Пукач лекції 1-16 / Lektsiya-5

Означення 1. Якщо для функцій

f ( x)

і g ( x)

існують такі сталі С > 0 і d > 0 , що

f (

x)

£ C

g (

x)

при

0 <

x - x0

< d , то кажуть, що функція

f ( x)

є обмеженою в порівнянні з функцією g ( x)

в деякому околі

точки x0 .

x) = O (

g ( x) )

Записують: f (

при x ® x0 .

Означення 2. Якщо для функцій

f (

x)

і

g ( x)

існують такі сталі С > 0 і

K > 0 , що

f ( x)

£ C

g ( x)

при

x

> K , то кажуть, що функція

f ( x) є обмеженою в порівнянні з функцією g ( x)

в нескінченності.

Записують: f (

x) = O (

g ( x) )

при x ® ¥ .

Приклади.

1

æ

1 ö

1

1

( C = 1, d = 1) .

1.

= Oç

÷

при

x ® 0

, бо

£

,

x

£1

2

2

x

è x

ø

x

x

2.

1

= O

æ 1

ö

при

x ® ¥ , бо

1

£

1

,

x

³

1

( C = 1, K = 1) .

ç

÷

2

2

x

è x

ø

x

x

3. sin x = O( 2x) при

x ® 0 , бо

sin x

£ 1

2x

,

x

£ d .

f (

x) = O (1)

2

f ( x)

обмежена в деякому околі точки x0 .

Запис

означає, що функція

Приклад.

tg 2x = O(1) при x ® 0 , бо

lim tg2x

= 2 , тому функція

tg2x обмежена в околі точки x = 0 .

x

x®0

x

x

Означення 3.

Якщо

( f (

x)

= O(

g (

x) ) ) Ù ( g ( x) = O( f ( x) ) ) при

x ® x0 , то функції

f ( x)

і

g ( x)

називаються функціями одного порядку при x ® x0 .

Приклад. Показати,

що

функції a (

x)

= x ,

æ

2 + sin

1

ö

–

нескінченно малі

функції

одного

b ( x) = xç

x

÷

порядку при x ® 0 .

è

ø

1 £ 1, то

Розв’язання. Очевидно, що lima ( x) = lim b (

x) = 0 . Оскільки -1 £ sin

x®0

x®0

x

a (

x)

=

1

£ 1 Þ

a (

x)

£

b ( x)

Þ a ( x) = O (

b ( x) )

при x ® 0 ,

b (

x)

1

2 + sin x

b ( x)

1

£ 3 Þ

b ( x)

£ 3

a ( x)

Þ b ( x)

= O (a ( x) )

=

2 + sin

при x ® 0 .

a ( x)

x

1

Отже, функції a ( x) = x і

æ

2

+ sin

ö

– нескінченно малі функції одного порядку при x ® 0 .

b ( x) = xç

x

÷

è

ø

Теорема 1. Якщо a ( x) ¹ 0 ,

b ( x)

o

lim

a ( x)

= C ¹ 0

, то функції a ( x) і

¹ 0 в деякому Ud ( x0 )

та існує x®x

0 b ( x)

Доведення. Якщо

lim

a ( x)

= C ¹ 0 , то існують такі нескінченно малі при x ® x0

функції e1 ( x) e2 ( x) ,

x®x0 b ( x)

що

a (

x)

= C + e1 ( x)

і

b ( x)

=

1

+ e2 (

x)

. Очевидно, що

e1 ( x)

<1 і

e2 (

x)

<1 в деякому проколотому околі

b (

x)

a ( x)

a (

x)

C

= O ( b ( x) )

b

(

x)

1

+1 Þ b ( x) = O (a ( x) ) .

o

( x0 ) . Тому

£

C

+1 Þ a (

x)

і

£

Ud

b ( x)

a

(

x)

C

Приклад. Показати, що a (

x)

= 3x2

і b ( x)

= sin x2 є функціями одного порядку при x ® 0 .

Розв’язання. Оскільки

lim

a (

x)

= lim

3x2

= 3

, то

a

(

x)

і

b

(

x) – функції одного порядку при x ® 0 .

x)

sin x2

x®0 b (

x

®0

Означення 4. Функції

f ( x)

і g ( x)

називаються еквівалентними при x ® x0 , якщо в деякому околі

точки x0 крім, можливо, самої

точки

x0 ,

визначена така

функція j ( x) , що

f ( x) = j ( x) × g ( x) і

lim j ( x) =1 .

x®x0

Записують: f ( x) : g ( x) при

x ® x0 . Інколи кажуть, що

f ( x)

і

g ( x)

асимптотично рівні функції при

x ® x0 .

Приклади. Показати, що:

1) x

2

~

x2

при x ® 0 ;

2) x

2

:

x6

при x ® ¥ .

1+ x4

1+ x4

Розв’язання.

1

x2

1) Покладемо j ( x) =

= j (

x) × x

2

limj (

x)

= 1

1+ x4 . Тоді

1+ x4

і

x®0

.

2) Дійсно,

x6

= j

(

x) × x2 , де

j ( x) =

x4

і

lim

x4

=1 .

1+ x4

1+ x4

1+ x4

x®+¥

f ( x) ¹ 0

, g ( x)

o

f ( x) ~ g ( x) тоді та

Теорема 2. Нехай

¹ 0 в деякому проколотому околі

Ud ( x0 ) . Тоді

лише тоді, коли

lim

f ( x)

= lim

g ( x)

= 1 .

g ( x)

f ( x)

x®x0

x®x0

Теорема 3. Якщо

f ( x)

~ g (

x)

і g ( x)

~ h (

x)

при x ® x0 , то

f ( x) : h ( x) при x ® x0 .

4) (1+ x)a :1+ a x , a Î ¡ .