Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика / В.М.-iнтеграли

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Наприклад,

	π 2		5! !	π =	5 ×3 ×1	π =	5π
I6	= ∫	sin6 xdx =						.

	0	6! ! 2 6 ×4 × 2 2 32

7.3. Геометричні застосування визначених інтегралів

Обчислення площ, об'ємів, довжин дуг

Якщо	криволінійна		трапеція обмежена	кривою	y = f (x), прямими:
x = a , x = b, (a<b) y = 0 і			f (x) ³ 0 , то її площа
	S = b∫ f (x)dx				(7.3.1).
	a
Якщо	f1 ( x ) £ f2 ( x ),		то площа, обмежена цими кривими й прямими
			b
x = a й x = b дорівнює S = ∫( f2 ( x ) - f1 ( x ))dx .
			a
Об'єм тіла обертання, отриманого при обертанні криволінійної трапеції,
обмеженою зверху кривою y = f (x) і прямими x = a ,					x = b , y = 0	навколо
осі ОХ, знаходиться за формулою.
	b				b
Vox = π ∫ y 2 dx , при обертанні навколо осі ОУ: Voy = 2π ∫ xydx .
	a				a
Об'єм	тіла, отриманого при обертанні			фігури,	обмеженої	лініями
y = y2 (x) й y = y1 (x)		(y1 £ y2 ), дорівнює
Vox = π b∫ (y22 - y12 )dx,		Voy	= 2π b∫ x(y2 - y1 )dx.
a			a

Довжина дуги кривої у декартових координатах:

L = ∫ 1 + (y¢)2 dx (a<b).

Випадок параметричного задання кривої.

Якщо крива задана параметричними рівняннями

x = x(t)

= (α ≤ t ≤ β ) ,y y(t)

причому точці А відповідає

значення параметра t=α, точці В – значення

t=β.

Коли t змінюється від α до β, то точка описує криву АВ (рис. 7.3).

При цьому a = x(α ) , b = x(β ) , де а й b – абсциси точок А и В. Виконуючи заміну

Рис. 7.3

- 100 -

змінної в інтегралі (7.2.1), одержимо S = ∫ y(t)x′(t)dt – площа у випадку

параметричного задання кривої.

Довжина дуги АВ, заданої параметричними рівняннями:

L = ∫ xt′2 + yt′2 dt (α < β ) .

Площа в полярних координатах.

Якщо крива задана рівнянням у полярних координатах ρ = ρ (ϕ ) , то площа криволінійного сектора АОВ (рис. 7.4 ), обмеженого

дугою кривої і двома полярними радіусами ОА й ОВ, відповідним значенням

кута α і β (α < β ) , виразиться інтегралом S = 1 ∫ ρ 2 (ϕ)dϕ .

2 α

Довжина дуги АВ у полярних координатах:

L = ∫ ρ 2 (ϕ) + ρ ′2 (ϕ)dϕ

α
	B
	ρ=ρ(ϕ)
β	A
β
α		ρ
0
рис.7.4			Рис.7.5
Приклад 1.		Знайти площі двох фігур, обмежених параболою y 2 = 2x й
колом y 2	= 4x − x 2	(Рис.7.5).
Розв’ язання. Знайдемо			центр і радіус кола, виділивши повний
квадрат:	x 2 − 4x + y 2	= 0 , (x − 2)2	+ y 2 = 22 .

Отже, центр кола має координати (2;0), R = 2 .

Знайдемо точки перетину кривих розв’зуючи систему рівнянь

y 2	= 4x − x 2 ,

	= 2x.
y 2	= 2x.

Тоді 0(0;0), А(2;-2), В(2;2) – точки перетину.

Площа заштрихованої частини дорівнює

2				2				2
2				2				2
S = 2∫ ( 4x − x
	2	−		∫	4x − x	2	dx −	2 ∫
		−	2x )= 2	∫	4x − x		dx −	2 ∫	xdx
0				0				0

Перший інтеграл у правій частині рівності дорівнює 1 площі круга, тобто π ,

												4

			2 2		3	2			8
виходить,	S = 2	π −		x	2	\|	= 2	π −		.
виходить,	S = 2	π −		x	2	\|	= 2	π −		.
			3			0			3
			3						3
											2			8			8
Площа незаштрихованої частини дорівнюєS1 = πR												− S = 4π − 2	π −		= 2	π +		.
Площа незаштрихованої частини дорівнюєS1 = πR												− S = 4π − 2	π −		= 2	π +		.
														3			3
									- 101 -

Приклад2. Обчислити площу кардіоїди ρ = a(1 + cosϕ) .

