METODU09

f

′( )

=

∂u

+i

∂v

= e

x

cosy +i e

x

x

(1.6)

x

iy

= e

z

z

∂x

∂x

siny = e

(cosy +i siny) = e

e

при відображенні за допомогою функції f(z) = ez

в точці z0

= ln2+i

π

.

4

Обчислимо окремо значення похідної в точці z0 :

(

0 )

ln2+i

π

i

π

(1.6)

π

π

z

ln2

= e 0 = e 4

= e

e 4

=

2

+i sin

2 +i 2

f ′ z

cos

4

=

4

k =| f′(z0) |=|

(1.4)

2 +2 = 2.

Отже, коефіцієнт розтягу

2 +i 2 | =

Кут повороту при відображенні

w = ez

в точці z

0

:

ϕ = arg f ′(z

) = arctg

2 = arctg1 = π.

(1.4)

0

2

4

Відповідь:

k =| f′(z0)|= 2,

ϕ = argf′(z0) =

π

.

4

Завдання

2.3.

Відновити

аналітичну

функціюw = f(z)

в околі точки

f(z

0

) = f(0) = i .

Знайти w′.

Розв’язання. 1–

спосіб. 1. Перевіримо, що виконуються умови теореми

2.4 і задана функція v(x,y) є гармонійною.

∂v

= 2(shx siny −y);

∂x

∂v

= 2(chx cosy −x);

∂y

∂

2

v

∂

= 2

(shx siny −y)= 2chx siny

2

∂x

∂x

∂

2

v

∂

∂y

2

= 2

∂y

(chx cosy −x) = −2chx siny

∂2 v

+

∂2 v

= 2chx siny −2chx siny = 0

∂x2

∂y2

∂u

=

∂v

=2(chx cosy −x),

(2.13)

∂x

∂y

∂u

∂v

= −

= −2(shx siny −y).

(2.14)

∂y

∂x

Інтегруючи рівність (2.13) по змінній x , знайдемо:

u(x,y) = 2 ∫ (chx cosy −x)dx = 2shx cosy −x2 +ϕ(y)

u(x,y) = 2shx cosy −x2 +ϕ(y),

(2.15)

де ϕ(y) – довільна функція від змінної

y .

Після диференціювання по змінній y

із рівності (2.15) отримаємо:

∂u = −2shx siny +ϕ′(y).

(2.16)

∂y

Із порівняння виразів

∂u за формулами (2.14), (2.16) матимемо

∂y

−2shx siny + 2y = −2shx siny +ϕ′(y) ϕ′(y)= 2y

ϕ(y)= ∫ ϕ′(y)dy = ∫ 2ydy = y2 +C .

z2

= (x +iy)2

= x2 + 2ixy −y2,

=

ex−e−x

ex + e−x =

shx =

, chx =

= −z2 +(ex cosy +i ex siny −e−x

cosy +i e−x siny)+C =

= −z2 + ex(cosy +i siny)−e−x(cosy −i siny)+C =

=

e

±iy (1.6)

±i siny

= −z

2

+ e

x

iy

−e

−x

−iy

+C =

= cosy

e

e

= −z2 + ex+iy−e−x−iy +C = −z2 + 2

ez−e−z

+C = −z2 + 2shz +C .

2

Отже, відновлена ФКЗ w = f(z) дається формулою:

w = f(z) = −z2 + 2shz +C .

4. Знайдемо константу C , використовуючи умову f(z0) = f(0) = i .

f(0) = i = 2sh0 +C

C = i .

Отже, остаточно

w = f(z) = −z2 + 2shz +i .

(2.17)

2 – й спосіб. 1.

Оскільки було показано, що

w = f(z) – аналітична

функція, за формулою (2.11) знайдемо її похідну:

w′ = f ′(z) =

∂v

+i

∂v

= 2(chx cosy −x)+i2(shx siny −y) =

∂y

∂x

+i(ex−e−x )siny = −2z + ex(cosy +i siny)+ e−x(cosy −i siny) =

= −2z +(ex+iy + e−x−iy ) = −2z + 2chz.

w′ = f ′(z) = −2z + 2chz .

(2.18)

2.

Виходячи з інваріантності таблиці похідних та інтегралів, з виразу

(2.18) формальним інтегруванням по змінній z

знайдемо:

w = f (z) = ∫ f ′(z)dz = ∫ (−2z + 2chz )dz = −z2 + 2shz +C .

3.

Знайдемо константу C . Оскільки f(0) = i

C = i. Отже

Відповідь:

w = f(z) = −z2 + 2shz +i .

y

Нехай на комплексній z – площині задано криву

В

z

n

(L) з кінцевими точками A, B та ФКЗ f (z) , визначену

(L) z

k

zk−1

на цій дузі.

