Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика / B.M

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

AB ´ AC =

2 -2 -3

= -12i

- 24 j

+ 8k ;

3× 260

Sî ñí . = 2

= 2 ×7 = 14 (кв.од.) H =

9 + 36 + 4

(од. довж.)

6 ×14 7

Приклад 3.

Чи лежать точки A(3;-1;2), B(-2;2;5), C(1;4;2), D(0;1;-2) в одній

площині?

Розв’язання. Якщо вектори

AB , AC і AD

компланарні, то

точки A, B, C, D лежать в одній площині.

У цьому випадку мішаний добуток векторів AB =(-5; 3; 3), AC =(-2; 5; 0) і AD =(-3; 2; -4) повинен рівнятися нулю. Знаходимо мішаний добуток

uuur uuur uuur	-5	3	3
	-5	3	3

( AB , AC, AD) =	-2	5	0	=100-12+0+45-24=109≠0.
	-3	2	-4

Виходить, вектори AB , AC і AD некомпланарні й, отже, точки A, B, C, D не лежать в одній площині.

2.9. Лінійна залежність векторів

r r ¼ r r

Лінійною комбінацією векторів a1 , a2 , , an−1 , an векторного простору R

називається сума добутків цих векторів на довільні дійсні числа αi ;i = 1, n :

= α1a1 +α

2 a2

+¼+αn−1an−1

+αn an .

незалежними, якщо

Вектори

a1 , a2

,K, an називаються

лінійно

їхня

+α

лінійна

комбінація

дорівнює

нулю: α1a1

2 a2

+¼+αn an

= 0 тільки при

всіх

αi = 0 (i = 1, n). Вектори лінійно залежні, якщо їхня лінійна комбінація дорівнює

нулю при хоча б одному із чисел ai		¹ 0 .
Будь-які n лінійно незалежних векторів утворюють базис n-мірного
простору.
r	r	r	= 0, де
Розглянемо рівність α1a1	+α2 a2 +¼+αn an		= 0, де

	a11
r	a21	r
a	=	, a

1	¼		2
1			2

an1

a			a
a12			a1n
=	22	,¼, an	=	2 n	.
		r
	¼			¼

an 2			ann

У координатній формі наведена рівність запишеться у вигляді однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно α1 ,α2 ,¼,αn .

- 23 -

α a

+α a

+¼+α

= 0

n 1n

α1a21 +α2 a22 +¼+αn a2n

= 0

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

+α

n 2

+¼+α a

= 0

r=n, то α1 = α2 = ¼ = αn = 0 й вектори

Якщо ранг матриці

лінійно

,¼, an

незалежні.

Якщо r < n,

то хоча б один з векторів ai є лінійна комбінація

інших (оскільки система має нескінченну множину розв’язків), вектори лінійно залежні.

Приклад 3. Задано вектори						r	=					r					r						-1). Показати, що
Приклад 3. Задано вектори						a1	=	(1; 2; 3) ; a2						= (-2;1; -1) ; a3 = (3; 2;									-1). Показати, що
вектори лінійно незалежні.
											1					-2			3				0
	r		r	r			або α				× 2			+α		×	1 +α		× 2		=			0 .
Запишемо α a		+α a		+α a = 0,			або α		1		× 2			+α	2	×	1 +α	3	× 2		=			0 .
	1 1		2 2	3 3					1						2			3
											3						-1		-1					0
						α1 - 2α2 + 3α3 = 0,
Одержимо систему рівнянь 2α1 +α2 + 2α3 = 0,
							3α -α			2	-α		3	= 0.
								1		2			3
						1 -2				3			1			-2 3			1 -2					3
Матриця системи				A = 2				1		2		~ 0				5	-4	~ 0			5			-4
						3 -1			-1				0			5 -10			0 0					-6
r(A) =3,	бо	1	-2	3	= -30 ¹ 0 ,				значить,							α1 = α2 = α3 = 0 .								Система векторів
		1	-2	3
		0	5	-4
		0	0	-6
лінійно незалежна.
			r			r								r
Приклад. Нехай a1 = (1; 2; -3); a2 = (-1; 2; 4); a3 = (1; 6; -2),																			розглянемо матрицю
1	-1 1		1	-1 1							1 . ; r( A) = 2, де
A = 2	2 6	~ 0		4 4 ~ 1				-1			1 . ; r( A) = 2, де									1 -1		= 1 ¹ 0 .
-3	4 -2		0	1 1		0		1			1									0	1
-3	4 -2		0	1 1

Система має нескінченну множину розв’язків, оскільки r<n. Вектори лінійно залежні.

