Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика / В.М.-iнтеграли

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

∞

Приклад. Ряд ∑ 1 збігається за першою ознакою n =1 (n + 3)(n + 5)

∞

порівняння, тому що

і ряд

∑

збігається ( p = 2 > 1) .

(n + 3)(n + 5)

n=1 n

∞

+ 2

n + 2

Приклад. Ряд ∑

збігається, бо взявши an

, bn

, за

+ 1)

3(n

+1)

n =1 3(n

граничною ознакою порівняння здобудемо lim

(n + 2)n3

3(n4 + 1)

n→∞

Відзначимо, що у всіх трьох прикладах виконується необхідна ознака

збіжності ряду.

∞

arctg n3

−1

Приклад. Дослідити збіжність ряду ∑

n = 2

n2 + n

Розв’язання.

Загальний член ряду an =

arctg n3 −1

> 0 . Очевидно, що

n2 + n

an при n → ∞ є

нескінченно

малою

того

порядку,

що

Дійсно,

lim

arctg

n3 − 1

тоді за ознакою порівняння випливає розбіжність

n→∞

n2 + n

∞

даного ряду, оскільки ряд ∑

розбігається.

∞

n=1 n

Приклад. ∑

ln n

n =1

∞

Розв’язання. Ряд ∑

збігається, бо

p =

> 1. Оскільки при будь-

n =1

4 n5

ln n < nε ,

якому

додатному

та

n → ∞

справедлива

нерівність

маємо:

ln n

nε

. Виберемо

ε з проміжку

0 < ε <

наприклад ε =

n5 4

5 4−ε

4 n5

∞

ln n

∞

− ε > 1, тоді ряд ∑

збігається, тому що ряд ∑

збігається.

5 4−ε

4 n5

n =1

n=1 n

- 150 -

∞

Для порівняння можна, наприклад, вибрати ряд ∑

= ∑

5 4−1 5

n=1 n

n=1

∞

+ 1

Приклад. ∑

n = 2

n −1

n + 1

Розв’язання. an =

ln 1 +

n(n − 1)

n − 1

n −1 n

→∞

∞

Оскільки

і ряд

збігається, то первинний ряд

∑

n(n − 1) n →∞

3 2

n=1 n

теж збігається.

11.2.2. Ознака Даламбера

Нехай для знакосталого ряду існує границя частки

lim

an +1

= L ,

n →∞ an

тоді: при

L < 1 ряд збігається;

при

L > 1 ряд розбігається; при

L = 1 ознака

Даламбера непридатна.

На практиці ознаку Даламбера доцільно застосовувати до рядів, члени

яких містять факторіали, показникові функції.

Зауваження. Якщо розбіжність ряду доведена за ознакою Даламбера,

то lim an ¹ 0. Це ж стосується і радикальної ознаки Коші.

→∞

Приклади. Дослідити збіжність рядів.

∞

n + 3

Приклад. ∑

n =1

2n (n −1)

n + 3

n + 4

an +1

an =

, an +1 =

Розв’язання. Обчислимо

lim

;

n→∞

(n −1)

2n +1 n

an+1

(n + 4)2n (n −1)

(n + 4)(n −1) ~ n2

lim

= lim

lim

= L < 1.

n(n + 3) ~ n2

n→∞ an

n→∞ 2n+1n(n + 3)

2 n→∞ n2

Оскільки L < 1 , то відповідно до ознаки Даламбера ряд збігається.

∞

Приклад. ∑

n =1

(n + 1)n +1

an +1

an =

; an +1 =

Розв’язання. Обчислимо

lim

;

(n + 1)!

n→∞

- 151 -

n +1

(n +1)n +1 n!

n +1

1 n

lim

= lim

lim

lim 1

= e > 1,

(n +1)!nn

n→∞ an

n→∞

ряд розбігається.

