spory_matematik / Tластивості визначників

4.Властивості визначників.

1.При трансформуванні визначника його значення не змінюється. Усі властивості для рядків є властивостями і для столбців.

2.Якщо всі елементи будь-якого рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю

3.Якщо усі елементи мають спільний множник, то його можна винести за знак визнач.

4.Якщо змінити місцями два рядки, то визначник змінює знак.

5.Якщо визначник має два однакових рядки то він дорівнює нулю.

6.Якщо елементи будь-якого рядка пропорційні елементам другого рядка, то виз.=0.

7.Нехай усі елементи будь-якого рядка є су-мою двох доданків тоді визначник є сума двох визначників. В першому визначнику розглядаємому рядку ел. є перший доданок, в другому.

8.Якщо в будь-якому рядку додати елементи другого рядка помножені на число, то визначник не змінюється.

1 Дії над матрицями.

Добуток матриці А розмірності mn на матрицю В розмірності pn наз. така матриця С=А*В розмірністю mn, кожен елемент якої знаходиться за формулою..

5. Мінор і алгебраїчне доповнення. Теорема Лапласа.

Мінором k-го порядку наз. визначник утво-рений з елементів, які стоять на перетині будь-яких к рядків та к стовпчиків визнач.

Доповнювальним мінором к-го порядку наз. такий мінор, який залишається у визна-чнику після викреслювання тих к рядків і тих к стовпчиків, на перетині яких стоять елементи, що утворили мінор к-го порядку.

Алгебраїчним доповненням до мінора к-го порядку є доповнювальний мінор (n-к)-го порядку, взятий зі знаком…

Т. Лапласа:визначник дорівнює сумі добу-тків усіх елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчне доповнення.

9. Ранг матриці та методи його знаход.

Рангом матриці наз найвищій порядок від-мінного від нуля мінора матриці.

10.Вектори.Поняття..

Вектором а наз лінійну комбінацію векто-рів а,а,…а векторного простору R, якщо він дорівнює сумі добутків цих векторів на до-вільне дійсне число.

Лінійний простір Rназ. n-вимірним, якщо в ньому існує n лінійно незалежних вектор-ів, а будь-які з (n+1) векторів вже є залежни

16.Власні числа та власні вектори матриці.

Вектор х0 наз. власним вектором лінійного оператора А, якщо знайдеться таке число а що А(х)=ах.

Число а наз. власним значенням оператора А ,який відповідає вектору х.

17.Квадратичні форми…

Квадратичною формою L(х,х,…х) від n змінних наз. суму, кожен член якої є або квадратом однієї із змінних, або добуток двох різних змінних, взятих з деяким коефіцієнтом.

L0-визначена. \\\ а = а

L0-невизначена.

L=XAX

Проекція вектора АВ на вісь1 наз. величи-на АВ направленого відрізка АВ на осі 1

4.Загальні властивості збіжних послідовностей.

Т1 Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Т2Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Т3Якщо lim x=a i al(am), то існує такий номер , що при всіх nN виконується нерівність хl(xm).

Т4Границя сталої величини дорівнює сталій.

Послідовність х наз. нескінченно великою величиною, якщо для будь-якого числа 0М+, яке б велике воно не було, існує номер N такий, що при всіх nN виконується нерівність х М.

Число В наз. границею функції f(x) при ха, якщо для будь-якого 0 існує число 0 таке, що при х-а і ха виконується нерівністьf(x)-b.

Теорема Вейєрштрасса: якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна. Якщо монотонна спадна обмежена зверху, то вона збіжна.

9.Поняття границі функції.

Число В наз. границею функції f(x) при ха ,якщо для будь-якого  існує число , таке що при х-а і ха виконується нерівність f(x)-b.

Геометричний зміст похідної - похідна чисельно дорівнює кутовому кофіциенту дотичної, проведеної до графіка функції у= у точці з абсцисою х.

Опуклість та вгнутість кривої- крива на проміжку наз. опуклою(вгнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче( вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

Точка перегину-точка яка відокремлює ви-пуклу частину кривої від вгнутої.Асимптота-пряма наз. асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля.