Вища математика / B.M

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Параметри a й b знаходимо із системи:

.Підставляючи с=5 й ε =

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

y − y0 = k ( x − x0 )	(3.2.14)
називається рівнянням прямої, що	проходить через задану точку M0 із

заданим кутовим коефіцієнтом k.

Кутовий коефіцієнт: k = tgα , де α – кут нахилу даної прямої до осі ОХ.

Кут між прямими на площині

Кутом φ між прямими (1) і (2) на площині називають кут, на який треба повернути першу пряму проти годинникової стрілки до збігу із другою прямою, причому 0 ≤ ϕ ≤ π .

З рисунка видно, що tgϕ = tg (α2 − α1 )

tgα2 − tgα1

k2 − k1

− тангенс кута

(2)

1 + tgα

tgα

1 + k

(1)

між двома прямими y = k1 x + b1 й

y = k2 x + b2 на площині. Формула

α1

k2 − k1

ϕ = arctg

визначає гострий кут

α2

1 + k2 k1

між прямими.

Рис.3.12

k 2 = k 1 .

Умова паралельності прямих на площині:

Умова перпендикулярності: 1 + k

k = 0 k

= −

Можна показати,

що відстань від т. M0 ( x0 , y0 ) до прямої Ах+Ву+С=0

•P(4;4)

•B(-2;6)

M0 •A(5;-1)

Рис. 3.13

Тоді кутовий коефіцієнт прямої

Рівняння прямої М0Р: y-4=1(х-4)

дорівнює: d = Ax0 + By0 + C .

A2 + B2

Приклад 3. Знайти проекцію т. Р(4;4) на пряму, що проходить через т.

А(5;-1) і В(-2;6).

Розв’язання. Рівняння прямої, що проходить через точки А і В:

x − 5	=	y + 1	x + y − 4 = 0, k1=-1.

−2 − 5 6 + 1

М0Р k2 = 1 .
або y= х. Розв’язуючи систему: y = x,	,
y = −x + 4

знаходимо координати т. М0(2;2).

Проекцією точки Р на пряму АВ є точка М0(2,2) (Рис. 3.13).

Перехід від загальних рівнянь прямої в просторі до канонічних

Якщо пряма в просторі задана як лінія перетину двох площин

A x + B y + C z + D = 0,				(3.2.15)
1	1	1	1
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

- 33 -

то очевидно, що напрямний вектор a лінії перетину цих

одночасно перпендикулярний до векторів r = ( ) й r

n1 A1 , B1 , C1 n2

отже, він буде колінеарний їхньому векторному добутку:

= i

- j

+ k

площин буде

= ( A2 , B2 , C2 ) , а,

Для визначення якої-небудь точки M0 ( x0 , y0 , z0 ) , що належить прямій потрібно

розв’зати систему рівнянь (3.2.15), фіксуючи значення однієї зі змінних. Тоді канонічні рівняння прямої запишуться у вигляді

x − x0

y − y0

z − z0

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Нехай дані дві прямі:

x - x1

y - y1

z - z1

x - x2

y - y2

z - z2

тоді кут між ними знаходиться за

формулою

uur

× a2

m1 × m2 + n1n2 + p1 p2

cosϕ =

uur

cosϕ =

+ n2

+ p2 × m2

+ n2

+ p2

Умова паралельності: m1 = n1 = p1 .

m2 n2 p2

Умова перпендикулярності: m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 .

Умова перетину прямих у просторі

x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1	= 0 ,
x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1
m1	n1	p1
m2	n2	p2

це умова компланарності напрямних векторів прямих і вектора M1M 2 , де М1( x1 , y1 , z1 ) і М2( x2 , y2 , z2 ) – точки, що належать першій і другій прямій відповідно.

Кут між прямою	x - x1	=	y - y1	=	z - z1
	m		n		p

й площиною Аx+By+Cz+D=0

дорівнює гострому куту між прямою і її проекцією на площину й знаходиться за формулою:

sin ϕ =

Am + Bn + Cp

+ B2 + C 2 m2 + n2

+ p2

Умови належності прямої площині.

mA + nB + pC = 0,

+ By0

+ Cz0 + D = 0,

Ax0

де перша умова виражає перпендикулярність векторів (m, n, p) і (A, B, C), а друга – належність площині т. M0 ( x0 , y0 , z0 ) прямої.

