Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика / В.М.-iнтеграли

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Розв’язання.

Покладемо

y =

одержимо

степеневий

ряд

∞

(n2 +1)y n

x + 3

(n2 +1)

5n+1

∑

. Його радіус збіжності

R =

lim

= 5. Звідси

n =1

→∞

(n +1)2 +1

випливає збіжність первинного

ряду при

x + 3

. При

x + 3 =

маємо

∞

розбіжний

числовий ряд ∑

= ∑(n2 +1), оскільки

lim (n2

+1)¹ 0 ;

n =1 5

n =1

n→∞

при

x + 3 = -

ряд

також

розбігається.

Область

збіжності

ряду

- ¥;-

;+¥

11.4.2. Ряд Тейлора. Застосування рядів у наближених обчисленнях

Ряд Тейлора має вигляд

f (x) = f (a) + f ¢(a) (x - a) + f ¢¢(a) (x - a) 2 + ... + f (n) (a) (x - a)n + ...

1!			2!			n!
Зокрема, при a = 0 маємо ряд Маклорена:
f (x) = f (0) +	f ¢(0)	x +	f ¢¢(0)	x 2 + ... +	f (n) (0)	x n + ...
			2!
1!					n!

Запишемо розкладання основних елементарних функцій у ряд Маклорена:

e x = 1 +

x 2

+ ... +

x n

+ ..., x Î R ;

(-1)n x 2n

cos x = 1 -

... +

+ ..., x Î R ;

(2n)!

(-1)n x2n +1

sin x = x -

+ ... +

+ ..., x Î R ;

(2n +1)!

(-1)n −1 x n

ln(1 + x) = x -

- ... +

+ ..., x Î (-1;1];

1 + x

2n +1

= 2 x

+ ... +

+ ... ,

< 1;

1 - x

2n +1

(-1)n x

arctg x = x -

+ ... +

+ ..., x Î[-1;1] ;

(2n +1)

(1 + x)

= 1 + mx +

m(m −1)

+ ... +

m(m −1)...(m − n +1)

+ ...,

< 1.

- 160 -

Обчислення інтегралів за допомогою степеневих рядів. b

Для обчислення ∫ f (x)dx , межі інтегрування якого лежать усередині

інтервалу

збіжності ряду

функції

f (x) , розкладаємо

функцію

f (x)

степеневий ряд і почленно інтегруємо його.

0,5

Приклад. Обчислити інтеграл

∫

1 + x

Розв’язання. Розклавши функцію, що інтегрується, в степеневий ряд:

= 1 − x

4 + x8 − x12 + ... ,

1 + x 4

0,5

1 9

∫

= ∫ (1 − x 4 + x8 − x12

+ ...)dx =

одержимо:

−

− ...

0 1 + x

Отриманий ряд є знакопереміжним. Якщо обмежитися двома першими

1 9

≈ 0,0002 ), то

членами ряду (при цьому абсолютна похибка менше

a3 :

0,5

∫

≈ 0,4938 .

+ x

Застосування рядів до розкриття невизначеностей при обчисленні

границь.

x cos x − sin x

Приклад. Знайти границю:

lim

x→0

x2 (e x −1)

Розв’язання.

x cos x − sin x

x 1 −

−

...

− x −

+ ...

−

+ ...

lim

= lim

= −

x→0

−1)

x→0

2 x +

+ ...

x→0 x

+ ...

Наближене обчислення значень функцій.

Приклад. Знайти наближене значення cos 10o з точністю до 10−4 .

Розв’язання. Переводячи градусну міру в радіанну, одержимо:

10o ≈ 0,1745 радіан 10o =

радіан .

- 161 -

	o	∞	(-1)n	p 2n
Розкладаючи у степеневий ряд, одержимо: cos 10		= ∑			. Цей

		n =0	(2n)!	18

ряд є знакопереміжним, тому, приймаючи за наближене значення					cos 10o

суму перших двох членів розкладання, зробимо помилку, що дорівнює залишку r2 та за абсолютним значенням є меншою третього члена:

		1	p	4	(0,2)	4
		1	p		(0,2)
r2	<			<			< 0,0001.
r2	<			<			< 0,0001.
		24	18		24

(0,1745)2 » 0,9948 .

