Lektsija_1-12_algebra

ßêùî b1 = b2 = ... = bm = 0, то СЛАР називають однорiдною. Однорiдна система

завжди сумiсна, бо x1 = x2 = ... = xn = 0

тривiальним розв'язком однорiдно¨ СЛАР.

Теорема. Для того, щоб система з n однорiдних рiвнянь з n невiдомими мала не-

тривiальниi розв'язки, необхiдно i досить, щоб визначник основно¨ матрицi цi¹¨ системи дорiвнював нулевi.

Ëåêöiÿ 5. Вектори

Величини, якi характеризуються лише числом, називаються скалярними (час, довжина, площа, маса). Величини, якi характеризуються крiм числа ще i напрямком називаються векторними (перемiщення, сила).

(äèâ. ðèñ. 5.1).

B

A

A

Ðèñ. 5.1

Довжина вiдрiзка назива¹ться довжиною вектора i познача¹ться |a|. Вектори, дов-

На рисунку 5.2 a || b, a ||c - колiнеарнi; a ↑↑ c - спiвнапрямленi; a ↑↓ b - протилежно

напрямленi.

Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в однiй або в паралельних площинах.

11

3) a + 0 = a ;

4) a + (−a) = 0 ;

5) α(a + b) = αa + αb ; 6) αa + βa = (α + β)a .

Довiльна впорядкована пара ненульових неколiнеарних векторiв на площинi назива¹ться базисом öi¹¨ площини, а довiльна впорядкована трiйка ненульових некомпланарних векторiв базисом у просторi.

Теорема 5.1. Для кожного вектора a, що належить площинi iз вибраним базисомe1, e2, iснують такi числа a1, a2, ùî a = a1e1 + a2e2.

Для кожного вектора a у просторi iз вибраним базисом e1, e2, e3 iснують такi числа a1, a2, a3, ùî a = a1e1 + a2e2 + a3a3.

A

E

1

Ðèñ. 5.8

Числа ai залежать вiд базису, вони визначаються однозначно i називаються координатами вектора в заданому базисi. Якщо вiдомо у якому базисi визначенi координати, то вектор можна записати скорочено, а саме a = {a1; a2; a3}.

Довiльно вибрана точка i вiдкладенi вiд не¨ вектори базису, називаються афiнною системою координат. Точку позначають O i називають початком координат.

Твердження. Щоб знайти координати довiльного вектора у деякiй системi координат, потрiбно вiд координат його кiнця вiдняти координати початку.

Нехай в деякiй афiннiй системi координат з базисними векторами e1; e2; e3 задано ве-

2) λa = {λa1; λa2; λa3};

3) a = b a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3.

13

(вектори колiнеарнi тодi, i лише тодi, коли ¨х координати пропорцiйнi).

Частковим випадком афiнно¨ системи координат ¹ прямокутна декартова систе-

ма координат, коли базиснi вектори одиничнi i вза¹мно перпендикулярнi. Тодi базиснi вектори позначають через

i, j, k, а ¨х продовження Ox, Oy, Oz i називають

ми осями (Ox вiсь абсцис, Oy вiсь ординат, Oz âiñü àïëiêàò).

z

a 3

x

Ðèñ. 5.10

Нагада¹мо, що ортогональною проекцi¹ю точки на вiсь назива¹ться точка перетину осi i перпендикуляра, опущеного з точки на вiсь. Ортогональною проекцi¹ю вектора нази-

ва¹ться довжина вiдрiзка, що з'¹дну¹ проекцi¨ початку i кiнця вектора, взята з знаком + , якщо кут мiж вектором i вiссю гострий, та − , якщо кут тупий. При цьому кутом мiж векторами називають той кут, що ¹ невiд'¹мним i не перевищу¹ 1800.

Якщо у випадку трьохвимiрного простору позначити a1 = ïðOxa, a2 = ïðOya, a3 =

Нехай α, β, γ кути, якi утворю¹ вектор з координатними осями. Числа cos α, cos β, cos γ

називаються напрямними косинусами вектора.

Очевидно, що напрямнi косинуси вектора можуть бути знайденi з вiдповiдних прямокутних трикутникiв, а саме

Зауважимо, що

14

З iншого боку, знаючи довжину вектора i напрямнi косинуси можна записати координати вектора, а саме

Ëåêöiÿ 6. Скалярний, векторний та мiшаний добутки векторiв

Скалярним добутком векторiв a i b назива¹ться добуток довжин цих векторiв на косинус кута мiж ними:

Ðèñ. 6.1

Для довiльного числа λ i ненульових векторiв a,b,c справедливо: 1) a · a = |a|2.