Приклад 5. Дані координати вершин піраміди А1(2;-1;1), А2(5;5;4), А3(3;2;- 1), А4(4;1;3). Знайти:

- 34 -

1) Довжину ребра A1 A2 :

A1 A2 =(5-2; 5-(-1); 4-1)=(3; 6; 3);

Довжина ребра A A дорівнює								.
Довжина ребра A A дорівнює		A A		= 32	+ 6 2 + 32	=	54	.
1	2	1	2

2)Кут між ребрами A1 A2 й A3 A4 :

A3 A4 =(1; -1; 4)

cosα =

A1 A2

A3 A4

3×1+ 6(-1) + 3× 4

. ; α = arccos

A1 A2

A3 A4

12 +12 + 42

9 × 2 3

2 3


			3) Проекцію вектора A1 A3																																												на напрям вектора																						A1 A4 :
						Пр																	=					A1 A3						×		A1 A4															= (1; 3; -2)											;
																	A A																												;																							=(2;2;2)
																																															A A																		A A


											A1 A4								1 3													A1 A4														1				3													1 4
																																A1 A4
					=																						=											= 2						; пр									A A =							1× 2 + 3 ×				2		- 2 × 2				=		2
									22 + 22 + 22
	A A																												12													3

																																																	A1 A4
		1		4																																													A1 A4				1 3									2	3					3
			4)			Площа грані A1 A2 A3 :																																																								2	3					3
			4)			Площа грані A1 A2 A3 :																																																	r			r				r
																																																							r			r				r
								1				uuuur							uuuur																uuuur uuuur																				i				j			k				r					r r


	S					=				A A ,									A A							,							A A , A A																				=		3			6				3	= -21i					+ 9 j + 3k ;
	S					=				A A ,									A A							,							A A , A A																				=		3			6				3	= -21i					+ 9 j + 3k ;
		A A A				2								1 2					1 3																		1 2									1 3
		1	2	3																																																										- 2
																1																							=				1												1			3				- 2


														=					212 + 92 + 32																																		(кв. од.).
							SA A A																																									531
							SA A A																																									531
						1				2	3			2																									2
						1				2	3
			5)			Об'єм піраміди:
V =				1		(						,						,							)			,

							A1 A2							A1 A3						A1 A4
							A1 A2							A1 A3						A1 A4
				6																																																															18				= 3 (куб. од).
				6																		3		6				3												3						0							0											V =


																																																																				6
( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ) =																						1 3 -2													=					1 1 -3															= -18													6
( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ) =																						1 3 -2													=					1 1 -3															= -18
																						2		2				2												2						-2							0
			6) Рівняння прямої A1 A2 :
							x - 2						=		y +1						=			z -1							або										x - 2							=		y +1						=	z -1					.
													=								=										або																	=								=						.
						3								6										3															1														2					1
			7)			Рівняння площини A1 A2 A3 :
							x - 2								y +1 z -1																															або							-21(х-2) +9(y+1) +3(z-1)=0,
							x - 2								y +1 z -1
							3							6										3						= 0
							1							3										-2
						-7(x-2)+3(y+1) +z-1=0,																																															-7x +3y +z +16=0.
			8)			Рівняння висоти, опущеної з вершини A4 на грань A1 A2 A3 :
Нормальний вектор																															площини																			A1 A2 A3 :											r
Нормальний вектор																															площини																			A1 A2 A3 :											n = (-7;3;1) , тоді рівняння шуканої
висоти мають вигляд																																															x - 4					=		y -1					=		z - 3
висоти мають вигляд																																																				=							=
																																														-7							3									1
			9)			Кут між ребром A1 A4																																				і гранню A1 A2 A3 .
						Маємо A1 A4 =(2;2;2),																																		r						(-7; 3;1) , тоді
						Маємо A1 A4 =(2;2;2),																																		n =						(-7; 3;1) , тоді

- 35 -

	2 ×(-7 ) + 2 ×3 + 2 ×1
sin ϕ =	2 ×(-7 ) + 2 ×3 + 2 ×1	=	6	=	3	; ϕ = arcsin	3	.
					3		3
					59		59
22	+ 22 + 22 7 2 + 32 + 12		2 3 59		59		59

3.3. Лінії другого порядку

3.3.1. Класифікація ліній другого порядку

Лінією (кривою) другого порядку на площині називається множина точок, координати яких у деякій системі декартових координат задовольняють рівнянню

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ,

(3.3.1)

де A2 + B2 + C 2 ¹ 0 .