Виходить: cos 10

»1 -

Приклад. Обчислити 3

з точністю до 0,0001.

130

Розв’язання. Використовуємо біноміальний ряд: (1 + x)m , тоді

1 3

1 3(- 2 3)

1 3(− 2 3)(1 3 − 2)

= (5

+ 5)

130

= 5 1

= 5 +

+ ...

3 ×5

2!53

3!55

Отриманий ряд є знакопереміжним, починаючи з другого члена і, виходить, похибка за теоремою Лейбніця від відкидання членів, починаючи з

четвертого, за абсолютним значенням менша ніж 1 < 0,0001. 34 ×54

Тому, зберігаючи тільки три члени розкладання, маємо:

3130 » 5 + 0,0667 - 0,0009 = 5,0658 .

Приклад. Обчислити ln 3 з точністю до 0,01. Розв’язання. Використаємо розкладання

	1 + x							x		3			x	5		x	2n +1
ln		= 2 x +									+				+ ... +					+	... ,		x	< 1.


	1 - x						3						5			2n +1
	1 - x						3						5			2n +1
																		1 + x
Знайдемо значення x з рівності																		1 + x			= 3 x =					1	, що дає
Знайдемо значення x з рівності																		1 - x			= 3 x =						, що дає
																		1 - x							2
			1		1						1								1
			1		1						1								1
ln 3 = 2				+		3			+			5		+ ... +		2n +1						+ ...			.
			2		2	3	3 2					5	5		2	2n +1			(2n		+1)
			2		2		3 2						5		2				(2n		+1)

У цьому випадку ряд не є знакопереміжним, тому залишок ряду потрібно оцінити:

				1			1
r	= 2				+			+ ...	<
			2n +1			2n +3
n		2		(2n +1)	2		(2n + 3)

		2		1			1			1
<					+			+			+ ...	=
<		2n	+1		+	2		+	4		+ ...	=
	2	2n	+1	2n +1	2	2	(2n +1)	2	4	(2n +1)
	2			2n +1	2		(2n +1)	2		(2n +1)

- 162 -

			2									1			1								2				1			2
=								1		+			+			+ ...				=						×			=		.
=								1		+			+			+ ...				=						×			=		.
																												1
	22n +1(2n +1)											22	24						2				2n +1(2n +1) 1 -					1		3 × 22n −1(2n +1)
	22n +1(2n +1)											22	24						2				2n +1(2n +1) 1 -							3 × 22n −1(2n +1)
																											4
Підберемо n таке, щоб залишок ряду rn < 0,01 . При n = 2 маємо:
r =			2			=	1			> 0,01.
r =						=				> 0,01.
2					60
3 × 23 ×5					60						2					1
При n = 3: r3 =											2			=		1			< 0,01.

															16	×
					3 × 25 × 7										16	×	21
		Виходить, достатньо обмежитися значенням n = 3, що дає
			1		1							1						1					1
			1		1							1						1					1
ln 3 » 2				+					+						= 1 +							+		= 1	+ 0,08333 + 0,0125 » 1,096 .
ln 3 » 2				+					+						= 1 +					×		+	24 ×5	= 1	+ 0,08333 + 0,0125 » 1,096 .
		2			23 ×3 25 ×5													4		×	3		24 ×5

Розв’язання диференціальних рівнянь.

Для наближеного розв’язання диференційного рівняння за допомогою степеневих рядів застосовують два способи: порівняння коефіцієнтів і послідовного диференціювання.

Спосіб порівняння коефіцієнтів полягає в наступному: розв¢язок рівняння записують у вигляді степеневого ряду з невизначеними коефіцієнтами:

y = A0 + A1(x - a) + ... + An (x - a)n + ...

Потім з початкових умов визначають значення коефіцієнтів A0 , A1,..., An ,...

Отриманий розв¢язок підставляють у рівняння. Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x − a , знаходять інші коефіцієнти ряду.

