§85. Рівняння Максвелла для електромагнітного поля

Відкриття струму зміщення дозволило Максвеллу створити єдину теорію електричних і магнітних явищ. Ця теорія пояснила всі відомі того часу експериментальні факти і передбачила ряд нових явищ, існування яких підтвердилось пізніше.

Рівняння Максвелла пов’язують зміни основних характеристик електромаг­нітного поля - векторів ,,,в даному матеріальному середовищі з розподілом у ньому електричних зарядів і струмів.

Середовище в рівняннях Максвелла враховується феноменологічно, тобто без розкриття внутрішнього механізму взаємодії речовин з полем.

В основі теорії Максвелла лежать чотири рівняння.

І. Електричне поле може бути як потенціальним , так і вихровим. Тому напруженість сумарного поля. Оскільки циркуляція векторавздовж довільного замкненого контура дорівнює нулю, то циркуляція векторасумарного поля

.

Це рівняння зв’язує значення із зміною вектораз часом і є виразом закону електромагнітної індукції.

Перше рівняння Максвелла вказує на те, що джерелами електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, але і змінні з часом магнітні поля.

ІІ. Узагальнена теорема про циркуляцію вектора :

.

Це рівняння показує, що магнітні поля можуть збуджуватись або рухомими зарядами, або змінними електричними полями.

ІІІ. Теорема Остроградського-Гауса для потоку вектора електричного зміщення крізь довільну замкнену поверхню, що охоплює сумарний заряд:

.

Якщо заряд розподілений всередині замкненої поверхні з об’ємною густиною , то

.

IV. Теорема Остроградського-Гауса для магнітного потоку крізь довільну зам­кнену поверхню :

.

Отже, повна система рівнянь Максвелла в інтегральній формі має такий вигляд:

,,

,.

Величини, що входять в рівняння Максвелла, не є незалежними і між ними є такий зв’язок:

, , .

Зазначимо, що до першого та чет­вертого рівняння Максвелла входять лише основні характеристики поля і, а в друге і третє – лише допоміжні величиниі.

Рівняння Максвелла несиметричні відносно полів. Це зв’язано з тим, що в природі існують електричні заряди, а нема магнітних.

Для стаціонарних полів (i ) рівняння Максвелла мають такий вигляд:

, ,

, .

В даному випадку електричні і магнітні поля існують незалежно одне від одного.

За допомогою рівняння Максвелла для електромагнітного поля можна знайти співвідношення між тангенціальними і нормальними складовими векторів,і,на межі поділу двох різнорідних діелектриків. Якщо на межі поділу відсутні вільні заряди і струми провідності, то для тангенціальних складових – проекцій векторів,,,на дотичну площину – мають місце такі співвідношення:

,,

,,

а для нормальних складових – проекцій векторів ,,,, на спільну нормаль до межі поділу двох середовищ:

,,

,,

де ,,,- відносні діелектричні і магнітні проникності відповідно першого і другого середовищ.

§86. Електричний коливальний контур. Власні електромагнітні коливання

Розглянемо електромагнітні коливання, при яких періодично змінюються електричні величини, а саме заряд, сила струму, енергія електричного і магнітного полів. Для збудження і підтримування електромагнітних коливань потрібні певні системи, найпростішою з яких є коливальний контур— коло, що складається з з’єднаних послідовно котушки індуктивностіL, конденсатора ємностіСі резистора опоромR.

Розглянемо послідовні стадії колив­ного процесу в ідеалізованому контурі, опір якого малий . Для збудження коливань в контурі конденсатор поперед­ньо заряджають, надаючи його обкладкам заряди (рис. 202). Тоді в початковий момент між обкладками конденсатора виникає електричне поле, енергія якого . Якщо замкнути конденсатор на котушку, то він почне розряджатися і в контурі потече струмІ, який з часом зростає. Цей струм створить в котушці магнітне поле , що також зростає і в свою чергу викличе появу в котушціЕРСсамоіндукції. Під дієюЕРСсамоіндукції виникає індукційний струм, який сповільнює наростання струму розрядки. Оскільки швидкість зміни струму розрядки конденсатора зменшується, то зменшуєтьсяЕРСсамоіндукції і струм розрядки наростає. В результаті енергія електричного поля буде зменшуватися, а магнітного поля котушки - зростати. Оскільки , то згідно із законом збереження енергії повна енергія

.

Тому в момент , коли конденсатор розрядиться, (рис. 203), енергія електричного поля дорівнює нулю, а енергія магнітного поля і струм досягають максимального значення, відповідноі. З цього моменту струм в контурі починає зменшуватися і почне зменшуватися магнітне поле котушки, і в ній індукується струм, який тече в тому самому напрямку, що і струм розрядки конденсатора.

Конденсатор почне перезаряджатися, виникне електричне поле, що прагне зменшити струм, який зрештою буде дорівнювати нулю, а заряд на обкладках конденсатора досягне максимуму. Далі ті самі процеси почнуть протікати в зворотному напрямку (рис. 204) і система прийде у початковий стан.

Після цього почнеться повторення розглянутого циклу розряджання і заряд­жання конденсатора. Якщо би втрати енергії не було, то в контурі здійснювались би періодичні незгасаючі коливання.

В контурі виникають коливання, які супроводжуються перетвореннями енергії електричного і магнітного полів. Такі коливання називаються електромагнітними.

Згідно з другим правилом Кірхгофа для довільного контуру, що містить котушку індуктивністю , конденсатор ємніс­тюі резистор опором,, де- спад напруги на резисторі, – напруга на конденсаторі, –ЕРСсамоіндукції, отже,

.

Оскільки

і, то

.

Якщо зовнішні ЕРСвідсутні, то коливання будуть вільні. А якщо , то вільні коливання в контурі будуть гармонічними. Диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань зарядуqв контурі:

,,

де – власна частота контуру.

Звідси

,

де - амплітуда коливань заряду конденсатора з циклічною частотою.

Період власних коливань, які вини­кають в контурі,

.

Це співвідношення називають формулою Томсона.

Сила струму в коливальному контурі змінюється за законом

,

де - амплітуда сили струму.

Упродовж першої половини періоду струм іде в одному напрямку, а протягом другої половини – в протилежному.

Напруга на конденсаторі

,

де - амплітуда напруги.

Коливання струму івипереджують за фазою коливання зарядуqна, тобто коли струм досягає максимального значення, заряд і напруга дорівнюють нулю і навпаки.

Оскільки

і, то

.

Величину називають хвильовим опоромконтуру.