Класифікація кривих другого порядку:

1.AC-B2>0 – крива еліптичного типу (еліпс, уявний еліпс);

2.AC-B2<0 – крива гіперболічного типу (гіпербола, пара прямих,що перетинаються);

3.AC-B2=0 – крива параболічного типу (парабола, пара паралельних

прямих); Застосовуючи перетворення повороту системи координат, можна

одержати рівняння, що не містить добутку xy. Методом виділення повних квадратів і паралельним переносом системи координат можна привести рівняння кривої другого порядку до, так називаного, канонічному виду.

Розглянемо найпростіші (канонічні) рівняння ліній другого порядку.

	y	3.3.2. Еліпс
	y			Еліпсом називається геометричне місце
				Еліпсом називається геометричне місце
	b	M(x, y)		точок, сума відстаней яких до двох даних точок,
		M(x, y)		називаних фокусами, є величина постійна (звичайно
				називаних фокусами, є величина постійна (звичайно
				позначувана 2а). Введемо декартову систему
				координат, так щоб вісь Ох проходила через фокуси
-a	F1(-c;0)	F2(-c;0)	a	x F1 й F2, а вісь Oy ділила відрізок F1F2 навпіл (Рис.
				3.15), тоді:	x2	+ y2 = 1	(3.3. 2)
	-b				a2	b2

Рис. 3.15

– канонічне рівняння еліпса, де a й b півосі еліпса. Якщо a>b, то фокуси розташовані на осі ОХ, як показано на даному рисунку.

Має місце наступне співвідношення: c2 = a2 - b2 , де 2с – відстань між фокусами. Якщо b>a, то фокуси розташовані на осі OY й c2 = b2 - a2 .

Точки (a, 0),(0, b),(-a, 0),(0, -b) – вершини еліпса.

Відношення половини відстані між фокусами до більшої півосі еліпса, називається

ексцентриситетом еліпса ε =	c	(або ε =	c	).
	a
			b
		- 36 -

Приклад 1. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо його більша вісь дорівнює 20, а ексцентриситет 3/5.

Розв’язання. За умовою 2a=20, ε=3/5. Тоді a=10, а відповідно до

формули ε =	c	c = a ×ε = 10 ×	3	= 6 . Зі співвідношення b2=a2-c2 знаходимо
	a
		5

2 2

b2=100-36=64. Підставляючи a2=100, b2=64 у рівняння еліпса x + y = 1,

a2 b2

одержимо x2 + y2 = 1 – шукане рівняння еліпса.

10064

3.3.3.Гіпербола

Гіперболою називається геометричне місце точок, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок, називаних фокусами, є величина постійна (звичайно позначувана 2а).

Якщо декартову систему координат розташуємо так само, як у випадку еліпса, то
	y		одержимо канонічне рівняння гіперболи
	y		x2		- y2
			x2		- y2		= 1 (Рис.3.16).
		M(x;y)	a2		b2
		M(x;y)
	b		Гіпербола, у якої фокуси розташовані на осі ОУ,
-a	a	x	називається спряженою і її рівняння:
	0	x	x	2	- y	2
F1(-c;0)	-b	F2(-c;0)	x		- y		= -1 . Числа a й b є величини дійсної й
			a2		b2
			уявної півосей гіперболи. Вони зв'язані між
			собою c2=a2+b2
							Рис.3.16

Точки (а,0) і (-а,0) називаються вершинами гіперболи.

Відношення половини фокусної відстані до довжини дійсної півосі називається

ексцентриситетом гіперболи ε = c ( ε = c – для спряженої гіперболи). Очевидно, що для a b

гіперболи ε > 1 .