11.2.3. Радикальна ознака Коші

		∞
Нехай для ряду ∑an з додатними членами існує
		n=1
lim n		= L ,
lim n	an	= L ,
n →∞		L < 1 ряд збігається; при L > 1 ряд розбігається; при L = 1 ознака
тоді: при
непридатна.
		∞	2n		2	+1	n
			2n			+1
Приклад. Дослідити збіжність ряду ∑			3n	2		+ 5	.
		n =1	3n			+ 5

Розв’язання. Достатня ознака:

2 +1 n

lim

< 1.

n→∞

n→∞ 3n

+ 5

n →∞ 3 + 5 n

+ 5

За радикальною ознакою Коші ряд збігається. Перевірку необхідної ознаки збіжності в даному випадку можна було б і не робити.

Приклад. Довести: lim (nn) = 0 .

n→∞ 2n !

Розв’язання. Розглянемо ряд із загальним членом an = (nn) . Довівши

2n !

його збіжність, внаслідок необхідної ознаки збіжності ряду одержимо дану рівність. Дійсно, за ознакою Даламбера ряд збігається, тому що

n +1

an +1

(n +1)n +1 (2n)! = lim

(n +1)

(2n)!

lim

= lim

= 0 < 1,

n→∞ an

→∞ (2(n +1))! nn

n→∞ (2n)!(2n +1)(2n + 2)

lim

lim 1 +

= e .

n→∞

∞

3 ×5 × 7 ×...× (2n +1)

Приклад. Дослідити збіжність ряду ∑

2 ×5 ×8 ×...× (3n -1)

n =1

Розв’язання. За ознакою Даламбера

lim

an +1

lim

3 ×5 × 7 ×...× (2n +1)(2n + 3)

2 ×5 ×8 ×...× (3n -1)

lim

(2n + 3)

< 1

2 ×5 ×8 ×...× (3n + 2)

n→∞ an

n→∞

3 ×5 × 7 ×... × (2n +1)

n→∞ (3n + 2)

ряд збігається.

- 152 -

11.2.4. Інтегральна ознака збіжності Коші

Якщо

f ( x)

неперервною,

монотонно

спадною, невід¢ємною на

∞

+∞

проміжку [1;+ ∞)

функцією, то ряд ∑ f (n)

і невласний інтеграл ∫ f (x)dx

n=1

збігаються або розбігаються одночасно.

∞

Приклад. Дослідити збіжність ряду ∑

n = 2 n(ln n)2

Розв’язання. Покладемо

f (x) =

Функція f (x)

неперервна при

x(ln x)2

x ³ 2 , спадає зі зростанням x ,

f (x) > 0 "x Î[2;+ ¥).

Перевіримо існування невласного інтеграла від цієї функції. За

визначенням

+∞

∫

d (ln x)

lim

= lim

lim

x(ln x)

A→+∞

2 x(ln x)

A→+∞

(ln x)

A→+∞

ln x

lim

ln 2

A→+∞

ln A

ln 2

Отже, невласний інтеграл збігається, звідси випливає збіжність ряду.

∞

Приклад. Дослідити збіжність ряду ∑

( p > 0) .

n =1 n

Розв’язання.

умови

виходить

f (x) =

> 0 (x ³ 1)

–

монотонно

x p

спадна функція. Розглянемо невласний інтеграл ( p ¹ 0) :

∞

x − p +1

, p

> 1

lim

p -1

∫ x p

A→+∞ ∫ x p

A→+∞ 1 - p

∞

¥, p < 1.

При p = 1 маємо ∫

lim

∫

lim ln x

1A = ¥ .

∞

A→+∞

збігається при

p > 1

Отже, ряд

∑ n p

p £ 1.

розбігається при

n =1

∞

Приклад. Дослідити збіжність ряду ∑

(n + 2)ln 2 (2n + 3)

n = 2

- 153 -

Розв’язання. Загальний член рядуan =

> 0 .