2.10. Розкладання вектора по заданому базису

r	r	r	лінійно незалежні, тобто утворюють базис n-
Нехай вектори a1	, a2	,¼, an	лінійно незалежні, тобто утворюють базис n-
мірного простору.
		r	лінійного простору R можна представити, і притім
Теорема. Кожен вектор X			лінійного простору R можна представити, і притім
єдиним способом, у вигляді лінійної комбінації векторів базису: X =				r	r	r
				α1a1	+α2 a2	+¼+αn an .
			r	r	r
Таке представлення називається розкладанням вектора по базису a1				, a2 ,¼, an , а
коефіцієнти α1 ,α2 ,¼,αn −	координатами вектора X в цьому базисі.

- 24 -

Для визначення коефіцієнтів розкладання дана рівність записується в координатній формі. Одержимо систему лінійних неоднорідних рівнянь щодо невідомих α1 ,α2 ,¼,αn . Розв’язуючи її, знайдемо коефіцієнти

розкладання вектора X по базису.

Приклад. даному базису:


Показати, що вектори			r	r	r	утворять базис і знайти розкладання b
Показати, що вектори			a1	, a2	, a3	утворять базис і знайти розкладання b	по
r	r	= (2; 2; -1)		r	= (2;1;0) , b = (3; 7; -7) .
a1	= (1; -1; 2) , a2	= (2; 2; -1)		, a3	= (2;1;0) , b = (3; 7; -7) .

Розкладемо вектор b по векторах a1 , a2 , a3 :	r	r	r
Розкладемо вектор b по векторах a1 , a2 , a3 :	b = α1a1	+α2 a2	+α3 a3 .

Розв’яжемо систему відносно α1, α2, α3 . методом повного виключення.

a1	a2	a3	b
1	2	2	3	e2 + e1 → e2
-1	2	1	7	e2 + e1 → e2
2	-1	0	-7	e3 + e1 (-2) ® e3

1	2	2	3	e2 + e3 → e2
0	4	3	10	e2 + e3 → e2
0	-5	-4	-13
1	2	2	3	e2 × 2 + e1 ® e1
0	-1	-1	-3
0	4	3	10	e2 × 4 + e3 ® e3

1	0	0	-3	e3 + e2 → e2
0	1	1	3	e3 + e2 → e2
0	0	-1	-2
1	0	0	-3
0	1	0	1
0	0	1	2

Як видно з розв’язку, ранг матриці системи дорівнює 3, отже, вектори

лінійно незалежні й утворюють базис. Розв’язок системи α1 = -3;α2								= 1;α3 = 2 .
r	r	r	–	розкладання вектора b	r	r		r
Виходить, b = -3a1	+ a2	+ 2a3	–	розкладання вектора b	по базису a1	, a2	, a3 .

- 25 -

Розділ 3 АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.1. Поняття про рівняння ліній і поверхонь

3.1.1. Геометричні місця точок

Означення 1: Рівнянням лінії L у заданій системі координат на площині називається рівняння F(x,y)=0, якщо йому задовольняють

координати точок лінії L і тільки вони.

Приклад 1. Скласти рівняння кола в декартовій прямокутній системі координат радіуса R c центром у точці O(a;b).

Розв’ язання:

uuuur

Коло є геометричне місце точок, що задовольняють умові OM = R , де M(x,y)

uuuur

– довільна точка кола, тоді OM = (x − a)2 + ( y − b)2 , звідси одержимо (x-a)2+(y-

b)2=R2 – шукане рівняння кола. Зокрема, якщо центр перебуває на початку координат, рівняння має вигляд: x2+y2=R2.

Аналогічно, рівняння сфери із центром у точці O(a,b,с) радіуса R має вигляд

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 або x2+y2+z2=R2

Означення 2: Рівняння F(x,y,z)=0 називається рівнянням поверхні S у даній системі координат, якщо йому задовольняють координати точок поверхні S і тільки вони.

Геометричне місце точок - це множина точок, що володіють деякою

загальною ознакою.

Приклад 2. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точок M1(3;2) і M2(2;3).