Приклад. Знайти розв¢язок диференціального рівняння y′′ - xy = 0 при

′

початкових умовах y(0) = 1, y

(0) = 0 .

Розв’язання. Запишемо розв¢язок рівняння у вигляді

y = A

+ A x + ... + A x 2

+ ... + A x n

+ ...

y(0) = 1 = A0 ,

′

= 0 = A1.

З початкових умов визначимо A0 та A1:

y (0)

Розв¢язок y = 1+ A x2

+ A x3 + ... підставляємо в рівняння:

(x + A x3

+ A x 4 + ...)= 0 ,

2 A

+ 2 ×3A x + 3 × 4 A x2 + ... -

звідки, порівнюючи коефіцієнти, одержимо:

2 A2 = 0, A2 = 0;

2 ×3A = 1, A =

; 3 × 4 A = 0, A = 0 ;

2 ×3

4 ×5A5 = A2 , A5

= 0 ; 5 × 6 A6 = A3 ,

×3 ×5 ×

Таким чином,

y = 1 +

+ ...

2 × 3 2 ×3 × 5 × 6

Знайдемо розв¢язок рівняння методом послідовного диференціювання. Запишемо розв¢язок рівняння у вигляді

- 163 -

	′		′′			y	′′′
y = y(0) +	y (0)	x +	y (0)	x	2 +		(0)	x	3 + ...
							3!
1!		2!

′

За умовою y(0) = 1, y (0) = 0 . Після підстановки в рівняння x = 0 знаходимо:

′′

y (0) = 0 .

Послідовно диференціюючи початкове рівняння, одержимо:

′′′

′

′′′

= 1;

(4)

= 2 y

′

′′

(4)

(0)

= 0 ;

= y + xy ,

y (0)

+ xy ,

(5)

= 3y

′′

′′′

(5)

(0)

= 0 ;

(6)

= 4 y

′′′

+ xy

(4)

(6)

(0) = 4 ,

+ xy , y

що після підстановки збігається з результатом методу невизначених коефіцієнтів.

11.5.Ряди Фур'є

11.5.1.Розкладання періодичних функцій у ряд Фур'є

Нехай f (x) – дійсна функція дійсного аргумента x. Припустимо, що ця

функція є періодичною з періодом Т, тобто таким, що для усіх х справедлива рівність

f (x + T ) = f (x).

Звідси виходить, що для вивчення функції f (x) достатньо розглянути її на

будь-якому інтервалі довжини Т. За такий інтервал можна прийняти один із двох інтервалів [0,T ] або [− T 2 ,T2]. З геометричного змісту визначеного

інтеграла випливає, що для будь-якої періодичної функції f (x) з періодом Т

α +Т	β+T
∫	f (x)dx = ∫ f (x)dx ,	(11.3)
α	β

тобто інтеграли від f (x) за будь-якими двома проміжками завдовжки Т є однаковими для будь-яких значень α і β (рис. 11.1). (Перевірити дане твердження можна аналітично).

	y= f(x)
								X
	a	a + T		b		b + T		X
	Рис. 11.1
	Рис. 11.1
	Якщо функція					f (x)	має період Т, то ϕ(x) = f (ax) має період T a .
Справді, ϕ(x + T					a) = f (a(x + T a)) = f (ax + T ) = f (ax) = ϕ(x).
	Наприклад, функції						y = cos nωx або y = sin nωx є періодичними з
періодом T =			2π		. Загальний період системи тригонометричних функцій
періодом T =			nω		. Загальний період системи тригонометричних функцій
			nω

- 164 -

1, cos π x, sin π x, cos

2π

x, sin

2π

x,K, cos

nπ

x, sin

nπ

x,K

(11.4)

дорівнює 2l (T = 2l ).

Періодичність

суми

тригонометричного

ряду.

Складемо

тригонометричний ряд

∞

kπ x

+ ∑ ak

cos

+ bk sin

k =1

де коефіцієнти ak , bk :

l f (x) cos

kπ x

(k = 0,1, 2,K);

b =

f (x) sin

kπ x

(k = 1, 2,K).