Тому що крива симетрична щодо полярної осі, обчислимо площу верхньої половини, при цьому кут ϕ змінюється від 0 до π ( Рис.7.6).

Застосуємо формулу: S = 1 ∫ ρ 2 (ϕ)dϕ .

2 α

Площа дорівнює S = 2 × 1 ∫ a2 (1+ cosϕ )2 dϕ =

2 0

		π					3			sin 2ϕ	π		3
		π
= a	2	∫ (1	+ 2 cosϕ + cos	2	ϕ)dϕ = a	2		ϕ + 2sin	ϕ +			=		π a	2	.


		0					2			4	0		2
		0					2			4	0		2

Приклад 3. Знайти довжину астроїди: x 2 3 + y 2 3 = a 23 .

I спосіб l = ∫ 1 + ( y¢x )2 dx .

Рис.7.6					Рис.7.7
Диференціюючи рівняння астроїди, одержимо	2	x − 13	+	2	y	− 13 y¢	= 0 y¢	=	- y	13
									1
3			3			x	x
									x 3

Крива симетрична щодо обох координатних осей, тому обчислюємо довжину дуги однієї чверті астроїди (Рис.7.7):

y 3

a 3

3 x 3

|0a =

l = ∫ 1 +

dx = ∫

dx =

l = 6a .

4 0

x 3

0 x 3

II спосіб. Використаємо параметричні рівняння астроїди

x = a cos

(0 ≤ y ≤ 2π )

y = a sin

Для чверті довжини астроїди, параметр t змінюється від t=0 до t = π .

Використаємо формулу

l = ∫ xt¢2 + yt¢2 dt . Знаходимо xt¢2 + yt¢2 = (3a cos2 t (-sin t ))2 + (3a sin2 t cos t)2 =

= 9a2 (cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t) = 9a 2 cos2 t sin2 t(cos2 t + sin2 t) = 9a 2 cos2 t sin2 t

		π		π
1		2		2
1	l = 3a	∫	cos2 t sin2 tdt = 3a ∫ cos t sin tdt
4	l = 3a	∫	cos2 t sin2 tdt = 3a ∫ cos t sin tdt
4		0	0
		0	0

=3a l = 6a .

π		π			2 π
2	sin 2 t	π	3a		2 π		2
= 3a ∫sin td (sin t) = 3a		\|02 =		sin		- sin		0	=
= 3a ∫sin td (sin t) = 3a	2	\|02 =		sin	2	- sin		0	=
0	2		2		2
- 102 -

Приклад4. Обчислити площу, обмежену віссю абсцис й однією аркою циклоїди

x = a(t - sin t)

0 ≤ t ≤ 2π

= a(1 - cos t)

Використаємо формулу:

S = ∫ y(t)x¢(t)dt .

2π

(1 - cos t)

dt = a

t)dt =

Знаходимо x (t) = a(1 − cos t) , тоді S = ∫ a

∫ (1 - 2 cos t + cos

′

2π

1 + cos 2t

sin 2t 2π

∫ 1

- 2 cos t +

= a

t - 2 sin t

2π - 2 sin 2π +

sin 4π

= 3π a

Приклад5. Обчислити об'єм кулі радіуса R з центром на початку координат.


Кулю одержимо обертанням навколо осі ОХ півкола y =																			R 2 - x 2 .
R		2		2	R	2		2		2		x3		R		3		R3			4	3	3
Vox = π ∫	(R		- x		)dx = 2π ∫ (R		- x		)dx = 2π R		x -		\|0		= 2π R		-			=		π R	(од	) .

−R					0							3						3			3

- 103 -

Розділ 8

НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

8.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (I роду) і їх обчислення

8.1.1. Основні поняття

Нехай функція f(x) визначена на нескінченному проміжку

a, +∞ ) й

інтегровна в будь-якій скінченній його частині [a, A] (A ³ a), тоді, якщо

існує lim ∫ f ( x) dx , то цю межу називають невласним інтегралом I роду або

A→+∞

інтегралом

позначають

по		нескінченному проміжку			a, +∞ ) від функції f ( x) й
+∞			+∞
+∞	f	( x) dx . Таким чином,	+∞	f ( x) dx = lim A		f ( x) dx .
∫			∫		A→+∞ ∫
a			a		a

У тому випадку, якщо межа існує й скінченна, невласний інтеграл збігається. Якщо ж межа нескінченна або взагалі не існує, то невласний інтеграл не існує або розбігається.

