Хвильова оптика

VI. Хвильова оптика §89. Інтерференція світла. Когерентність та монохроматичність світлових хвиль. Оптична довжина шляху

Для пояснення теплових явищ у фізиці використовується теорії світла - хвильова і корпускулярна. Згідно хвильової (електромагнітної) теорії світлове випромінювання – це електромагнітні хвилі, довжина яких лежить в межах від 0,38до0,77 мкм.Згідно з корпускулярної (фотон­ної) теорії світлове випромінювання – це потік особливих частинок – фотонів, які мають енергію, масу і імпульс.

Інтерференцією світла називаєть­ся перерозподіл інтенсивності світла в просторі внаслідок накладання двох або кількох когерентних хвиль, в результаті чого в одних місцях виникають максимуми, а в інших мінімуми інтенсивності.

Хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і в точках накладання – сталу різницю фаз.

Отже, якщо хвилі когерентні, то спостерігається самоузгоджений перебіг в часі і просторі декількох хвильових процесів. Цю умову задовольняють хвилі однієї строго визначеної частоти – монохроматичні хвилі.

З повсякденного досліду відомо, що при накладанні світла від двох незалежних джерел не вдається спостерігати явища інтерференції. Таким чином, хвилі, які випромінюються незалежними джерелами світла, некогерентні. Цей результат є наслідком того, що жодне джерело не випромінює точно монохроматичного світла.

Випромінювання світла відбувається в процесі переходу атомів із збудженого стану в нормальний. Процес випромінювання скінченний і триває дуже короткий час . Через деякий час атом знову може збудитися і почати випромінювати світлові хвилі, але уже з іншою початковою фазою. Оскільки різниця фаз між випромінюванням двох таких незалежних атомів змінюється при кожному новому акті випромінювання, то хвилі, що спонтанно випромінюються атомами будь-якого джерела світла, некогерентні. Отже, хвилі, що випромінюються атомами, лише протягом інтервалу часумають приблизно сталу амплітуду і фазу коливань, тоді як за великий проміжок часу і амплітуда, і фази змінюються.

Переривчасте випромінювання світ­ла атомами у вигляді окремих короткочасних імпульсів називається хвильовим цу­гом.

Кожний хвильовий цуг має обмежену довжину в просторі. Наприклад, дов­жина цугу хвиль, які поширюються у ваку­умі вздовж осі OX, дорівнює. Залежно від довжини світлової хвилі цуг вміщає віддодовжин хвиль.

Хвильовий цуг не є строго монохроматичною хвилею і його можна представити у вигляді неперервної послідов­ності монохроматичних хвиль з частотами від до, де– циклічна частота коливань джерела хвильового цугу. Величиназалежить від довжиницугу і характеру зміни амплітуди хвилі на довжині цугу. Можна показати, що

або.

Оскільки хвильове число , тоі має місце співвідношення

.

Отже, чим більший час випромінювання цугу, тим він ближчий за своїми властивостями монохроматичної хвилі з циклічною частотоюі хвильовим числомk:

.

Для характеристики когерентних властивостей хвиль введемо поняття часу когерентності.

Часом когерентності немонохроматичної хвилі називається інтервал часу , протягом якого різниця фаз коливань, що відповідають хвилям з циклічними частотамиі ,змінюється на :

.

Циклічна частота зв’язана з довжиною хвилі у вакууміспіввідношенням. Звідси(знак мінус ми опускаємо). Тоді

.

Відстань , на яку поширюється хвиля з циклічною частотоюза час когерентності, називаєтьсядовжиною когерентності або довжиною цугу, що відповідає немонохроматичній хвилі, яка розглядається:

.

Для видимого сонячного спектру ,.

Дві світлові хвилі при накладанні здатні інтерферувати, якщо коливання, які вони збуджують в певній точці, відповідають одному і тому хвильовому цугу випромінювання джерела, тобто якщо

або,

де –різниця ходу хвиль, що накладаються.

Для спостереження інтерференції світла при великих різницях ходу необхідно, щоб світло мало великий час когерентності, тобто щоб воно мало високий ступінь монохроматичності.

Когерентність коливань, які здій­снюються в одній і тій самій точці про­стору, що визначається ступенем монохроматичності хвиль, називається часовою когерентністю.

Поряд з часовою когерентністю, що визначається часом когерентності, для опису когерентних властивостей хвиль у площині, перпендикулярній до напрямку їх поширення, вводиться поняття просторової когерентності.