Розв’ язання:

Нехай M(x,y) – довільна точка шуканого геометричного місця точок.

uuuuur uuuuuur

За умовою M1M = M 2 M , де

uuuuur

uuuuuur

= (x − 3)2 + ( y − 2)2 ,

= (x − 2)2

+ ( y − 3)2 ,

M1M

M 2 M

тоді

(x − 3)2 + ( y − 2)2

(x − 2)2 + ( y − 3)2

або після спрощень

x2-6x+9+y2-4y+4=x2-4x+4+y2-6y+9 y-x=0.

Це рівняння прямої.

Приклад 3. Точка M рухається так, що в довільний момент часу її відстань від точки M1(6;0) утроє більше відстані до точки M2(2/3; 0). Знайти траєкторію руху точки M.

Розв’ язання:

За умовою

uuuuur

uuuuuur

. Виразимо відстані

uuuuur

uuuuuur

через координати

M1M

M 2 M

M1M

M 2 M

точок, тоді

uuuuur

uuuuuur

= x −

M1M

= (x

− 6)2 + ( y − 0)2 ,

M 2 M

+ ( y − 0)2

- 26 -

або		=3 x -	2	2		,
	(x - 6)2 + ( y - 0)2				+ ( y - 0)2

			3

що після спрощень дає: x2+y2=4.

Приклад 4. Скласти рівняння кола, якщо її центр знаходиться на початку координат і пряма 3x-4y+20=0 є дотичною до кола.

Розв’ язання. Точка O(0;0)– центр кола, отже, рівняння кола має вигляд x2 +y2 =R2.

3x-4y+20=0

R X

Рис.3.1

Оскільки радіус кола в точці дотику перпендикулярний дотичній, його довжина дорівнює відстані від точки

O(0;0) (Рис. 3.1) до прямої 3x-4y+20=0,

тобто

R = 3×0 - 4 ×0 + 20 = 20 = 4 . Таким чином,
32 + 42	5

рівняння кола x2 +y2 =16.

3.1.2. Полярна система	координат
Положення точки на	площині	в полярній системі координат
визначається двома числами: радіусом ρ=		uuuur	,	що називається полярним
визначається двома числами: радіусом ρ=		OM	,	що називається полярним

радіусом точки M і виражає в даному масштабі відстань її від полюса, тобто довжину відрізка OM, і числом φ– полярним кутом між напрямом полярної осі й вектором OM , відлічуваним у напрямі проти годинникової стрілки від полярної осі.

y					Якщо	вмовитися			величину
y					полярного радіуса вважати додатною,
					полярного радіуса вважати додатною,
					а полярний	кут	брати		в	межах
		M(ρ,φ)			0≤φ<2π, то	кожній		точці		буде
		M(ρ,φ)			відповідати	одна	пара		чисел ρ,φ.
	ρ				відповідати	одна	пара		чисел ρ,φ.
	ρ				Можна обмежити		зміну		полярного
			y	ρ,x	Можна обмежити		зміну		полярного
	φ		y		кута умовами – π<φ≤π.			Числа		ρ і φ
	φ				кута умовами – π<φ≤π.			Числа		ρ і φ
o	x				називають полярними координатами
o

Рис. 3.2

точки М (Рис. 3.2).

Зв'язок між декартовими й полярними координатами

Виберемо на площині декартову прямокутну систему координат, помістивши її початок у полюс O і прийнявши за вектори i й j вектори, напрямлені відповідно уздовж ρ і під кутом π/2 до ρ. Як видно з рис.3.2

- 27 -

декартові

координати

й y

через

полярні

виразяться

в такий

спосіб: x = ρ cosϕ,

y = ρ sin ϕ.

Вирази полярних координат через декартові:

ρ =

= tgϕ ;

x2 + y2

( для знаходження кута φ потрібно враховувати

знаки x і y і визначити квадрант, у якому знаходиться точка).

Приклад 1. Дані декартові координати точки M(-2; 2).

Знайти її полярні координати. (Рис. 3.3)

3π

Розв’ язання. ρ =

(−2)2 + 22 =

8 = 2

2 , tgϕ =

= −1 ϕ =

(0≤ϕ <2π ).

−2

ρ,x

-2 O

Рис. 3.3

Приклад 2. Скласти рівняння прямої в полярній системі координат. Розв’ язання.

M(ρ,φ)

Положення прямої на

площині

визначено, якщо задані її відстань p

від

полюса O і кут α між полярною

віссю й променем l, що виходить із

полюса

перпендикулярно

прямій

(Рис. 3.4).

Очевидно,

проекція

OM на

напрям

дорівнює

тобто

Рис. 3.4

npl OM = p .