Аналогічно вводиться поняття інтеграла по нескінченному проміжку

(

]

(

)

(

)

−∞, a

, тобто

∫

B→−∞ ∫

dx .

dx = lim

−∞

Невласний

інтеграл з

обома нескінченними межами визначається

+∞

рівністю ∫ f

( x) dx = ∫

f ( x) dx + ∫

( x) dx , де a – будь-яке число. При цьому

−∞

передбачається існування обoих інтегралів, що стоять праворуч.

	8.1.2. Геометричний зміст невласного інтеграла
у			Якщо	f ( x) ³ 0	й	неперервна
						A
	у=f(x)		x [a, A] , то визначений інтеграл ∫ f ( x) dx
						a
			геометрично	є площа	криволінійної
0		х	трапеції, обмеженої			y = f ( x)
	a	A	віссю	ОХ, кривою		y = f ( x)	і
			прямими x=a , x=А.
	Рис. 8.1
При	зростанні	A( A ® +¥)	пряма x=A переміщається		вправо. Якщо
		+∞
невласний	інтеграл	∫ f ( x) dx збігається, то його		величину	приймають		за
		a
площу нескінченної		криволінійної трапеції (Рис. 8.1).

Приклад 1.

- 104 -

+∞		A		A		= lim	(sin A − sin 0) = lim sin A. Інтеграл
∫ cos xdx = lim		∫ cos xdx =	lim sin x			= lim	(sin A − sin 0) = lim sin A. Інтеграл
0	A→+∞	0	A→+∞		0	A→+∞	A→+∞

розбігається, тому що lim sin A не існує.

A→+∞

Приклад 2.

+∞

Розглянемо ∫ dx (a > 0) . Дослідимо, при яких значеннях інтеграл збігається.

a x p

а) p=1. За означенням знаходимо

+∞ dx

A dx

(ln A − ln a) = +∞ , інтеграл розбігається.

∫a

= lim

= lim ln x

= lim

A→+∞ ∫a

A→+∞

+∞ dx

б) p<1

( A1− p − a1− p ) = +∞ ,

∫

= lim ∫ x− p dx = lim

x1− p

lim

A→+∞ a

A→+∞

− p

− p A→+∞

інтеграл розбігається.

в) p>1

+∞ dx

a1− p

При p>1 lim A1− p = 0 і тоді

, тобто збігається.

∫a

A→+∞

x p

p −1

+∞

a1− p

, p > 1,

Отже, невласний інтеграл ∫

збігається,

p −1

x p

розбігається.

+∞, p ≤ 1,

Геометрично це означає, що при p>1 функція

наближається до нуля

x p

при x → ∞ настільки швидко,

що площа нескінченної криволінійної трапеції

виявляється скінченною.

+∞

Приклад 3.

= − lim

(e− A − e0 ) = 1, збігається.

∫ e− x dx = lim

∫ e− x dx = − lim

e− x

A→+∞

8.1.3. Узагальнення формули Ньютона-Лейбниця

Нехай

f ( x) неперервна на [a, ∞)

функція, а F ( x) – первісна для f ( x) ,

тоді

+∞	f ( x) dx = lim	A
∫	A→+∞ ∫
a		a

f ( x) dx = lim F ( x)	aA = lim	(F ( A) − F (a)) = F (∞) − F (a ) = F ( x)	∞a ,
f ( x) dx = lim F ( x)	aA = lim	(F ( A) − F (a)) = F (∞) − F (a ) = F ( x)	∞a ,
A→+∞	A→+∞

тут F (∞) = lim F ( A) ; користуємося							для стислості умовним записом,
A→∞		∞
		∞	( x) dx = F ( x)		∞a	= F (∞) − F (a) .
опускаючи межу, тоді∫ f
опускаючи межу, тоді∫ f
	∞	a
	∞	dx		π			π	π
		dx		π			π	π
Приклад	4. ∫		= arctgx	1∞ = 2		−	4 =	4 .
Приклад		1+ x2				−
		1+ x2
	1

Для невласних інтегралів справедлива формула заміни змінної. Часто в результаті заміни змінної невласний інтеграл зводиться до визначеного.

Приклад 5.