(11.5)

l −∫l

Теорема Діріхле (достатня ознака розкладності функції в ряд Фур'є).

Якщо функція

f (x)

має період 2 і на відрізку

[− l,l] неперервна або має

скінченне число точок розриву 1-го роду і відрізок [− l,l]

можна розбити на

скінченне число відрізків так,

що

усередині

кожного з них f (x) є

монотонною, то ряд Фур'є функції f (x)

збігається

x ,

причому в точках

неперервності функції

f (x) сума ряду дорівнює

f (x), а у точках розриву

функції

f (x)

його

сума дорівнює

f (x − 0) + f (x + 0)

тобто

середньому

арифметичному граничних значень ліворуч і праворуч.

Крім того, ряд Фур'є функції f (x) збігається рівномірно на будь-якому

відрізку, що разом із своїми кінцями належить інтервалу неперервності функції f (x).

11.5.2.Ряди Фур'є для парних і непарних періодичних функцій

1) Нехай функція

f (x) є парною на відрізку [− l,l], тоді f (x) × cos

kπx

теж є парною; графік її симетричний щодо осі ординат, і тоді

kpx

∫

f (x) cos

dx (k = 0,1,2,K) .

Функція ж f (x) ×sin

kπx

буде непарною і

∫

f (x) sin

kpx

dx = 0.

−l

Звідси випливає, що парна функція розкладається в ряд Фур'є, складений з одних косинусів, при цьому

2			∞		l
			∑
f (x) =	a0	+		ak cos	kpx	на (− l,l ), f (x) –	парна,	(11.6)

k =1

- 165 -

		l		l
	l ∫
ak =	2		f (x) cos	kπx	dx (k = 0,1,2,K) .

0

2) Аналогічно, якщо функція ряд по синусах:

		∞		kπx
f (x) = ∑bk sin				kπx	на (− l,l ), f (x)
f (x) = ∑bk sin					на (− l,l ), f (x)
		k =1		l
		k =1
	l	l		l
	l	∫		l
b =	2		f (x) sin	kπx	dx (k = 1,2,K) .
b =			f (x) sin		dx (k = 1,2,K) .
k
		0

f (x) є непарною, то вона розкладається в

– непарна,

(11.7)

Приклад. Розкласти в ряд Фур'є періодичну (T = 2π ) функцію, задану на проміжку (− π, π), як f (x) = x .

Розв’язання. Оскільки дана функція усередині відрізка є неперервною і монотонною, вона задовольняє умовам теореми Діріхле. Крім того, внаслідок

непарності коефіцієнти

ak = 0

( k = 0,1, 2,... ).

Складемо тригонометричний

ряд Фур'є, для чого обчислимо bk , вважаючи l = π :

u = xdu = dx

cos kx

bk =

x sin kxdx =

dv = sin kxdx

−

cos kxdx) =

π ∫

k ∫

cos kx

v = −

k +1

(−1)

− k cos kπ +

sin kx

оскільки cos kπ = (−1)k , sin kπ = 0.

Отже, на інтервалі (− π, π)

					sin 2x		sin 3x		k +1	sin kx
	=	sin x		−	sin 2x	+	sin 3x	− K +	(−1)	sin kx
x		2
x		2	1		2		3		k
	(− π;π)		1		2		3		k

Ця рівність правильна лише при − π < x < π .

+ K . (11.8)

Уточках сума ряду за теоремою Діріхле дорівнює , тобто

S( π ) = S( −π ) = S( ±3π ) = S( ±5π ) = K = 0 .

Усилу -періодичності суми S(x) ряду (11.5.9) графік цієї суми має вигляд, зображений на рис. 11.5.2.

- 166 -

x ≈

(−π;π)

		Y
			n = 1
			n = 2
		0		X
-3π	-π	π	2π 3π	5π
		-π
		Рис. 11.2

Обмежившись одним членом ряду (11.11), тобто при n = 1, одержимо

2 sin x = S1(x) ; при n = 2 знаходимо: x ≈ 2 sin x − sin 2x = S2 (x) ,

(−π;π)

що зображено на рис. 11.2.