Прямі y = ± b x називаються асимптотами гіперболи. Якщо a=b, то

гіпербола називається рівнобічною.

Приклад 2. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані на осі ординат симетрично відносно початку координат, якщо відстань між

фокусами 2с=10, а ексцетриситет ε = 5 .

					3
			Розв’ язання.		За умовою задачі фокуси розташовані на осі ординат,
тому				напишемо	канонічне рівняння спряженої гіперболи у вигляді:
	y2	-	x2	= 1 .
	b2	-	a2	= 1 .
	b2		a2

- 37 -

a2 + b2					= 25,
одержимо:	5	=	5	.	Із другого рівняння системи знаходимо b=3, тоді

			3
b

2 2

a2=25-9=16; Отже, рівняння гіперболи: y − x = 1.

32 42

3.3.4. Парабола

Параболою називається геометричне місце точок, рівновіддаленних від даної точки, називаної фокусом, і даною прямою, називаною директрисою.

	y	Виберемо систему	координат	так, як
	M	зображено на рисунку 3.17. Тоді канонічне
		зображено на рисунку 3.17. Тоді канонічне
		рівняння параболи запишеться як		y 2 = 2 px ,
-p/2	0 F(p/2;0)	x де р – параметр параболи, чисельно рівний відстані
l		від фокуса до директриси.
l		Канонічне рівняння параболи, фокус якої знаходиться
		Канонічне рівняння параболи, фокус якої знаходиться
		на осі OY має вигляд: x2	= 2 py .

Рис. 3.17

x = − p ( y = − p ) – рівняння директриси. 2 2

3.3.5. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи, паралельно зміщених щодо осей координат

(x − x )2

( y − y )2

= 1

– еліпс,

(x − x )2

−

( y − y )2

= 1

–

( y − y )2

−

(x − x )2

= 1

гіпербола,

– спряжена гіпербола,

( y − y )2

= 2 p(x − x ) або (x − x )2

= 2 p( y − y ) – парабола.

Приклад 2. Привести рівняння до канонічного виду й побудувати криву.

4x2 + 9 y2 − 40x + 36 y + 100 = 0

Розв’ язання. Згрупуємо доданки й виділимо повні квадрати

(4x2 − 40 x) + (9 y2 + 36 y ) + 100 =

= 0, 4 (x2 − 10x) + 9 ( y2 + 4 y ) + 100 = 0,

y	Y		( x − 5)2		+ ( y + 2)2				= 1.
			9			4
				Виконуючи перетворення паралельного
			переносу осей з новим початком координат
0	5	x	O1 (5; −2) : х-5=Х, y+2=Y, одержимо рівняння
-2	O1	X	виду	X 2		+	Y 2	= 1 . Це рівняння еліпса з півосями
-2	O1		виду			+		= 1 . Це рівняння еліпса з півосями
			9			4
	Рис. 3.18

- 38 -

a=3, b=2. Будуємо криву в системі координат XO1Y .

3.4. Поверхні другого порядку

Поверхнею другого порядку називається множина точок простору, що у декартовой системі координат задається рівнянням

Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fxz+Kx+Ly+Mz+N=0, причому хоча б один з коефіцієнтів A, B, C, D, E, F відмінний від нуля.

Далі приводяться канонічні рівняння й малюнки невироджених поверхонь другого порядку в деякій фіксованій декартовій системі координат.

Циліндричні поверхні

Нехай на площині

XOY лежить деяка крива L, що має рівняння

F(x,y)=0

(3.4. 1)

пряму,

Проведемо

через

точку

N(x,y,0)

▪M

паралельну осі OZ. Множина цих прямих утворить

Y поверхню S (Рис.3.19), що називається циліндричною

поверхнею. Лінія

L називається напрямною,

а прямі,

що утворять циліндричну поверхню, рухаючись по

▪N

напрямній L, називаються утворюючими.

На

рисунку

зображена

циліндрична

поверхня з

F(x,y)=0

твірними,

паралельними осі OZ і

напрямною L у

площині XOY.

Рис. 3.19

Рівняння поверхні S збігається з рівнянням

напрямної:

F(x,y)=0.