- 105 -

+∞		dx				x = tgz					π		cos4 z			π	1+ cos 2z	1
						x = tgz					π					π
											2				2
∫							dz				= ∫				dz = ∫			dz =
	(		2	)	2	dx =	dz							2				dz =
	(		2	)									cos z				2	2
0	1+ x						cos	2	z		0		cos z		0		2	2
0	1+ x						cos	2	z		0				0
											∞		arctgxdx
		Приклад 6. I = ∫											arctgxdx			.
		Приклад 6. I = ∫											3 2			.
												(			)
										0			1+ x2

z +	sin 2z	π	=	π
		02		.
	4
				4

Покладаючи t=arctgx, знаходимо	dx	= dt , x=tgt,	1
	1+ x2
				1+ x2

інтегрування для змінної t: при x=0 маємо t=0; при x → ∞, t → π .

π 2		u = t dv = cos tdt	= (t sin t + cos t )	π 2		π
π 2
I = ∫	t cos tdt =				=		−1 .

		du = dt v = sin t		0		2
				0
0
0

= cos t . Межі

Одержимо

Збіжні невласні інтеграли мають всі основні властивості визначених інтегралів.

При розгляді невласного інтеграла, насамперед, необхідно встановити, чи буде він збіжним. Питання про збіжність може бути вирішено або безпосереднім обчисленням невласного інтеграла, або за допомогою спеціальних ознак збіжності.

Приклад 7. Дослідити збіжність інтеграла

∞

(ln x)− 12

d ln x

∫

= lim

∫

= lim

= −2 lim

−

= 2 .

x (ln x)

3 2

(ln x)

A→∞ e

A→∞

−

A→∞

ln A

ln e

Виходить, інтеграл збігається.

У багатьох задачах, пов'язаних з невласними інтегралами, досить тільки з'ясувати питання про збіжність інтегралів і не потрібно знаходити його значення. У цьому випадку, як правило, використовуються наступні ознаки збіжності.

8.1.4. Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду для невід’ємних функцій

Зауваження. Збіжність невласного інтеграла першого роду залежить від поведінки функції на нескінченності, тобто. якщо , те невласні інтеграли й збігаються або розбігаються одночасно.

Теорема 1. (ознака порівняння). Нехай при досить великих виконується нерівність 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x) . Тоді зі збіжності інтеграла випливає

	+∞	+∞
збіжність інтеграла	∫	f ( x) dx , а з розбіжності інтеграла ∫	f ( x) dx	випливає
	a	a
		+∞
розбіжність інтеграла ∫ g ( x) dx .
		a
Приклад 8.	У	теорії імовірностей важливу роль	грає	інтеграл

+∞

Пуассона ∫ e− x2 dx .

- 106 -

Невизначений інтеграл не береться в елементарних функціях. Порівняємо

+∞

цей інтеграл зі збіжним інтегралом ∫ e− x dx (приклад 3). При x ³ 1 маємо x2 ³ x ,

+∞

тоді e− x2

≤ e− x .

Виходить,

∫ e− x2 dx ≤ ∫ e− x dx .

Зі

збіжності

інтеграла

∫ e− x dx

+∞

випливає збіжність інтеграла

∫ e− x2 dx .

Теорема

(гранична

форма

ознаки

порівняння).

Якщо

f ( x)

+∞

існує lim

= λ (0 < λ < +∞) ,

то інтеграли

∫ f

( x) dx й ∫ g ( x) dx збігаються

x→+∞ g ( x)

або розбігаються одночасно.

+∞

Приклад 9. Дослідити на збіжність

∫

. Підінтегральна функція

1+ x

f ( x) =

при

x → ∞ є

нескінченно

малою

величиною порядку

1+ x2

+∞ dx

g ( x) =

( p

= 2 > 1)

Виберемо

Оскільки інтеграл

∫

збігається,

то

за

ознакою

порівняння

граничній

формі маємо

lim

x 1+ x

= lim

= 1.

x→+∞

x→+∞ 1

+ x2

+∞

Виходить, інтеграл ∫

збігається.

1+ x

8.1.5. Невласні інтеграли від знакозмінних функцій

Теорема (достатня ознака збіжності). Нехай функція f ( x)

визначена

+∞

f ( x) dx .

"x ³ a . Тоді, якщо ∫

f (x)

dx збігається, то збігається й інтеграл ∫

+∞

f ( x) dx

Невласний інтеграл

∫

називається абсолютно збіжним, якщо

+∞

f ( x) dx

збігається

∫

f (x)

dx .

Невласний

інтеграл

∫

називається

умовно

+∞

збіжним, якщо він збігається, а інтеграл ∫

f (x)

dx розбігається.

+∞ sin x

Приклад

10. Покажемо, що інтеграл

∫

збігається абсолютно.