Когерентність коливань, що відбуваються в один і той же момент часу в різних точках площини, яка перпендику­лярна до напрямку поширення хвилі, називається просторовою когерентністю.

Для отримання інтерференційних смуг від двох джерел світла недостатньо, щоб ці джерела складалися з попарно когерентних точкових джерел. Навіть у випадку строго монохроматичного світла необхідно, щоб розміри джерел не перевищували певної межі, що залежить від взаємного розміщення та відстані між ними, а також від положення екрана, який призначений для спостереження інтерференційних смуг.

Просторово-когерентними називаються два джерела, розміри і взаємне розміщення яких при необхідному ступені монохроматичності світла дозволяють спостерігати інтерференційні смуги.

Довжиною просторової когерентності або радіусом когерентності називається відстань між двома точками перпендикулярної до напрямку поширення хвилі поверхні, між якими випадкова зміна різниці фаз досягає значення рівного. На відстаніможна спостерігати явище інтерференції. Отже, просторова когерентність визначається радіусом когерентності.

Радіус когерентності

,

де - довжина світлових хвиль, - кутовий розмір джерела.

Коливання в двох точках, які знаходяться на відстані, меншій від , будуть приблизно когерентними.

Розглянемо тепер інтерференцію світла.

Для отримання когерентних світлових хвиль застосовують метод розділення хвилі, що випромінюється одним джерелом, на дві частини, які після проходження різних оптичних шляхів накладаються одна на одну і в результаті спостерігається інтерференційна картина.

Нехай розділення на дві когерентні хвилі відбувається в певній точціО(рис. 209). До точкиМ, в якій спостерігається інтерференційна картина, одна хвиля в середовищі з показником заломлення, пройшла шлях, друга – в середовищі з показником заломлення– шлях.

Перша хвиля викличе в точці Mгар­монічні коливання

,

а друга

,

де , – фазова швидкість першої та другої хвиль.

Оскільки в точці Mдодаються два гармонічні коливання однакового періоду, що відбуваються в однаковому напрямку, то результуюче коливання буде також гар­монічним з тим самим періодом і в тому самому напрямку, тобто

.

Амплітуда цього коливання дорівнює:

,

а початкова фаза визначається виразом:

,

де , .

Різниця фаз двох когерентних хвиль від одного джерела:

.

Оскільки , де– довжина хвилі у вакуумі, то

.

Добуток геометричної довжини d шляху світлової хвилі на показник n заломлення цього середовища називається оптичною довжиною шляху L, а різниця оптичних довжин шляхів, що пройшли хвилі – називаєтьсяоптичною різницею ходу.

Оскільки інтенсивність хвилі пропорційна до квадрату її амплітуди, то результуюча інтенсивність в точці Mвизначається співвідношенням

.

У випадку когерентних хвиль

і для зручності припустимо, що . В результаті

.

Якщо оптична різниця ходу дорівнює парному числу півхвиль у вакуумі:

,

то , і коливання, що збуджуються в точціMобома хвилями, відбуваються в однакових фазах. Отже,і результуюча інтенсивність – максимальна:

;

.

Таким чином, максимум інтенсивності при накладанні двох когерентних хвиль буде у точках, для яких у різниці ходу променів укладається парне число півхвиль. Сукупність таких точок утворює інтерференційні лінії, порядок яких визначається числом m.

Якщо оптична різниця ходу:

,

то і коливання, що збуджуються в точціМобома хвилями, знаходяться у протифазі і. Результуюча інтенсивність при цьому буде мінімальна:

;

.

Мінімум інтенсивності отримуємо в точках, для яких різниця ходу променів вміщає непарне число півхвиль.

Таким чином,

– умова інтерференційного максимуму, а

– умова інтерференційного мінімуму.

Визначимо геометричне місце точок максимальної (мінімальної) інтенсивності. Як для точок максимальної інтен­сивності , так і для точок мінімальної інтенсивності

має місце

,

що визначає рівняння гіпербол з фокусами і. Кожному значенню інтенсивності відповідає поверхня гіперболоїда обертання. Переріз таких поверхонь наведено на рис. 210, де суцільними лініями показано розміщення максимумів інтенсивності, штриховими – мінімумів інтенсивності.

Контрастність інтерференційної картини характеризують за допомогою параметраV, який виражається формулою

,

де і– інтенсивність світлих і темних смуг. Якщо інтенсивність темної смуги дорівнює нулю, тоV=1, тобто когерентність максимальна. Для рівномірно освітленого екранаконтраст­ність дорівнює нулю.