Позначаючи

через

ρ і

φ координати

довільної точки

M прямої,

запишемо: p=ρcos(φ-α), де кут NOM=φ-α або

ρ =

–

це рівняння прямої в полярних координатах.

cos(ϕ − α )

Зокрема, пряма x=a

у полярних координатах має рівняння

ρcosφ=a

або ρ =

, а пряма

y=b має рівняння

ρsinφ=b,

звідки ρ =

полярне

cosϕ

sin ϕ

рівняння цієї прямої.

- 28 -

Рівняння кола в полярних координатах

Приклад 3.

Записати рівняння кола x2 +y2 =R2 (Рис.3.5) у полярних координатах. Розв’ язання.

Оскільки ρ2= x2 +y2, то одержимо ρ2= R2 ρ=R – шукане рівняння кола в полярних координатах (Рис.3.6).

y		ρ
		ρ
		R
	x	φ
0	R	0
Рис.3.5		Рис.3.6
Рис.3.5

Приклад 4. Скласти полярне рівняння кола, зображеного на рис.3.7.

ρ•

φ		X,ρ
0	2a	D

Рис. 3.7

Розв’ язання. Нехай M(ρ, φ) – довільна точка кола. З'єднаємо точку M з полюсом і з кінцевою точкою D діаметра, що проходить через полюс.

ОМ=ρ, <MOD=φ, OD=2a .

Коло − це геометричне місце вершин прямих кутів, що опираються на його діаметр.

Отже, трикутник OMD – прямокутний. Звідси одержуємо OM=OD· cos φ ρ=2acosφ – шукане рівняння кола.

3.2. Поверхні й лінії першого порядку. Площина й пряма

3.2.1. Площина

Поверхнею першого порядку називається множина точок, координати яких у деякій декартовій системі координат задовольняють рівнянню

Ax + By + Cz + D = 0, де A2 + B2 + C 2	¹ 0	(3.2. 1)
Вектор n =(А,В,С) ¹ 0 ,	перпендикулярний	площині, називається
нормаллю цієї площини.

n( A, B, C)

M0(x0,y0,z0,)• M(x,y,z)

Рис. 3.8

- 29 -

r	= ( A, B, C ) і точка
Нехай задані нормальний вектор площини n

M0 ( x0 , y0 , z0 ) , що належить площини, одержимо рівняння площини, що проходить через задану точку:

A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .	(3.2. 2)
Рівняння (3.2.2) може бути приведене до виду:
Ax + By + Cz + D = 0, (де D = -Ax0 - By0 - Cz0 ),	(3.2. 3)

який називається загальним рівнянням площини.

Взаємне розташування площин

Взаємне розташування площин визначається взаємним розташуванням їх нормальних векторів.

1)Кут між площинами – це кут між їхніми нормальними векторами:

A A + B B + C C

cosϕ =

(n1

, n2 )

; .

uur

A12

+ B12

+ C12

× A22

+ B22 + C22

2) Дві площини

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 z + D2

= 0

паралельні, якщо

колінеарні їх нормалі, тобто виконуються умови:

; зокрема, якщо площини збігаються, то:

3)Умова перпендикулярності площин: n1 × n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 .

Рівняння площини у відрізках на осях.

Рівняння (3.2. 1) у випадку, коли

A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0 можна записати у

вигляді

= 1 ,

(3.2. 4)

де a = -

, b = -

, c = -

.– відрізки,

що відтинаються площиною від осей

координат. Отримане рівняння називається рівнянням площини у відрізках на

осях.

Нормальне рівняння площини

Якщо як нормальний вектор узятий орт, тобто вектор одиничної довжини, то таке рівняння площини називається нормальним. Для переходу до нормального рівняння площини треба загальне рівняння площини

					r
розділити на ± A2 + B2 + C 2		, де	A2 + B2 + C 2 =			.
					n

Маємо нормальне рівняння площини:
	Ax	+ By + Cz + D		= 0

±		A2 + B2 + C 2

Можна показати, що відстань від т. M 0 (x0 , y0 , z0 )

d =	Ax0	+ By0	+ Cz0	+ D	.
	Ax0	+ By0	+ Cz0	+ D


		A2 + B 2 + C 2

(3.2.5)

до площини дорівнює

(3.2.6)

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки.

A1(x1, y1, z1 ), A2 (x2 , y2 , z2 ), A3 (x3 , y3 , z3 ).

Нехай M(x,y,z) довільна точка, що належить шуканій площині.