Зауважимо, що сума S(x) є розривною функцією, хоча всі члени ряду неперервні (у точках розриву S(x) порушена рівномірна збіжність ряду).

Приклад. Розкласти в ряд Фур'є функцію y = cos x . Користуючись цим

∞	(− 1)k	∞
розкладанням, обчислити суми рядів ∑		і ∑		1	.

k =1	4k 2 − 1	k =1	4k	2 -1

	Y
		1
- π /2	0	π /2	π	X

Рис. 11.3

Розв’язання.

Функція – парна,

має період T = π ,

тоді l = π .

Функція

відрізку [- π

; π

] і

неперервна

на

задовольняє

умови

теореми

Діріхле.

Коефіцієнти bk

= 0 (k = 1, 2,K),

∫

ak =

cos x × cos

kpx

cos x × cos 2kxdx =

sin(2k +1)

sin(2k -1)

∫cos(2k -1)xdx + ∫cos(2k +1)xdx

2k -1

2k +1

- sin(p

2 - kp)

sin(p2 + kp)

- 2

(-1)k +1

(-1)

2k -1

2k +1

-1

(k = 1, 2,...).

- 167 -

π ∫

Знайдемо: a0 =

cos xdx =

, виходить:

4 ∞

(− 1)k +1

cos x

∑

cos 2kx .

[− π 2 ;π

2]π

π k =1

4k 2 − 1

∞

(−1)k

Вважаючи x = π , знайдемо: 0 =

∑

(−1)k +1

; звідси маємо:

−1

4k 2

∞

k =1

∑ 2

k =1 4k −1

∞

(−1)k +1

∞

(−1)k +1

π − 2

При x = 0 одержимо: 1 =

∑

, звідки: ∑

π π k =1

4k 2 −1

k =1

4k 2 −1

Приклад. Розкласти в ряд Фур'є періодичну (T = 2π ) функцію, задану

на відрізку [− π, π] як

− x

при − π ≤ x ≤ 0,

f (x) = x 2

0 < x ≤ π.

при

3 π

Рис. 11.4

Розв’язання. Обчислимо коефіцієнти Фур'є:

(− x)dx +

∫

f (x)dx =

∫

∫ x 2dx =

π,

− π

π ∫

∫

π ∫

f (x) cos kxdx =

−

x cos kxdx +

2 cos kxdx

− π

- 168 -

u = xdu = dx

Маємо: ∫ x cos kxdx =

dv = cos kxdx

−

∫sin kxdx =

sin kx

−π

v =

sin kx

−π

cos kx

− (−1)k + 1

;

k 2

− π

k 2

u = x2 du = 2xdx

∫ x2 cos kxdx =

dv = cos kxdx

sin kx

−

∫ x sin kxdx =

v =

sin kx

u = xdu = dx

dv = sin kxdx

= −

− x

cos kx

∫

cos kxdx

cos kx

v = −

2π

− (−1) π

= −

sin kx

(−1) .

(−1)k

−1

3(−1)k −1

Виходить: a

(−1)k

πk

Аналогічно:

b =

∫

f (x) sin kxdx =

−

∫

x sin kxdx +

∫

x 2 sin kxdx =

2((−1)k −1),

π2k 3

− π

якщо k парне

тобто bk

−

якщо k

непарне.

π2 k 3

Отже, розкладання функції в ряд Фур'є має вигляд

∞

3(−1)

−1

f (x) =

π +

∑

cos kx −

sin(2k −

1)x .

πk

(2k −1)

k =1

11.5.3. Періодичне продовження і розкладання в ряд Фур'є неперіодичної функції

Нехай неперіодична функція f (x), графік якої наведено на рис. 11.5 суцільною лінією, цікавить нас лише на інтервалі (a,b).

- 169 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вища математика

#
12.02.20161.03 Mб61B.M..pdf
#
12.02.20161.29 Mб53В.М.-iнтеграли.pdf