(n + 2)ln 2

(2n + 3)

∞

Розглянемо ряд ∑

. За інтегральною ознакою збіжності

(2n + 3)ln 2 (2n + 3)

n =

Коші ряд збігається, тому що невласний інтеграл

∞

− 1

∫

d ln(2x + 3)

lim

(2x + 3)ln 2 (2x + 3)

2 A→∞ ∫ ln 2 (2x + 3)

2 A→∞ ln(2x + 3)

2 ln 7

збігається.

Застосовуючи граничну ознаку порівняння, знаходимо:

lim (2n + 3)ln 2 (2n + 3) = 2 . Звідси випливає збіжність досліджуваного ряду. n→∞ (n + 2)ln 2 (2n + 3)

11.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна й умовна збіжність

Знакозмінним називається ряд, членами якого є дійсні числа довільного знака, наприклад,

1		1			1			1			1			1			1			n(n −1)	1
1	−	1		−	1		+	1		+	1		−	1		−	1		+ ... + (−1)	2	1			+ ...
																				2
2		2	2		3	2		4	2		5	2		6	2		7	2				n	2
1		2			3			4			5			6			7					n

Знакозмінний ряд називається знакопереміжним, якщо будь-які два його сусідніх члени мають різні знаки, тобто ряд типу

∞

∑(−1)n +1an = a1 − a2 + a3 − a4 + ... + (−1)n +1 an + .., an > 0. n =1

Теорема Лейбніця. Якщо елементи {an }∞n =1 знакопереміжного ряду

∞
∑(− 1)n an утворюють монотонно спадну послідовність, що наближається
n =1		an > an +1, n N і		an = 0 , то ряд збігається,
до нуля, тобто	якщо	an > an +1, n N і	lim	an = 0 , то ряд збігається,
			n →∞
причому його сума додатна і менша ніж перший член ряду: 0 < S < a1 .
Висновок.	Для	знакопереміжного	ряду,	що задовольняє ознаку

збіжності Лейбніця, залишок rn за абсолютним значенням менше модуля

першого свого члена, тобто

< an +1, де

r = (−1)n + 2 a

n +1

+ (−1)n +3 a

n + 2

+ ...

∞

Теорема.

Якщо ряд

∑

збігається, то знакозмінний ряд ∑an

n =1

n=1

збігається.

- 154 -

∞

Знакозмінний ряд ∑an називається абсолютно збіжним,

якщо ряд

∞

n=1

∞

∑

збігається,

та умовно збіжним,

якщо ряд ∑an

збігається,

а ряд

n =1

n=1

∞

∑

розбігається.

n =1

∞

Приклад. Дослідити збіжність ряду. ∑(−1)n +1

+ 4

n =1

n + 1

Розв’язання. Загальний член ряду

an =

an +1 =

За

n2 + 4

(n + 1)2 + 4

ознакою Лейбніця маємо:

n + 1

= 0 .

(перевірити самостійно); 2) lim

2 + 4

n2 + 4 (n + 1)2 + 4

n→∞ n

Виходить, ряд збігається.

∞

Складемо ряд з модулів

членів даного ряду:

∑

Необхідна

2 + 4

n=1

∞

умова збіжності ряду виконується. Порівняємо ряд з розбіжним рядом ∑

n=1 n

тоді за

ознакою

порівняння

lim

+ 4

lim

= 1,

тобто

ряд

+ 4

n →∞

n →∞ n

абсолютних значень розбігається. Виходить, первинний ряд збігається умовно.

				∞
	Приклад. Дослідити збіжність ряду ∑(−1)n +1					n	.
	Приклад. Дослідити збіжність ряду ∑(−1)n +1						.
				n =1		5n
							∞
	Розв’язання. Ряд збігається абсолютно,				оскільки ряд ∑			n	збігається,
	Розв’язання. Ряд збігається абсолютно,				оскільки ряд ∑			n	збігається,
							n=1	5
що можна перевірити, користуючись ознакою Даламбера.
∞	Приклад.	Дослідити на абсолютну			й умовну збіжність ряд:
∞		1
		1
∑(−1)n 1 − cos				.


n =1			n
n =1

- 155 -

∞

Розв’язання. Ряд ∑(-1)n 1 - cos

= 2∑(-1)n sin 2

Оскільки

n =1

lim

sin 2

= 0 , то первинний ряд збігається. Ряд, складений з абсолютних

n→∞

величин,

поводиться так само,

як

ряд

із

загальним

членом

оскільки

1 - cos

Тому

він

розбігається.

