аналітичний вигляд функції всередині проміжка [ x1; xn ] , то можна застосувати один із багатьох способів інтерполяції. Наприклад, якщо застосувати лінійну інтерполяцію, то для кожного x Î[ xi ; xi+1 ] :
y ( x) = yi + yi+1 - yi ( x - xi ) , i = 1,n -1 . xi+1 - xi
Графічний спосіб. Функція задається лінією на площині, яка називається графіком функції. При цьому необхідно попередньо задати систему координат (не обов’язково прямокутну), масштаби вимірювання числових величин та геометричне правило побудови відповідності.
5. Обернена функція.
Нехай для заданої функції y = f ( x) довільним двом різним значенням аргумента відповідають різні
значення |
функції, тобто виконується |
умова: |
" x1, x2 Î D ( f ) : x1 ¹ x2 Þ f ( x1 ) ¹ f ( x2 ) . Тоді кожному |
значенню |
y відповідає єдине значення |
x Î D ( f ) |
таке, що f ( x) = y . Так визначену зворотню відповідність |
y ® x називають оберненою функцією і позначають x = f -1 ( y) . Звичним є позначення аргумента літерою x , а значення функції – літерою y . Перейшовши до цих позначень, одержимо y = f -1 ( x) – обернену функцію до функції y = f ( x) . Для оберненої функції: D ( f -1 ) = E ( f ) , E ( f -1 ) = D ( f ) . Функція, що має
обернену, називається оборотною. |
|
|
|
|
||||||
Приклад. Для функції |
y = |
2 |
знайти обернену. |
|||||||
|
3x - 4 |
|||||||||
Розв’язання. Виразимо x |
через y : |
|
|
|||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|||
y = |
|
Þ 3x - 4 |
= |
|
|
Þ x |
= |
|
+ |
3 . |
3x - 4 |
y |
|
3y |
|||||||
Помінявши в останній рівності x і y місцями, отримаємо обернену функцію y = 32x + 43 .
6. Складена функція.
Нехай функції f і g визначені відповідно на D ( f ) і D ( g ) . Якщо E ( g ) Ì D ( f ) , то на множині D ( g ) можна визначити відповідність x ® g ( x) ® f ( g ) , тобто функцію y = f ( g ( x) ) , яка називається складеною
функцією, або суперпозицією (композицією) функцій f і g .
Наприклад, y = sin3 x є складена функція, бо вона є суперпозицією функцій y = u3 та u = sin x .
7. Числові послідовності.
Частковим, проте важливим у математичному аналізі випадком функції дійсної змінної є числова послідовність.
Означення 11. Числовою послідовністю називається функція дійсної змінної, область визначення якої є множина натуральних чисел.
Отже, числова послідовність є заданою, якщо кожному натуральному числу n Î ¥ за певним правилом поставлено у відповідність дійсне число xn Î ¡.
Існують два найпоширеніші способи задання числових послідовностей:
а) аналітичний спосіб, коли послідовність задається формулою загального члена xn = f ( n) , n Î ¥ , що
виражає xn через номер n ;
б) рекурентний спосіб (від латинського recursio – повернення), коли n -й член послідовності виражається через попередні члени цієї послідовності.
Наприклад, |
вирази xn = 3n ; |
xn = n! ( n! = 1 |
×2 ×3×...× n) задають послідовності аналітичним способом. |
Правило xn+2 |
= xn+1 + xn , n Î ¥ , |
x1 = 1, x2 = 1 |
– рекурентний спосіб задання послідовності. У даному |
випадку так задаються числа Фібоначчі. |
|
||
8. Елементи поведінки функції.
Строге та грунтовне дослідження функцій на підставі методів математичного аналізу ми будемо проводити в наступних розділах. А зараз коротко нагадаємо читачам деякі відомості з курсу елементарної математики і введемо нові поняття.
Обмеженість функції.