А

Подрібнимо дугу

(L)

на

n

частинних

дуг

z0

(zk−1;zk ),

k = 1;n (поєднавши точку z0

з A, а точку zn

Рис. 3.1

х

– з B ), як показано на рисунку 3.1. На кожній з цих

дуг довільним чином виберемо точку ξk (zk−1;zk ).

Позначимо

zk −zk−1 =

zk , λ = max |

|, k =

.

zk

1;n

k

Означення.

Криволінійним

інтегралом від

ФКЗ

f (z)

по кривій

(L)

називається величина, яка

позначається символом

∫ f (z)dz та

(L)

вводиться за формулою

df

n

∫ f

∑f (ξk ) zk

(z)dz =limλ→0

(3.1)

(L)

k=1

інтеграл позначається символом

∫

f (z)dz

і називається контурним

(L)

t2

∫ f (z)dz = ∫ f (z(t)) z′(t)dt ,

(3.3)

(L)

t1

де z = z(t) параметричне

рівняння кривої (L), t1

і t1 – значення

параметра t в точках A та B кривої (L).

2.

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz +∫ f (z)dz .

(L1+L2)

(L1)

(L2)

∫

3.

∫

[k1f1

(z) +k2f2 (z)]dz = k1

∫

f1

(z)dz +k2

f2

(z)dz

(k1,k2 = const).

(L)

(L)

(L)

4.

| ∫ f(z)dz |≤ ∫

f (z)

dz .

(L)

(L)

Означення. Деяка область D

комплексної

у

(L)

(L2)

площини називається однозв’язною,

якщо вона

контуром.

(L1)

обмежена

тільки одним

замкненим

D

Область,

яка не є однозв’язною,

називається

(Ln)

багатозв’язною.

Теорема 3.2. (Інтегральна теорема Коші для

однозв’язної області).

Якщо ФКЗ

f (z) є

Рис. 3.2

х аналітичною в однозв’язній області

D,

то для

кожного замкненого контура (L), що не

виходить за межі цієї області, має місце рівність:

f (z)dz = 0.

(3.4)

∫

z

Φ(z) = ∫ f (z)dz

( Φ′(z) = f (z)),

(3.5)

z0

де через

Φ(z) позначено інтеграл по довільній кривій,

що з’єднує

точки z, z0

D і не виходить за межі області D;

2) в цій області є справедливою формула Ньютона-Лейбніця:

z2

∫

2)−F(z1),

f (z)dz = F(z

(3.6)

z1

∫

n

∫

f (z)dz = ∑ f (z)dz .

(3.7)

(L)

k=1 (L )

k

f (z) =

g(z)

(m N)

(z −z0)m ,

(3.8)

Приклад

3.1.

Точка

z = 2 є усувною особливою

точкою

для

ФКЗ

f (z)=

z2 −3z +2

, бо

функція є диференційовною в околі точки

z = 2

z

−2

окрім самої цієї точки та існує скінченна границя

lim

z2 −3z +2

= lim

(z −1)(z −2)

= lim (z −1) = 1.

z→2

z −2

z→2

z −2

z→2

Приклад

3.2. ФКЗ f (z) =

z

є диференційовною в околі точок

(z −1)(z +3)2

z1 = 1 та

z2 = −3 окрім

самих

цих

точок,

отже

обидві ці

точки є

формулою (3.8) у

f (z) =

g(z)

g(z) =

z

вигляді

,

де ФКЗ

є

z −1

(z + 3)2

аналітичною в околі точки z1.

Точка z2

є полюсом 2-го порядку, бо функцію f (z) можна подати також у

f (z) =

g(z)

g(z) =

z

вигляді

, де ФКЗ

, є аналітичною в околі точки

(z + 3)2

z −1

кожної внутрішньої точки z0

цієї області має місце інтегральна формула

Коші:

g(z)

dz = 2πig(z

).

(3.9)

−z

0

∫ z

0

(L)

Якщо ФКЗ g(z) є аналітичною в замкненій області

D

з межевим

контуром (L), то у

кожній

внутрішній точки z0 D

ця

функція є

нескінченно диференційовною і справджується рівність:

g(z)

dz =2πi

g(m−1)(z0)

m N .

(3.10)

m

(z −z

(m −1)!

∫

)

(L)

0

Оскільки

z = x +iy ,

то комплексне параметричне рівняння (L) буде

мати вигляд:

(L):

z = z(t) = t +2ti = (1+2i)t,

0 ≤t ≤1.

Тоді

(3.3)

z2 = (1+2i)2t2 = (1+ 4i −4)t2 = (−3+4i)t2,

=

∫ z Imz2dz =

2

2

, dz = (1+2i)dt, 0

≤t ≤1

(L)

Imz

= 4t

1

1

1

= ∫ (1+2i)t 4t2 (1+2i)dt = = 4(1+2i)2 ∫ t3dt = (−3+

4i)t4

0 = −3

+4i

0

0