Lektsija_1-12_algebra

Ëåêöiÿ 8. Площина в просторi

Будь-який ненульовий вектор простору, що перпендикулярний до задано¨ площини назива¹ться ¨¨ нормальним вектором (вектором нормалi).

Площина в просторi однозначно визнача¹ться точкою i нормальним вектором.

загальне рiвняння площини в просторi.

Теорема 8.1. Кожне рiвняння вигляду (8.2), де a, b, c, q довiльнi числа (a2 + b2 + c2 ≠ 0),

визнача¹ площину. I навпаки, кожна площина може бути записана рiвнянням даного вигляду.

Позначимо площину α i розглянемо частковi випадки:

Нехай задано рiвняння двох площин:

α1 : a1x + b1y + c1z + q1 = 0,

α2 : a2x + b2y + c2z + q2 = 0.

Припустимо, що цi площини перетинаються пiд кутом φ. Оскiльки, кут мiж площи-

íàìè α1 i α2 дорiвню¹ кутовi (або доповню¹ його до 1800) мiж ¨х нормальними векторами i φ [0; 90◦], то його можна знайти за формулою

вiд площини будемо позначати δ i δ = ±d в залежностi, чи точка знаходиться по рiзнi боки з початком координат вiдносно площини, чи по один.

21

(çíàê ± в залежностi чи вектори одинаково напрямленi, чи протилежно напрямленi). Отже,

при цьому знак вибира¹ться протилежний до знаку вiльного члена q. Òîäi qµ ≤ 0, а вiдстань до початку координат p = −qµ ≥ 0.

Тодi формула (8.4) для обчислення вiдхилення точки вiд площини набере вигляду:

Îñêiëüêè d = |δ|, то вiдстань вiд точки до площини можна обчислити за формулою

Два вектори, якi неколiнеарнi мiж собою та паралельнi до задано¨ площини або ¨й належать називаються напрямними векторами цi¹¨ площини.

Площину в просторi можна однозначно визначити точкою i двома напрямними векторами.

22

Ëåêöiÿ 9. Пряма в просторi

Двi непаралельнi площини в перетинi завжди дають пряму.

23

вiдстань вiд точки до прямо¨.

Якщо двi прямi перетинаються, то кут мiж ними рiвний кутовi мiж напрямними ве- кторами, або доповню¹ його до 180◦, тому може бути знайдений за формулою:

Зауважимо, що у паралельних прямих напрямнi вектори колiнеарнi, i навпаки, якщо напрямнi вектори колiнеарнi, то прямi паралельнi (або спiвпадають).

Якщо прямi мимобiжнi, то вiдстань мiж ни-

то це означа¹, що прямi перетинаються.

Вза¹мне розмiщення прямо¨ i плищини можна визначити за кiлькiстю спiльних точок, тобто за кiлькiстю розв'язкiв системи:

ax + by + cz + q = 0.

Якщо рiвняння прямо¨ задати параметрично i пiдставити знайденi вирази у рiвняння площини, то отрима¹мо

a(mt + x0) + b(nt + y0) + c(pt + z0) + q = 0

àáî

(am + bn + cp)t = −ax0 − by0 − cz0 − q.

Дане рiвняння може мати:

один розв'язок, тобто пряма перетина¹ площину в однiй точцi;

безлiч розв'язкiв, тобто пряма належить площинi;

жодного розв'язку, тобто пряма паралельна площинi.

24

Ëåêöiÿ 10. Åëiïñ

Елiпсом назива¹ться множина точок площини, сума вiдстаней яких до двох фiксованих точок (фокусiв) ¹ величина стала.

Нехай сума вiдстаней дорiвню¹ 2a, а вiдстань мiж фокусами 2c. Якщо систему координат вибрати так, щоб фокуси лежали на осi Ox симетрично вiдносно початку координат, то F1(−c; 0), F2(c; 0), а для довiльно¨ точки елiпса M(x; y) викону¹ться:

√√

(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a.

