = f ( x)

Означення 2. Похідною

називається похідна від

n

y = f

(

x

)

y

( n)

f

( n)

( x) ,

d n y d n f ( x)

Позначення похідних

-го порядку від функції

:

,

dxn ,

. Похідні другого

dxn

і третього порядку позначають

y¢¢,

f ¢¢( x)

і y¢¢¢,

f ¢¢¢( x)

відповідно. Для позначення похідних більш високого

порядку використовуються також римські цифри, наприклад,

f IV ( x) ,

f V ( x)

і т. д.

Приклад. Обчислити похідні до третього порядку включно функції

y = x2e-3x .

Розв’язання.

y¢ = ( x2 )¢ e-3x + x2 ( e-3x )¢ = 2xe-3x - 3x2e-3x = ( 2x - 3x2 ) e-3x ;

y¢¢ = ( 2 - 6x) e-3x + ( 2x - 3x2 ) ( -3e-3x )

= ( 2 -12x + 9x2 )

e-3x ;

y¢¢¢ = ( -12 + 18x) e-3x + ( 2 -12x + 9x2 ) ( -3e-3x )

= ( -18 + 54x - 27x2 )

e-3x .

Для деяких функцій можна вивести загальні формули для похідних довільного порядку.

Приклад. Обчислити похідну n -го порядку функції y = ln x .

Розв’язання.

¢

¢

×

(

-1

n-1

(

n -1 !

1

æ 1

ö

1

æ

1 ö

2

( 4)

2

3

( n)

і т. д. Очевидно, що y

)

)

.

y¢ =

,

y¢¢ = ç

÷ = -

,

y¢¢¢

= ç

-

÷

=

, y

= -

4

=

x

x

2

x

2

x

3

x

x

n

è x

ø

è

ø

Аналогічно можна вивести наступні формули:

1)

( xa )

( n)

= a ( a -1) ...

( a - n +1)

xa -n ;

3) (

sin x)

( n)

æ

p ö

= sin ç x + n

2

÷ ;

è

ø

2)

( ax )

( n)

= ax lnn a ;

4) (

cos x)

( n)

= cos

æ

p

ö

ç x + n

2

÷ .

è

ø

ìx = x ( t ) ,

Зауваження. Для y = y (

x) , заданої параметрично

ï

друга похідна має вигляд:

í

t ) ,

ï y = y (

î

d

æ

yt¢

ö

æ y¢ ö

ç

÷

y¢¢x¢ - y¢x¢¢

d 2 y d

æ

dy

ö

d

dt

x¢

t

è

t

ø

tt

t

t

tt .

2

=

ç

÷ =

ç

÷

=

=

dx

dx

dx

xt¢

(

xt¢)

3

è dx

ø

è

xt¢ ø

Зауваження. Для похідної

k - го порядку від функції

y = uv , де функції u = u ( x)

та

v = v ( x)

мають

похідні до k - го порядку включно, правильна формула

k!

= ( uv) ( k )

k

y( k )

= åCki u( k -i) v( i) , де Cki =

.

i!( k - i) !

i=1

Ця формула називається формулою Лейбніца.

( x4 cos3x)( 5) .

Приклад. Користуючись формулою Лейбніца, обчислити

Розв’язання.

( x4 cos3x)( 5) = (

x4 )( 5) + C51 ( x4 )( 4)

( cos3x)¢ + C52 ( x4 )¢¢¢ ( cos3x)¢¢ + C53 (

x4 )¢¢ ( cos3x)¢¢¢ + C54 ( x4 )¢ ( cos3x ) ( 4)

+