Справдi, добуток дорiвню¹ нулевi, коли один iз спiвмножникiв рiвний нулевi. Оскiльки, ненульовi вектори мають ненульовi довжини, то нулевi може дорiвнювати тiльки косинус кута мiж векторами, а це означа¹, що кут мiж векторами прямий.

3)a · b = b · a.

4)a · (b + c) = a · b + a · c.

= a1b1 + a2b2 + a3b3.

15

Отже, скалярний добуток векторiв заданих координатами обчислю¹ться за формулою

Трiйка ненульових некомпланарних векторiв a, b, c

ротший поворот вiд вектора a до вектора b з кiнця вектора c видно проти годинниково¨ стрiлки. В iншому випадку ëiâîþ.

C

B

A

Ðèñ. 6.2

побудованого на цих векторах).

B

ϕ

A

Ðèñ. 6.3

Якщо вектори заданi координатами в прямокутнiй декартовiй системi координат, то

16

Отже, координати векторного добутку можна знайти з наступно¨ рiвностi

Мiшаним добутком трьох векторiв назива¹ться число, що дорiвню¹ векторноскалярному добутку цих векторiв, а саме

[ A × B ]

H C

α

B

A

Ðèñ. 6.4

17

Ëåêöiÿ 7. Пряма на площинi

Будь-який ненульовий вектор площини, що перпендикулярний до задано¨ прямо¨ назива¹ться нормальним вектором цi¹¨ прямо¨.

загальне рiвняння прямо¨ на площинi.

Теорема 6.1. Кожне рiвняння вигляду (7.2) де a, b, c довiльнi числа (a2 + b2 ≠ 0),

визнача¹ на площинi пряму. I навпаки, кожна пряма може бути записана рiвнянням даного вигляду.

Áóäü-ÿêèé ненульовий вектор площини, що паралельний до задано¨ прямо¨ назива¹ться ¨¨ напрямним вектором.

S M

M 0

Ðèñ. 7.2

Пряму на площинi можна однозначно визначити точкою i напрямним вектором. Якщо

напрямний вектор s = (m; n), а точка M0(x0; y0), то для кожно¨ точки M(x; y) з задано¨

−−−→

M0M || s, тобто

канонiчне рiвняння прямо¨ на площинi.

Якщо ввести коефiцi¹нт пропорцiйностi параметр t , то отрима¹мо

18

рiвняння прямо¨ з кутовим коефiцi¹нтом.

З курсу шкiльно¨ математики вiдомо, що k = tg α, äå α кут нахилу прямо¨, тобто кут, пiд яким пряма нахилена до осi Ox.

При перетинi двох прямих утворю¹ться двi пари рiвних мiж собою кутiв. Кутом мiж прямими слiд називати менший з кутiв, тобто кут мiж прямими невiд'¹мний i не перевищу¹ 900. Оскiльки, кут мiж прямими, кут мiж ¨х нормальними векторами i кут мiж ¨х напрям-

ними векторами ¹ рiвнi або доповнюють один другого до 1800, то для визначення кута мiж

Рис. 7.3 прямими можна скористатись однi¹ю з наступних формул:

äå k1,k2 кутовi коефiцi¹нти прямих.

Звiдси випливають умови ортогональностi:

l1 l2 a1a2 + b1b2 = 0 m1m2 + n1n2 = 0 k1k2 = −1,

та умови паралельностi для неспiвпадаючих прямих:

Нехай M1(x1; y1) деяка точка площини, а d вiдстань вiд точки до прямо¨.

Назвемо вiдхиленням точки вiд прямо¨ число

d, якщо точка i початок координат лежать по одну сторону прямо¨,

δ= −d, якщо точка i початок координат лежать по рiзнi сторони прямо¨,

0, якщо точка належить прямiй.

19

x1 · cos φ + y1 · sin φ = p + δ.

Тодi для вiдхилення точки вiд прямо¨ ма¹мо

δ = x1 · cos φ + y1 · sin φ − p,

i, îñêiëüêè d = |δ|, òî

d = |x1 · cos φ + y1 · sin φ − p| .

Для точок з прямо¨ δ = 0, îòæå

нормальне рiвняння прямо¨ на площинi.

Оскiльки перпендикуляр i нормаль до прямо¨ однаково нахиленi, з точнiстю до 1800,

причому знак вибира¹ться протилежний до знаку c. Òîäi cµ ≤ 0, à p = −cµ ≥ 0.

Таким чином, вiдстань вiд точки M1(x1; y1) до прямо¨ (7.2) можна обчислити за формулою

20