- 30 -

M(x,y,z)

Рис. 3.9

Тоді вектори A1M , A1 A2 , A1 A3 є компланарними, отже, їхній мішаний добуток

дорівнює нулю, тобто ( A1M , A1 A2 , A1 A3 )=0 або в координатній формі:

x - x1	y - y1	z - z1		(3.2.7)
x - x1	y - y1	z - z1
x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1	= 0
x3 - x1	y3 - y1	z3 - z1

Приклад 2. Знайти відстань між паралельними площинами

x-2y+3z+7=0 й x-2y+3z-1=0.

Для цього досить взяти будь-яку точку на одній із площин й обчислити її відстань до іншої площини. Візьмемо в другій площині точку з координатами (1;0;0) і підставимо їх у формулу для обчислення відстані від точки до площини

d =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

1×1 - 2 ×0 + 3 ×0 +7

+ B2 + C 2

3.2.2. Пряма лінія на площині

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд:

Ax + By + C = 0 .

(3.2. 8)

Рівняння прямої, що проходить через т.

M0 ( x0 , y0 ) із заданим

до цієї прямої:

нормальним вектором n = ( A, B)

A( x - x0 ) + B ( y - y0 ) = 0

Рівняння прямої в «відрізках на осях».

Запишемо рівняння прямої в загальному виді Ах+Ву+С=0. Будемо

вважати,

що

A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0 .

Перетворимо вихідне

рівняння: Ах+Ву=-С

= 1 .

Позначимо a = -

, b = -

, тоді рівняння прямої в «відрізках на

осях» має вигляд:

= 1.

(3.2. 9)

a b

Взаємне розташування прямих визначається взаємним розташуванням їхніх нормальних векторів.

1)Кут між прямими – це кут між їхніми нормальними векторами:

A A + B B

(n1

, n2 )

cosϕ =

uur

;

A12

+ B12 ×

A22 + B22

2) Дві прямі A1 x + B1 y + C1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 = 0 паралельні, якщо колінеарні їх

нормалі, тобто виконуються рівності:

; зокрема, якщо збігаються, то:

;

A2 B2

B2 C2

- 31 -

3)Умова перпендикулярності прямих: n1 × n2 = A1 A2 + B1 B2 = 0 .

3.2.3. Пряма в просторі й на площині

Пряма в просторі може бути задана як лінія перетину двох площин:

A x + B y + C z + D = 0,				(3.2.10)
1	1	1	1
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Це загальні рівняння прямої лінії в просторі.
Пряма	лінія на площині й пряма в просторі визначаються точкою
M0 ( x0 , y0 , z0 )	й вектором	r	що називається
		a (m, n, p) , колінеарним прямій,

напрямним вектором прямої (Рис.3.10).

a =(m,n,p)

•M(x,y,z)

•M o(x0, y0, z0)

Рис. 3.10

в просторі.

	Якщо покласти	x − x0
	Якщо покласти	m
		m

Нехай

M ( x, y, z ) –

довільна

точка,

що

належить даній

прямій.

Напрямний вектор

прямої

= (m, n, p )

вектор

M0 M

колінеарними, тобто для них виконуються

співвідношення:

x − x0

y − y0

z − z0

(3.2.11)

які називаються канонічними рівняннями прямої

= t,

y − y0

= t,

z − z0

= t ,

то

одержимо параметричні

рівняння прямої в просторі:

x = mt + x0
		(3.2.12)
y = nt + y0
z = pt + z
	0

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Якщо пряма проходить через дві точки M1 ( x1 , y1 , z1 ) й M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , то як напрямний вектор можна взяти вектор M1M 2 , тоді одержимо рівняння прямої в просторі, що проходить через 2 точки.

•M 2(x2,y2,z2)

x - x1

y - y1

z - z1

(3.2.13)

x2 − x1 y2 − y1

z2 − z1

•M 1(x1,y1,z1)

Аналогічно,

x − x1

y − y1

(3.2.13*)

x2 − x1

y2 − y1

Рис. 3.11

– рівняння прямої, що проходить через 2

точки на площині.(Рис.3.11).

Звідси, маємо y − y

y2 − y1

(x − x ),

x2 − x1

де	y2	− y1	= k – кутовий коефіцієнт прямої ,що проходить через 2 точки на

	x2	− x1

площині. Рівняння

- 32 -

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вища математика

#
12.02.20161.03 Mб61B.M..pdf
#
12.02.20161.29 Mб53В.М.-iнтеграли.pdf