Лекція 1. Числові множини. Функції дійсної змінної.

1. Множини. Дії над множинами.

Надалі у цьому посібнику використовуватимемо наступні логічні знаки (символи):

Поняття множини належить до числа первинних, що не визначаються через більш прості. Під множиною розуміють сукупність (набір) деяких об’єктів однакової природи. Об’єкти, які утворюють множину, називаються її елементами. Приклади множин: множина студентів певного університету, множина підприємств деякої галузі, множина натуральних чисел.

Множини позначатимемо великими буквами A, B, C,... , а їх елементи – малими буквами a,b,c ,…. Якщо

a є елементом множини A , то використовується запис a Î A . Якщо b не є елементом множини A , то пишуть b Ï A .

Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається символом Æ . Наприклад, множина трикутників, сума внутрішніх кутів кожного з яких відмінна від 180° , є порожньою множиною.

Множина називається скінченною, якщо вона складається зі скінченного числа елементів, і нескінченною, якщо вона містить нескінченне число елементів. Серед нескінченних множин виділяють зліченні множини, тобто такі множини, кожному елементу яких можна поставити у відповідність натуральне число (номер).

Основні способи задання (опису) множин:

1)множина A визначається безпосереднім перерахуванням всіх своїх елементів: A = { a1,a2 ,...an } ;

2)множина A визначається як сукупність тих і тільки тих елементів деякої основної множини T , які

володіють загальною (характеристичною) властивістю a : A = { x ÎT a ( x)} .

Означення 1. Множина A називається підмножиною множини B (записують A Ì B ), якщо кожен елемент множини A належить множині B , тобто x Î A Þ x Î B .

Означення 2. Дві множини A та B називаються рівними (записують A = B ), якщо вони складаються з однакових елементів, тобто x Î A Û x Î B .

Наприклад, якщо A – множина всіх студентів університету, а B – множина студентів-першокурсників цього університету, то B є підмножиною A , тобто B Ì A . Якщо A Ì B і B Ì A , то A = B .

Означення 3. Перетином (або добутком) двох множин A та B (його позначають C = A I B або

C = AB ) називається множина C елементів, які одночасно належать кожній із даних множин A та B , тобто

A I B = { x x Î A Ù x Î B} .

Якщо множини A і B не мають спільних елементів, то A I B = Æ .

Означення 4. Об’єднанням (або сумою) двох множин A і B (його позначають D = A U B або D = A + B ) називається множина D , елементи якої належать хоча б одній з множин A або B , тобто

A U B = { x x Î A Ú x Î B}

Означення 5. Різницею множин A та B (її позначають E = A \ B або E = A - B ) називається множина E , яка складається із тих елементів множини A , що не належать множині B , тобто

B .

Розв’язання. Зрозуміло, що A U B = {1;2;3;4;6;8} , A I B = {6;8} , а A \ B = {1;3} .

Для наочного зображення множин, підмножин, перетину, об’єднання, різниці і симетричної різниці множин застосовують кругові діаграми Ейлера-Вена (рис.1).

д )

Рис.1. Діаграми Ейлера-Вена:

а) вкладення множин A1 Ì A2 ; б) перетин множин A1 I A2 ;

в) об’єднання множин A1 U A2 ; г) різниця множин A1 \ A2 ;

д) симетрична різниця множин A1DA2 .

2. Множина дійсних чисел та її підмножини.

Множина, елементами якої є числа, називається числовою множиною. Загальноприйнятими є такі позначення:

¥ = {1;2;3;...} – множина всіх натуральних чисел;

¢ = {... - 3;-2;-1;0;1;2;...} – множина всіх цілих чисел;

Кожне раціональне число можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу або нескінченного

lg5 = mn . Тоді 10m = 5n . Але це неможливо, бо 10m закінчується цифрою 0 , а 5n – цифрою 5 (якщо m

натуральне число). Отже, число lg5 ірраціональне.

Літерою ¡ позначають множину всіх дійсних чисел, елементами якої є всі раціональні та ірраціональні числа, тобто ¡ = ¤U I . Маємо такі вкладення множин: ¥ Ì ¢ Ì ¤ Ì ¡ .

Геометрично множина дійсних чисел ¡ зображається точками числової прямої (або числової осі), тобто прямої, на якій вибрано початок відліку, додатній напрям і одиницю масштабу (рис.2).

Рис. 2. Числова пряма

Між множиною дійсних чисел і точками числової прямої існує взаємно однозначна відповідність, тобто кожному дійсному числу відповідає єдина точка на числовій прямій і навпаки, кожній точці прямої – певне дійсне число. Тому часто замість “число x ” говорять “точка x ”.

Означимо деякі підмножини множини дійсних чисел ¡ (рис. 3).

Відрізок: [ a;b] = { x Î ¡ | a £ x £ b} .