MATAN_LECT

64Роздiл 3. Числовi послiдовностi. Границi послiдовностей

1)покажемо, що послiдовнiсть {xn} монотонно зростає;

2)покажемо, що послiдовнiсть {xn} обмежена.

1)Розглянемо бiном Ньютона:

Очевидно, що xn+1 ≥ xn, бо в розкладi xn+1 кожен доданок, по-

()

Тому 2 < xn < 3. Отже, {xn}– збiжна послiдовнiсть.

ВПРАВИ

3.3.1Знайти границю послiдовностi {xn}, яка визначається рекурентним спiввiдношенням

xn+1 = xn(2 − xn) n ≥ 1,

де x1– довiльне число, що задовiльняє нерiвнiсть 0 < x1 < 1.

3.3.2Доведiть, що необмежена монотонна послiдовнiсть є безмежно великою.

3.3.3Доведiть збiжнiсть i знайдiть границю послiдовностi {xn}:

√ √ √

√ √ √

x1 = a, x2 = a + a, . . . , xn = a + a + . . . + a .

де a > 0.

3.4.Критерiй Кошi збiжностi числової послiдовностi

Означення границi числової послiдовностi не дає змоги встановлювати збiжнiсть чи розбiжнiсть числової послiдовностi, якщо не задано значення самої границi. Воно лише дає можливiсть перевiряти, чи є число a границею даної послiдовностi, чи нi. Отже, виникає необхiднiсть у наявностi критерiю збiжностi числової послiдовностi, у якому б саме значення границi було вiдсутнє, тобто щоб цей критерiй виявив ”внутрiшню” структуру збiжної послiдовностi. Такий критерiй був установлений чеським математиком Больцано i французьким математиком Кошi. Нинi вiн має назву критерiю Кошi.

•Теорема 3.5 Теорема Кошi Для того, щоб числова послiдовнiсть {xn} була збiжною, необхiдно i достатньо, щоб для будь-якого числа ε > 0 iснував номер N такий, що нерiвнiсть

виконувалася б для всiх m, n, якi одночасно задовольняють умову m > N, n > N.

Зауваження. Послiдовнiсть, яка задовiльняє теорему Кошi називається фундаментальною послiдовнiстю. Тому теорему Кошi можна переформулювати так: для збiжностi послiдовностi {xn} необхiдно i достатньо, щоб ця послiдовнiсть була фундаментальною.

66 Роздiл 3. Числовi послiдовностi. Границi послiдовностей

Приклад 3.4 Користуючись критерiєм Кошi, довести збiжнiсть по-

= n1 − n +1 p < n1 .

Тому n, p, N маємо

Задамо тепер довiльне ε > 0 i покладемо N = [1/ε]. Тодi n > N, виконується нерiвнiсть n ≥ [1/ε] + 1 + 1/ε, звiдки 1/n < ε. Вiдповiдно n > N i довiльного натурального числа p, використовуючи нерiвнiсть (3.4.2), отримаємо |xn − xn+p| < n1 < ε, це доводить фундаментальнiсть послiдовностi {xn}.

У попереднiй лекцiї було введено поняття метрики простору. Отже, метричним простором називається пара X, d, яка складається з деякої множини елементiв X i вiдстанi d. У математичному аналiзi важливу роль вiдiграє властивiсть повноти простору.

◦Означення 3.6 Якщо в просторi R довiльна фундаментальна послiдовнiсь збiгається, то такий простiр називають повним.

Числова пряма є найпростiшим прикладом повного метричного простору.

ВПРАВИ