Таким

чином,

ряд

∞

n→∞

∑(-1)n 1 - cos

збігається умовно.

n =1

∞

Приклад. Дослідити ряд ∑(-1)n arctg

×sin

n =1

∞

Розв’язання. Оскільки arctg

× sin

то ∑arctg

× sin

n →∞

n =1

∞

збігається, звідки випливає абсолютна збіжність ряду ∑(-1)n arctg

×sin

n =1

∞

2n +1

Приклад. Дослідити ряд ∑(-1)n

n =1

7n + 3

Розв’язання. Ряд розбігається, тому що не виконується необхідна умова

збіжності ряду:

lim

= lim

2n + 1

¹ 0 .

n→∞

n→∞ 7n + 3 7

∞

(-1)n

Приклад. Дослідити ряд ∑

n ln(3n)

n = 4

Розв’язання. Досліджуємо на абсолютну збіжність, тобто розглянемо

∞

= 0*

ряд

;

За інтегральною ознакою Коші

∑ n ln(3n)

n ln(3n)

n→∞

3n ln(3n)

n = 4

∞

ряд

∑

(а отже, і ряд

∑

)

розбігається, тому що інтеграл

3n ln(3n)

n ln(3n)

∞

n = 4

∞

n = 4

∫

d (ln 3x)

ln (ln 3x)

∞4 = ∞ ,

тобто

розбігається.

Абсолютної

4 3x ln (3x)

4 ln (3x)

збіжності немає.

Ряд збігається умовно за теоремою Лейбніця, оскільки:

- 156 -

1		>	1	1	= 0 .
1)				, 2) lim
	n ln(3n)		(n + 1)ln 3(n + 1)
				n→∞ n ln(3n)

11.4. Функціональні ряди

Ряд, членами якого є функції змінної х, називається функціональним рядом

u1(x) + u2 (x) + ... + un (x) + ...

∞

Множина значень змінної x , при яких ряд ∑un (x) збігається, називається

n =1

областю збіжності функціонального ряду. В області збіжності ряду його

сума	є функцією x :	S = S (x) . Для збіжного			функціонального		ряду
lim	r (x) = 0 .
n→∞ n
	Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на відрізку [a,b] ,
якщо	для будь-якого	як завгодно малого ε > 0			існує таке N (ε),		що
n > N , x [a,b]справедливою є нерівність			rn (x)	=	S (x) − Sn (x)	< ε .
n > N , x [a,b]справедливою є нерівність			rn (x)	=	S (x) − Sn (x)	< ε .

Теорема Вейєрштрасса (достатня ознака рівномірної збіжності функціонального ряду). Якщо члени функціонального ряду

u1(x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... за абсолютним значенням не перевищують відповідних членів збіжного числового ряду з додатними членами x [a,b], то функціональний ряд збігається абсолютно і рівномірно на відрізку [a,b].

∞

Інакше кажучи, якщо числовий ряд ∑an , an > 0 збігається, і un (x) ≤ an ,

n=1

∞

x [a, b] , то ряд ∑ un (x) збігається, причому рівномірно, на відрізку [a,b].

n =1

∞

Приклад. Знайти область збіжності функціонального ряду ∑sin nx .

n =1 n2

Розв’язання. Ряд збігається рівномірно для всіх дійсних

x , оскільки

sin nx

∞

≤

, а числовий ряд ∑

( p = 2 > 1)

збігається.

n=1 n

11.4.1.

