1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Багато задач економічного характеру зводяться до рішення систем лінійних рівнянь. Систему 1 виду

(1)

прийнято називати системою n лінійних рівнянь (СЛАР) алгебри з n невідомими. При цьому довільні числа a_ij (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, n) називаються коефіцієнтами системи (коефіцієнтами при невідомих), а числа b_i (i = 1, 2,…, n) – вільними членами. Така форма запису (1) лінійної системи алгебри називається нормальною. Рішенням СЛАР (1) називається сукупність чисел x_i (i = 1, 2,…, n), при підстановці яких в систему кожне з її рівнянь звертається в тотожність.

Систему (1) можна записати в матричній формі

A  X = B, (2)

де A – матриця коефіцієнтів при невідомих (матриця системи):

(3)

X – вектор - стовпець невідомих X = (x₁, x₂, …, x_n)^T:

(4)

B – вектор – стовпець вільних членів:

(5)

або B = (b₁, b₂,..., b_n)^T. Ціле число n називається розмірністю системи.

Система (2) може бути записана в розгорнутому вигляді

(6)

Система рівнянь (6) називається сумісною, якщо вона має хоч би одне рішення, і несумісною – в протилежному випадку. Сумісна система (6) називається визначеною, якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має більше одного рішення.

2. Рішення лінійних алгебраїчних систем

Методи рішення лінійних алгебраїчних систем прийнято ділити на два класи: прямі і ітераційні. Прямими називаються методи рішення СЛАР, які приводять до рішення за кінцеве число арифметичних операцій. У разі точної реалізації операцій рішення буде точним, тому і прямі методи іноді називають точними. Ітераційними методами називають такі методи, в яких точне рішення може бути отримане за рахунок реалізації дій, що багато разів повторюються (ітерацій). Ефективність способів рішення системи (6) багато в чому визначається властивостями матриці (3) A (розмірністю, симетричністю, наповненістю і т.д.). MS Excel має ряд можливостей для роботи з матрицями.

2.1. Табличні формули і операції з матрицями

Табличні формули або формули масиву – дуже могутній обчислювальний засіб Excel, що дозволяє працювати з блоками робочого листа як з окремими комірками. Табличні формули як результат повертають масив значень. Тому перед введенням такої формули необхідно виділити діапазон комірок, куди будуть поміщені результати. Потім набирається сама формула. Введення її у виділений діапазон комірок здійснюється натисненням комбінації клавіш Ctrl+Shift+Enter. Це принципово. Формула вводиться у всі комірки виділеного інтервалу. При активізації будь-якої комірки з інтервалу, що містить формулу масиву, в рядку формул відображається введена формула, узята у фігурні дужки. Саме фігурні дужки є ознакою табличної формули. Для виділення всього блоку, що містить табличну формулу, необхідно виділити одну з його комірок, після чого натиснути комбінацію клавіш Ctrl+/. Неможливо редагувати вміст тільки однієї комірки з інтервалу з табличною формулою. Змінити можна тільки весь блок цілком, для чого він і повинен бути заздалегідь виділений.

Наприклад, нехай необхідно скласти дві матриці розміру 33. Елементи першої матриці (9 елементів) розмістимо в інтервалі A1:C3, другої, – в діапазоні E1:G3. Під результат виділимо інтервал A5:C7. Після чого, не знімаючи виділення, введемо формулу =A1:C3+E1:G3, натиснувши комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter. У комірках інтервалу A5:C7 відобразиться результат – сума відповідних елементів матриць, а в рядку формул ми побачимо {=A1:C3+E1:G3}. Нехай замість додавання нам треба помножити першу матрицю на число 2. Для цього переміщаємося всередину інтервалу A5:C7, виділяємо його, натиснувши комбінацію Ctrl+/, вноситься до формули виправлення =A1:C3*2, вводимо її натисненням Ctrl+Shift+Enter. У інтервалі A5:C7 побачимо результат множення, а в рядку формул – табличну формулу {=A1:C3*2}.

До простих операцій з матрицями прийнято відносити наступні 2: додавання і віднімання матриць, множення і ділення матриці на число, перемножування матриць, транспонування, обчислення зворотної матриці. Множення (ділення) матриці на число, складання (віднімання) матриць в Excel реалізуються досить просто: за допомогою звичайних формул (поелементне складання або віднімання, множення або ділення на число), або з використанням табличних формул, як це було описано вищим. Для решти матричних операцій в Excel передбачені вбудовані функції з категорії «Арифметичні і тригонометричні функції» 3:

1) МОПРЕД(матриця) – обчислення визначника матриці

2) МОБР(матриця) – обчислення зворотної матриці

3) МУМНОЖ(матрица1;матрица2) – твір матриць

4) ТРАНСП(матриця) – транспонування матриці.

Перша з цих функцій як результат повертає число (визначник матриці), тому вводиться як звичайна формула (Enter). Останні три повертають блок комірок, тому повинні вводитися як табличні формули (Ctrl+Shift+Enter).