Півінтервали: ( a;b] = { x Ρ | a < x £ b} ;

[ a;b) = { x Ρ | a £ x < b} .

Інтервал: ( a;b) = { x Î ¡ | a < x < b} .

Розглядаються також нескінченні

інтервали та півінтервали:

( -¥;a) , ( b;+¥) , ( -¥;+¥) ,

( -¥;a] ,

[ b;+¥) . Усі вказані множини часто об’єднують терміном проміжок X . Далі будемо мати справу зі

спеціальною підмножиною множини дійсних

чисел, а

саме

e -околом точки

x0 :

Ue ( x0 )

= { x Î ¡ | x0 - e < x < x0 + e} . Множину

o

називають проколотим e -околом

Ue ( x0 ) = Ue ( x0 ) \ { x0}

точки x0 .

a

a )

b

a

b

a

б )

b

x

0 - e

x

0

x

0 + e

г

)

x 0

- e

x

0

x 0

+ e

д

)

Рис. 3. Підмножини множини ¡ :

а) відрізок;

б) півінтервали; в) інтервал;

г)e -окіл;

д) проколотий e -окіл.

Звернемо увагу, що відрізок [ a;b] і інтервал

( a;b)

на перший погляд відрізняються дуже мало: перша

елементом множини X і позначається M = max X .

Означення 8. Якщо $m Î X "x Î X : x ³ m , то m називається найменшим (мінімальним) елементом

множини X і позначається m = min X .

Означення 9. Якщо $c Î ¡ "x Î X : x £ c , то множина X називається обмеженою зверху, а число c −

верхньою межею (гранню)

множини X . Якщо $d Î ¡ "x Î X : x ³ d , то множина X називається

обмеженою знизу, а число d

− нижньою межею (гранню) множини X . Множина, обмежена і зверху і

знизу, називається обмеженою.

Для обмеженої зверху множини множина

всіх її верхніх меж має мінімальний елемент, який називається

точною верхньою межею (гранню)

і позначається символом sup X . Очевидно, що

inf X ; inf X = min X Û inf X Î X .

Приклад.

1)

X = ( 0;+¥) − обмежена знизу, необмежена зверху,

max X не існує, min X не існує, sup X не існує,

inf X = 0 .

2)

X = ( a;b] − множина X обмежена, max X = b , min X

не існує, sup X = b , inf X = a .

відкинути умову єдиності

елемента

y Î E ( f ) , то

прийдемо

до більш

загального поняття – так званої

багатозначної функції, яка допускає, щоб кожному значенню

x Î D ( f )

відповідало не одне, а декілька

(можливо, безліч) значень

y Î E ( f )

. Надалі, говорячи про функцію, матимемо на увазі лише однозначну

функцію.

Приклад. Знайти область визначення функції y =

4 - x2

+ log2 ( x +1) .

x

Розв’язання. Областю визначення функції є всі значення x , які задовольняють умови:

ï4 - x ³ 0

ï(

x - 2

) (

x + 2

)

£ 0

ì

2

ì

íx ¹ 0

Û íx ¹ 0

.

ï

ï

îx +1 > 0

îx > -1

формули. Розглянемо деякі різновиди аналітичного способу задання функції.

а) Якщо залежність між x

і

y

задана у вигляді

y = f ( x) , то кажуть, що функція

f

задана явно.

Наприклад, y = 3x + 2 ,

y = x2 + sin x .

б) Якщо змінні x і

y зв’язані між собою рівнянням вигляду F ( x, y)

= 0 , тобто рівнянням, не розв’язаним

відносно y або x , то кажуть, що функція

y = f ( x) задана неявно. Наприклад, tg( x + y) - x - y = 0 .

Інколи рівняння F (

x, y) = 0 можна розв’язати щодо

x

або y

і звести до функції, заданої явно: y = f ( x)

або x = g ( y) . Наприклад, рівність

x2 + y2 - 4 = 0 , що задає коло радіуса 2 з центром в початку координат,

неявно визначає

такі

функції:

(верхнє

півколо) і

y = -

, - 2 £ x £ 2 (нижнє

y =

4 - x2 , - 2 £ x £ 2

4 - x2

півколо) або x =

4 - y2 , - 2 £ y £ 2 (праве півколо) і x = -

4 - y2 , - 2 £ y £ 2 (ліве півколо).

в) Якщо x і

y задаються як функції допоміжної змінної – параметра

t , то кажуть, що функція задана

параметрично. Наприклад, параметричне

y =

x

2

ìx = 2t

, t Î R, а

рівняння параболи

+1

має вигляд í

= t2

+1

4

î y

параметричне рівняння еліпса

x

2

+

y

2

= 1

–

ìx = a cost

, t Î[ 0;2p ] .

í

a2

b2

î y = bsin t

г) Функція може бути задана на окремих підмножинах різними аналітичними виразами. Зокрема,

ì f

( x) , x Î D ( f

)

.

y = f ( x) = íï

1

1

ï f

2 ( x) , x Î D ( f2 )

î

f ( x)

буде D ( f ) = D (

f1 ) U D ( f2 ) , причому D ( f1 ) I D ( f2 ) = Æ .

Тут областю визначення функції

Табличний спосіб. Важливим способом задання функції є табличний, коли значення x

та відповідні їм

значення y задаються у вигляді таблиці:

x

x1

x2

xi

xi+1

xn

y

y1

y2

yi

yi+1

yn