+∞ dx

sin x

( p = 2 > 1)

Дійсно, оскільки

≤

а інтеграл ∫

збігається,

то в силу

ознаки порівняння вихідний інтеграл абсолютно збігається.

- 107 -

+∞	sin x
Приклад 11. Дослідити збіжність інтеграла ∫		dx . Ознаку

1	x

порівняння застосувати безпосередньо не можна. Для доказу збіжності інтеграла застосуємо метод інтегрування частинами.

+∞ sin x

u =

; du = −

+∞ cos x

∫

= −

cos x

1+∞ −

∫

dx = cos1−

∫

dx.

dx =

dv = sin xdx; v = − cos x

порівняння,

Застосовуючи

тепер

ознаку

одержимо

+∞

cos x

+∞ dx

( p = 2) . Інтеграл збігається.

∫

dx £ ∫

+∞

sin x

Отже,

збігається. Покажемо тепер, що інтеграл ∫

розбігається,

тобто вихідний інтеграл збігається умовно. Дійсно, число

<1 більше свого

sin x

sin2 x

квадрата, тобто

> α 2 , тоді

+∞

За ознакою порівняння досить довести розбіжність інтеграла

∫

sin

dx ;

+∞

(1- cos 2x) , а

1- cos 2x

cos 2x

sin2 x =

∫

dx =

∫

dx .

Збіжність

інтеграла

x 2

+∞

cos 2x

( p = 1)

∫

доводиться

інтегруванням

частинами,

інтеграл

∫

+∞

sin x

розбігається. Тому інтеграл ∫

dx також розбігається.

∞

Приклад 12. Дослідити збіжність інтеграла I = ∫

2 x ln ln x

Невласний інтеграл I роду

∞

ln x = t

∞

∫

= ∫

d ln x

= ∫

= e2 , t = ln e2

= 2

x lnln x

lnln x

lnt

e 2

x → ∞, t → ∞

Оскільки lnt < t при t ³ 2 , звідси слідує нерівність

. Досліджуваний

lnt

∞

інтеграл розбігається за ознакою порівняння, тому що ∫

розбігається.

Приклад 13. Дослідити збіжність інтеграла

+∞

arctg x

J = ∫

dx .

(1 + x 2 )3 2

- 108 -

Підінтегральна функція є нескінченно малою величиною порядку p = 3

	1		arctg x	=		1		∞ dx		(p = 3	> 1) збігається, звідси
відносно		:			0*		. Інтеграл	∫
			(1 + x2 )3 2
	x			x→∞	x3			1	x3

випливає збіжність досліджуваного інтеграла.

8.2. Невласні інтеграли другого роду - інтеграли від необмежених

функцій

8.2.1. Основні поняття
Нехай функція f ( x) визначена на півінтервалі				a, b) , інтегровна на відрізку
[a, b − ε ] , де		lim f ( x) = ∞ .
[a, b − ε ] , де	0 < ε < b − a й	lim f ( x) = ∞ .	Точка	b називається при цьому
		x→b−0		існує lim b−ε
особливою	точкою функції	f ( x) . Тоді,	якщо	існує lim b−ε	f ( x) dx , то його

ε →0 ∫ a

називають невласним інтегралом другого роду, позначають ∫ f ( x) dx

y=f(x)

0	x
a	b- ε b
	Рис.8.2

і говорять, що інтеграл збігається

b	f ( x) dx = lim b−ε		f ( x) dx .
∫	ε →0	∫
a		a
	Якщо	ж	границя дорівнює
нескінченності			або взагалі не

існує, то інтеграл розбігається. Якщо особливою точкою функції

f ( x)		є		точка		x=a,	то
b	f ( x) dx = lim			b	f ( x) dx .
∫		ε1	→0	∫
a				a+ε1

Якщо	C (a, b)	є особливою точкою функції f(x), то за властивістю
	b	C		b
адитивності ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f					( x) dx й
	a	a	C
b f ( x) dx = lim c−ε1		f (x)dx + lim		b	f ( x) dx .
∫	ε1 →0 ∫		ε2 →0	∫
a	a			c+ε2
					C		b
Якщо хоча б один з інтегралів ∫ f						( x) dx або	∫ f ( x) dx розбігається, то
					a		C
	b
невласний інтеграл ∫ f ( x) dx			також розбігається.

- 109 -

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вища математика

#
12.02.20161.03 Mб61B.M..pdf
#
12.02.20161.29 Mб53В.М.-iнтеграли.pdf