Вища математика / B.M

5.2. Диференціал функції

Функція y=f(x) називається диференційовною у даній точці x, якщо приріст y цієї функції в точці x, що відповідає приросту аргументу x, може бути представлений у вигляді

де A – деяке число, що не залежить від x, а α – функція аргументу x, що є нескінченно малою при D x ® 0 . Головна частина приросту функції A × Dx , лінійна відносно Dx , називається диференціалом функції й позначається

dy = A × Dx .

Теорема. Для того щоб функція y=f(x) була диференційовною в даній точці x, необхідно й достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну. У процесі доказу цієї теореми з'ясовується зміст А, а саме, установлюється,

що A = y′( x) .

З огляду на цю рівність, диференціал функції можна записати так:

Теорема. Якщо функція y=f(x) диференційовна в точці x, то вона й неперервна в цій точці. Обернене твердження не завжди вірне. Наприклад, функції y =|x| (рис. 5.1.а), y = 3 x (рис. 5.1.б) є неперервними в точці х=0, однак вони не диференцційовні в цій точці.

y y

Диференціал незалежної змінної х дорівнює її приросту, dх= x, тому

- 63 -

5.2.1.Геометричний зміст диференціала функції

Зформули (5.2.2) випливає, що диференціал функції y=f(x) дорівнює dy = f ′( x) dx . З огляду на те, що f ′( x) = tgϕ (рис.5.2.), одержуємо dy=tgφ·dx.

y

5.2.2. Застосування диференціала до наближених обчислень

5.3. Похідні й диференціали вищих порядків

Нехай функція y=f(x) диференційовна на деякому проміжку (a,b). Значення похідної f ′ (x), загалом кажучи, залежить від x, тобто похідна від f ′ (x) є теж функція від x. Якщо ця функція сама є диференційовною у деякій точці x інтервалу (a,b), тобто має в цій точці похідну, то зазначена похідна називається другою похідною (або похідною другого порядку) і позначається

y′′ = ( y′)′ = f ′′( x) .

- 64 -

Формула 3 називається формулою Лейбніца.

Приклад. y = ex × x2 . Знайти y(40).

Розв’ язання. Застосовуючи формулу Лейбніца, приймемо u=ex , v=x2

диференціал другого порядку. Диференціалом другого порядку називається диференціал від диференціала функції:.

d(dy)=d( y′d x)= y′′ dx2=d2y , або d 2 y = y¢¢dx2 .

Взагалі, диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від диференціала (n-1)-го порядку.

Користуючись диференціалами різних порядків, похідну будь-якого порядку можна представити як відношення диференціалів відповідного порядку:

Рівності (5.3.1), (5.3.2) при n>1 вірні тільки в тому випадку, коли х є незалежною змінною.

5.3.1. Диференціювання параметрично заданих функцій

Для знаходження другої похідної застосуємо теорему про похідну складної

dt

- 65 -

якщо існує границя (скінченна або нескінченна) відношення похідних, то відношення функцій має ту ж границю, тобто

Зауваження. Підкреслимо ще раз, що існування границі відношення похідних гарантує існування границі відношення функцій. Обернене твердження невірно, оскільки границя відношення функцій може існувати

при відсутності границі відношення похідних.

Приклад 1. Знайти границю функції

Розв’ язання. Правило Лопіталя в цьому випадку незастосовно,

оскільки відношення похідних 1- sin x не має границі при х → ∞.

1+ cos x

- 66 -

З того, що границя відношення похідних не існує не можна зробити висновок , що шукана границя не існує. Дійсно, границя даної функції може бути обчислена безпосередньо:

cos x

Обчислити границі функцій, користуючись правилом Лопіталя.

Приклад 1.

Відзначимо, що при знаходженні границь за правилом Лопіталя доцільна заміна еквівалентними нескінченно малими, заміна функцій їх скінченними границями, відмінними від 0, тотожні перетворення виразів із метою їх спрощення.

Для знаходження похідної функції хх застосуємо логарифмічне диференціювання.

Нехай y1 = хх, тоді lny1 = xlnx,

- 67 -

Правило Лопіталя можна застосувати повторно, якщо відношення похідних знову приведе до невизначеності й при цьому виконуються умови застосовності правила Лопіталя.