Вища математика / B.M

Під «околом + ∞» розуміють множину всіх дійсних чисел, що перевищують будь-яке число М. Під «околом -∞» розуміють множину всіх дійсних чисел не більших за будь-яке задане число m.

Рис. 4.1.

Означення. Функція y = f ( x) має при х → + ∞ границю А, якщо ε> 0

Μ R , що | f ( x) – A| < ε х >M.

У цьому випадку число А називають границею функції на ∞ і позначають

lim f ( x) = ∞ .

x→a

4.2.2. Однобічні границі функції

Означення. Число А1 називають границею функції ліворуч або

лівосторонньою границею в точці х = а, якщо lim f ( x) = A1 .

x→a−0

Число А2 — границею функції праворуч або правосторонньою границею в

точці х = а, якщо lim f ( x) = A2

x→a+0

З означення границі виходить, що якщо границя існує, то вона не залежить від способу наближення аргументу до своєї границі.

тоді, якщо границя в точці х = а існує, то f (а – 0) = f (а + 0) = А, тобто

lim f ( x) = A.

x→a

Значення f (а – 0) і f (а + 0) називають однобічними границями.

Отже, для того щоб функція мала границю в точці необхідно й достатньо, щоб у цій точці функція мала однобічні границі й щоб вони були рівні.

4.2.3. Нескінченно малі і їхні основні властивості

Числова послідовність {α n } називається нескінченно малою, якщо limαn =0.

Нескінченно малі послідовності (як окремий випадок функцій) і нескінченно малі функції об'єднаємо під загальною назвою: нескінченно малі величини.

Властивості нескінченно малих величин:

- 43 -

1.Сума скінченного числа нескінченно малих величин - величина нескінченно мала.

2.Добуток скінченного числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

3.Добуток величини обмеженої й величини нескінченно малої є величина нескінченно мала.

4.2.4. Порівняння нескінченно малих величин

При порівнянні нескінченно малих величин розглядають границю їхнього відношення.

Нехай: lim αn = 0, lim βn = 0.

величинами одного порядку: aп = Аβn.

малими: aп ~ βn.

- 44 -

4.2.6. Теореми про еквівалентні нескінченно малі величини

Теорема 1. Для того щоб нескінченно малі величини α і β були еквівалентними необхідно й достатньо, щоб їхня різниця α – β була нескінченно малою величиною більш високого порядку, ніж вони самі.

Теорема 2. Границя частки нескінченно малих не зміниться, якщо чисельник і знаменник замінити еквівалентними їм нескінченно малими

Дана властивість справедлива й для нескінченно великих величин. Теорема 3. Якщо в сумі α + β, де α і β – нескінченно малі величини

різного порядку, відкинути нескінченно малу більш високого порядку, наприклад, β, то частина, що залишилася, буде еквівалентна всій сумі, тобто

α + β ~ α.

e ≈ 2, 718

Користуючись таблицею еквівалентних нескінченно малих величин, можна одержати деякі додаткові співвідношення:

Крім того, якщо α ~ β, то n1+ α −1 ~ n1+ β −1, eα −1 ~ eβ −1

При обчисленні границь з нескінченно великим аргументом можна враховувати, що якщо х → ∞, то

a0 xn + a1 xn−1 +¼+ an−1 x + an ~ a0 xn і отже, na0 x n + a1 x n −1 + ¼ + an −1 x + an ~ na0 x.

- 45 -

4.2.7. Приклади

При обчисленні границь функцій використовується правило граничного переходу під знаком неперервної функції, що формулюється так:

граничним значенням і з'ясувати чи є невизначеність. Приклад 1.

Знайти A = lim(x3 + x + 4) .

x→2

Границі виразів, що не містять невизначеностей, визначаються безпосередньо з застосуванням теорем про границі суми, добутку, частки.

одержимо невизначений вираз, то необхідно виконати тотожні перетворення, в результаті яких усувається невизначеність, а потім обчислюється границя.

Розглянемо деякі, що найбільш часто зустрічаються випадки розкриття невизначених виразів.

1. Розкриття дрібно-раціональних невизначеностей

- 46 -

Користуючись тим, що чисельник і знаменник при х = а дорівнюють нулю, виділимо множник х – а, що прямує до 0 при х → а.

Наслідок теореми Безу: Якщо а — корінь многочлена Pn(x)=0, тобто Рп(а) = 0, то Рп(х) ділиться без залишку на різницю х – а,

Для того щоб позбутися невизначеності, чисельник і знаменник розкладемо на множники, користуючись наслідком теореми Безу. Ділимо чисельник і знаменник на х – 1:

Чисельник можна представити у вигляді:

х4 + 2х3 – 3 = ( х – 1) ( х3 + х2 + 3х + 3),

аналогічно знаменник: х3 - 2х + 1 = (х – 1) ( х2 + х – 1),

У прикладах 6 й 7 не з'являються невизначені вирази, тому відповіді знаходимо без попередніх перетворень.

2.Розкриття ірраціональних невизначеностей виду ¥ , 0 ×¥, 0 , ¥ - ¥.

¥0

Приклад 2. Знайти границю

- 47 -

Для того щоб позбутися ірраціональності, чисельник і знаменник множать на спряжений вираз. При цьому використовуються формули:

(a - b )(a + b ) = a - b,

У нашому випадку помножимо чисельник і знаменник на x2 + x4 + 2 + x2 ,