Степеневі ряди

Степеневим рядом називається ряд типу

∞

a0 + a1(x − a) + ... + an (x − a)n + ... = ∑an (x − a)n ,

(11.1)

n =0

- 157 -

ai = const, a = const . Зокрема, якщо a = 0 , то маємо ряд

∞

a0 + a1x + ... + an x n + ... = ∑an x n .

(11.2)

n =0

Ряд (11.1) приводиться до ряду (11.2) заміною x − a = y .

Теорема Абеля. 1) Якщо степеневий ряд (11.2) збігається при деякому

значенні x = x0 ¹ 0 , то він збігається, і, причому абсолютно,

при всіх

значеннях x , що задовольняють умову

x = x1 , то

2) Якщо степеневий ряд розбігається при деякому значенні

він розбігається і при всіх значеннях x таких, що

Звідси випливає існування інтервалу

збіжності степеневого

ряду

(−R;R) . Іншими словами, ряд збігається при

< R , розбігається при

> R .

У точках x = ±R потрібне додаткове дослідження для кожного конкретного ряду. Інтервал збіжності може вироджуватися в точку R = 0 або співпадати з

усією віссю Ох: R = ∞ .			Радіус збіжності степеневого ряду знаходять за
формулою R = lim		an	або R =		1		.


n →∞	an +1			lim	n	an
				n→∞

Основні властивості степеневих рядів.

1. Усередині інтервалу збіжності сума степеневого ряду неперервна.

2. Степеневий ряд можна почленно інтегрувати і диференціювати будьяке число разів усередині інтервалу збіжності. При цьому радіус збіжності отриманих степеневих рядів не змінюється.

∞

− 1)2n

Приклад. Знайти область збіжності ряду ∑

n =1

(n + 2)3n

Розв’язання. Скористаємося ознакою Даламбера:

lim

un +1(x)

= lim

(x −1)2(n +1) (n + 2)3n

(x −1)2

un (x)

(n + 3)3n +1(x −1)2n

n→∞

(x −1)2

При

< 1 ряд збігається, тобто при −

3 + 1 < x < 1 +

3 ряд збігається.

Перевіримо збіжність

ряду

на

кінцях

інтервалу

збіжності.

При

∞

(± 3)

x = ±

+ 1

∑

= ∑

маємо

ряд

. Розбіжність

ряду

n =1 (n + 2)3n

n =1 n + 2

∞

перевіряється

порівнянням з

гармонічним

рядом

∑

Таким чином,

інтервал збіжності: x (−

+1;1+

n =1 n

3) .

- 158 -

∞

(nx)n .

Приклад. Знайти область збіжності ряду ∑

n =1

(n + 1)n +1

Розв’язання. Для цього ряду an =

, an +1 =

(n + 1)!

Радіус збіжності ряду

(n + 1)!

R =

= lim

lim

(n + 1)n +1

n→∞ an +1

n→∞ n!

n→∞

1 +

при

ряд збігається. Досліджуємо збіжність ряду в точках x = ±

∞

nn (−1)n

При x = −

одержимо числовий ряд

∑

n =1

n!e

n n

При великих n за формулою Стірлінга n!≈

2πn . Розглянемо ряд

∞

nn (−1)n

∑

= ∑

(−1)n

. За

теоремою Лейбніця

цей ряд збігається.

n =1

2πn

2πnen

Оскільки збіжність ряду визначається поведінкою його загального члена при

достатньо великих n , звідси випливає, що при x = − 1 досліджуваний ряд e

збігається.

∞

При

x =

числовий

ряд ∑

nn (−1)n

розбігається,

оскільки

n =1 n!e

∞

∑

= ∑

розбігається: ∑

p =

n =1

n n

n =1

2πn

n =1

2πn

n→∞

2πnen

	1 1
Отже, область збіжності: −		;	.

	e e

ряд

< 1.

∞	n2 + 1
Приклад. Знайти область збіжності ряду ∑		.

n =1	5n (x + 3)n

- 159 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вища математика

#
12.02.20161.03 Mб61B.M..pdf
#
12.02.20161.29 Mб53В.М.-iнтеграли.pdf