Зокрема, якщо напрямною

є еліпс

= 1, то

циліндрична поверхня називається еліптичним

циліндром.

Прямий

еліптичний

циліндр

= 1

(Рис. 3.20).

Зокрема,

при

a=b

одержимо

рівняння

прямого

кругового циліндра: x

+y =a .

Якщо напрямною є парабола, то маємо параболічний

циліндр y2=2px (x2=2py)(рис 3.21).

Рис. 3.20

Якщо напрямна лінія –

гіпербола, то циліндрична

поверхня –

гіперболічний циліндр

−

= 1 (Рис.3.22).

Рис.3.21

Рис. 3.22

- 39 -

Еліптичний конус:	x2	+	y2	=	z2	(Рис.3.23).
	a2		b2		c2

Зокрема, при a=b одержимо рівняння прямого кругового конуса.

Рівняння тривісного еліпсоїда:	x2	+	y2	+	z2	= 1 (Рис. 3.24).
	a2		b2		c2

При a=b=c одержимо сферу: x2+y2+z2=a2 (Рис. 3.25).

Рис. 3.23

Рис. 3.24

Рис. 3.25

Еліптичний параболоїд:

= 2z;

(Рис. 3.26)

Параболоїд обертання (a=b):

= 2z.

Однопорожнинний

гіперболоїд:

−

= 1 (Рис. 3.27).

Рис. 3.26

Двопорожнинний гіперболоїд:

−

= −1 (Рис. 3.28).

Рис. 3.27

Рис. 3.28

- 40 -

Гіперболічний параболоїд:	x2	−	y2	= 2z; (Рис. 3.29(а), 3.29(б)).
	a2		b2

Рис. 3.29(а)

Рис. 3.29(б)

- 41 -

Розділ 4

ГРАНИЦЯ Й НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

4.1. Границя числової послідовності

Означення.

Нехай кожному числу n натурального ряду чисел 1, 2…,n,

…

ставиться у відповідність за певним законом деяке дійсне число xn , тоді

множина занумерованих дійсних чисел

x1 , x2 , ¼ xn , ¼ називається числовою

послідовністю.

Означення. Число α називається границею числової послідовності { xn } ,

якщо для кожного наперед заданого додатного числа ε

можна вказати такий

номер N (ε ) ,

що всі значення

xn , n > N , будуть задовольняти нерівності

xn − a

< ε .

Якщо число α є границя числової послідовності {xn }, то говорять, що

наближається

до

границі

a і пишуть

→ a

або

lim xn = a , або

n→∞

lim xn = a .

Нехай кожному значенню змінної xn поставлена у відповідність точка

на

числовій

осі.

Нерівність

− a

< ε

запишемо як

подвійну нерівність

−ε < xn − a < ε

або

a − ε < xn < a + ε .

Нерівності

xn − a

< ε задовольняє множина

точок, що належать інтервалу (a − ε , a + ε ) .

Кажуть, що числова послідовність {xn }

наближається до нескінченної

границі, якщо для кожного як завгодно великого додатного числа M, можна

знайти таке

N ,

що

n > N ,

має місце

нерівність

> M

і пишуть:

lim xn = ∞ .

У цьому

випадку

послідовність

називається

нескінченно

n→∞

великою.

4.2. Границя функції

Нехай функція f ( х) визначена в деякому околі точки х = а,

крім, може

бути, самої точки а.

f ( х)

Число А називається границею функції y =

при х → а, якщо для

будь-якого як завгодно малого додатного ε знайдеться таке δ > 0, що для всіх х (крім, може, точки а), що задовольняють нерівності |x – a| < δ,

виконується нерівність \| f ( х) – A\| < ε і записують x→a	(	х	)	= A	.
lim f		х		= A

Це означення називається означенням границі функції в точці мовою «ε - δ».

4.2.1. Геометричне означення границі функції в точці

Який би не був ε-окіл числа А існує такий δ -окіл числа а, що x (a − δ , a + δ ) значення y (А - ε, А + ε).

- 42 -

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вища математика

#
12.02.20161.03 Mб61B.M..pdf
#
12.02.20161.29 Mб53В.М.-iнтеграли.pdf