Пiднесемо до квадрату, отрима¹мо

√

(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2

√

4a (x − c)2 + y2 = 4a2 − 4cx

a2 ((x − c)2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2 (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

25

Нехай

òîäi

b2x2 + a2y2 = a2b2.

Подiливши останню рiвнiсть на a2b2, отрима¹мо

канонiчне рiвняння елiпса.

Число e = ac назива¹ться ексцентриситетом елiпса. Для елiпса завжди e < 1.

Для фокальних радiусiв справедливо: r1,2 = a ± ex. Ïðÿìi x = ±ae називаються директрисами åëiïñà.

Вiдношення довжини фокального радiуса до вiдстанi до вiдповiдно¨ директриси елiпса ¹ величина стала i дорiвню¹ ексцентриситету, тобто

r1 = r2 = e. d1 d2

Якщо центр елiпса перенести в точку C(x0; y0), а його осi залишити паралельними до тих самих осей координат, то рiвняння елiпса набуде вигляду

Гiпербола.

Гiперболою назива¹ться множина точок площини, рiзниця вiдстаней яких до двох фiксованих точок (фокусiв) за абсолютною величиною ¹ величина стала.

y

Ðèñ. 10.2

Якщо модуль рiзницi вiдстаней до фокусiв дорiвню¹ 2a, вiдстань мiж фокусами 2c i систему координат вибрати так, щоб фокуси лежали на осi Ox симетрично вiдносно початку координат, то F1(−c; 0), F2(c; 0), а для довiльно¨ точки гiперболи M(x; y)

26

також визнача¹ на площинi гiперболу, що називаються спряженою. Вза¹мно спряженi гiперболи мають спiльнi асимптоти.

Якщо центр гiперболи перенести в точку C(x0; y0), а ¨¨ осi залишити паралельними до тих самих осей координат, то рiвняння гiперболи набуде вигляду

Парабола.

Параболою назива¹ться множина точок площини, для яких вiдстань до фiксовано¨ точки (фокуса) дорiвню¹ вiдстанi до фiксовано¨ прямо¨ (директриси).

Ðèñ. 10.3

Якщо вiдстань мiж фокусом i директрисою дорiвню¹ p, систему координат вибрати так, щоб фокус лежав на додатнiй осi Ox, а директриса була паралельною осi Oy, òî

27

Ëåêöiÿ 11. Лiнi¨ другого порядку на площинi.

Нехай на площинi введено прямокутну декартову систему координат.

Рiвняння Ax + By + C = 0 назива¹ться алгебра¨чною лiнi¹ю першого порядку. Загальне алгебра¨чне рiвняння вiд двох змiнних другого порядку

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

називають рiвнянням алгебра¨чно¨ лiнi¨ другого порядку на площинi . Введемо iншу декартову систему координат, зокрема повернемо базис

i, j на деякий

êóò φ.

Y′

X

X

I

Пiдставимо у рiвняння i отрима¹мо:

A(x′ cos φ − y′ sin φ)2 + B(x′ cos φ − y′ sin φ)(x′ sin φ + y′ cos φ) + C(x′ sin φ + y′ cos φ)2+ +D(x′ cos φ − y′ sin φ) + E(x′ sin φ + y′ cos φ) + F = 0.

Вимагатимемо, щоб коефiцi¹нт бiля x′y′ дорiвнював нулевi:

−2A cos φ sin φ + B(cos2 φ − sin2 φ) + 2C cos φ sin φ = 0

(−A + C) sin 2φ + B cos 2φ = 0

28

Зауважимо, що порядок рiвняння не змiниться, але змiнилися коефiцi¹нти, зокрема вiдсутнiй доданок, що мiстить добуток x′y′.

Нехай рiвняння набере вигляду

Mx′2 + Ny′2 + P x′ + Qy′ + F = 0.

Пiсля видiлення повних квадратiв отрима¹мо одне з рiвнянь: кола, елiпса, гiперболи, параболи (або двох прямих, точки, чи порожню множину).

Приклад 11.1. Зобразити на рисунку криву, задану рiвнянням

√√