Функція f називається обмеженою на множині X , якщо існують такі сталі m та M , що для кожного x Î X виконується умова m £ f ( x) £ M . Очевидно, що функція є обмеженою, коли можна вказати хоча б
одну горизонтальну смугу {( x; y) |
|
x Î X , m £ y £ M } |
, що містить графік функції. |
||||
|
|||||||
Наприклад, функція |
f ( x) = sin x обмежена на |
всій числовій осі, оскільки для кожного x Î( -¥;+¥) |
|||||
-1 £ sin x £ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Якщо для будь-яких двох чисел m та M ( m < M ) |
умова m £ f ( x) £ M не виконується хоча б для одного |
||||||
x Î X , то функція f називається необмеженою. |
|
|
|
|
|||
Наприклад, y = tg x |
є необмеженою функцією для |
é |
p |
ö |
|||
x Î ê0; |
2 |
÷ . |
|||||
Монотонність функції. |
|
ë |
ø |
||||
|
|
|
|
||||
Функція f називається зростаючою (рис. 5) на множині |
X , якщо більшому значенню аргумента x Î X |
||||||
відповідає більше значення функції f ( x) . Тобто f |
– зростаюча, якщо |
||||||
|
|
|
"x1, x2 Î X : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 ) . |
||||
Аналогічно, f – спадна (рис. 6), якщо "x1, x2 Î X : x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
f |
( |
x |
2 |
) |
|
|
|
f |
( |
x |
1 |
) |
|
|
|
|
f |
( |
x |
1 |
) |
|
|
|
f |
( |
x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
1 |
x |
2 |
x |
|
|
0 |
x |
1 |
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5. Зростаюча функція |
Рис.6. Спадна функція |
||||
Зростаючі та спадні |
функції |
називаються |
монотонними. |
Якщо |
для кожного x1, x2 Î X : |
x1 < x2 Þ f ( x1 ) £ f ( x2 ) , то |
функція |
f називається |
неспадною на |
множині |
X , а якщо для кожного |
x1, x2 Î X : x1 < x2 Þ f ( x1 ) ³ f ( x2 ) , то функція f називається незростаючою на |
X . |
||||
Парність, непарність, періодичність. |
|
|
|
||
Функція f |
( x) , визначена на симетричній відносно початку координат множині X , називається парною, |
якщо "x Î X |
виконується умова f ( -x) = f ( x) . Якщо ж "x Î X f ( -x) = - f ( x) , то функція f ( x) |
називається непарною. Графік парної функції симетричний відносно осі Oy , а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад. Визначити, яка з даних функцій парна або непарна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) y = x4 + |
|
; 2) |
y = x3 - 2x ; 3) y = sin x + 3cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f ( x) = x4 + |
|
парна, оскільки f ( -x) = ( -x) 4 + |
|
|
|
|
|
|
= f ( x) ; |
|
|||||
1) Функція |
|
|
|
|
2 +1 = x4 + |
|
||||||||||
x2 +1 |
|
-x |
x2 + 1 |
|
||||||||||||
2) функція |
f ( x) = x3 - 2x непарна, оскільки f ( -x) = ( -x)3 - 2( -x) = -x3 + 2x = -( x3 - 2x) = - f ( |
x) ; |
||||||||||||||
3) для |
f ( x) = sin x + 3cos x |
маємо: |
f ( -x) = sin ( -x) + 3cos( -x) |
= -sin x + 3cos x . Отже, функція 3) не є ні |
||||||||||||
парною, ні непарною. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функція f ( x) |
називається періодичною, якщо існує таке дійсне число T ¹ 0 , що разом з довільною |
|||||||||||||||
точкою |
x Î D ( f ) |
множині |
D ( f ) |
належать також точки x - T |
і x + T і |
справджується |
рівність |
|||||||||
f ( x ± T ) |
= f ( |
x) . Число T |
називається періодом функції. Найменший додатній період (якщо такий існує) |
|||||||||||||
називається основним періодом функції. Періодичними є, зокрема, всі елементарні тригонометричні функції: y = sin x , y = cos x , з T = 2p та y = tg x , y = ctg x з T = p . Функція y = const також є періодичною, але основного періоду не існує.