MATAN_LECT

54 Роздiл 3. Числовi послiдовностi. Границi послiдовностей

Iснують два найпоширенiшi способи задання числових послiдовностей: аналiтичний та рекурентний. Розглянемо їх докладнiше.

1) Аналiтичний спосiб. Коли послiдовнiсть задається формулою загального члена xn = f(n), n N, що виражає xn через номер n.

Наприклад, вирази xn = 3n; xn = n! (n! = 1 · 2 · 3 · ... · n) задають послiдовностi аналiтичним способом.

2) Рекурентний спосiб (вiд латинського ”recursio”– повернення), коли n-й член послiдовностi виражається через комбiнацiю попереднiх членiв цiєї послiдовностi. При цьому необхiдно задати один або декiлька перших членiв послiдовностi.

Приклад 3.1 Розглянемо рекурентно задану послiдовнiсть, яка називається послiдовнiстю Фiбоначчi 1

Решту членiв послiдовностi можна знайти через попереднi, числа xn утворюють послiдовнiсть:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

Якщо послiдовнiсть має скiнченну кiлькiсть членiв, вона називається скiнченною. Наприклад, скiнченною є послiдовнiсть двоцифрових чисел: 10, 11, 12, . . . 99. Вона складається iз 90 елементiв.

Числову послiдовнiсть можна зобразити кiлькома способами.

1) Безлiч натуральних чисел N, якi набуває аргумент n послiдовностi xn, володiє властивiстю перечислюваностi. Це означає, що можна вказати алгоритм, який спочатку видасть перший елемент цiєї множини, n = 1, а потiм для кожного n N згенерує наступний за ним елемент n + 1, i таким чином будуть перерахованi всi елементи N. З цього випливає, що послiдовнiсть xn можна уявляти

1Ряд вперше згадується в роботi ”Книга абака” одного з великих математикiв Середньовiччя-Леонардо з Пiзи (1170-1250), бiльш вiдомого пiд прiзвищем Фiбоначчi. Вiн був першим самостiйним математиком Захiдної Європи, що повнiстю висвiтлив i узагальнив досягнення математикiв iсламських країн. Найхарактернiшою властивiстю ряду Фiбоначчi є iснування т.зв. коефiцiєнтiв Фiбоначчi, тобто постiйних спiввiдношень рiзних членiв послiдовностi. Вони визначаються так:

1)вiдношення кожного числа до наступного прямує до 0,618 при збiльшеннi порядкового номера;

2)вiдношення кожного числа до попереднього прямує до iррацiонального числа 1,61803398875. . . (обернене до 0,618). В алгебрi загальноприйняте позначення для цього числа грецькою буквою (”фi”), яке ввiв Леонардо да Вiнчi i назвав ”золотим перетином”. Закономiрностi, що описуються коефiцiєнтами Фiбоначчi були знайденi у природi, архiтектурi, математицi, фiзицi та iн. областях. Цi факти— свiдчення незалежностi числового ряду вiд умов його виявлення, що є одним iз ознак його унiверсальностi.

собi у виглядi таблицi, в якiй перший рядок (безлiч значень аргументу) займають натуральнi числа, а другий рядок буде зайнятий вiдповiдними дiйсними числами (значеннями послiдовностi):

Оскiльки комiрок у такiй таблицi має бути нескiнченно багато, всю таблицю задати, звичайно, неможливо, однак в якостi зорового образу, який можна тримати в головi, коли мова заходить про послiдовностi, таке уявлення буває корисним. Але воно фокусує увагу спостерiгача на перших елементах послiдовностi i буває зручним тiльки там, де важливим є її ”початок”, а на ”хвiст” можна не звертати увагу. Нас же, навпаки, буде головним чином цiкавити цей ”хвiст”: першi значення якраз не будуть нам особливо потрiбнi (причому, яким би довгим не був цей початковий вiдрiзок послiдовностi), а важливою для нас буде лише закономiрнiсть, що дозволяє зрозумiти, до чого прямує дана послiдовнiсть (i чи прямує вона до чогось).

Iнший спосiб зображення числової послiдовностi– графiчний. Якщо на осi Ox вiдкладемо числа 1, 2, . . . n, . . ., а на осi Oy x1, x2

. . . , xn, то послiдовнiсть зобразиться у виглядi множини точок T (n, xn) координатної площини.

Наприклад, на рис. 3.1 показано послiдовностi, заданi формулами

Можна зобразити також числову послiдовнiсть на числовiй прямiй, для чого достатньо на нiй вiдмiтити значення x1, x2 . . . , xn, . . . Так, на рис. 3.2 показано на числовiй прямiй ту ж послiдовнiсть, що й на рис. 3.1a). Найважливiшi послiдовностi, якi використовуються в математичному аналiзi,– це послiдовностi, що мають границю.

3.1.1. Границя числової послiдовностi та її властивостi

годно близько наближаються до 1. При цьому |xn − 1| з ростом n зменшується:

Бiльше того, для довiльного як завгодно малого числа ε > 0 ми завжди можемо вказати такий номер n елемента послiдовностi, починаючи з якого |xn − 1| < ε. Наприклад,

1

ε = 0, 1 : |xn − 1| < 0, 1 n < 0, 1 n > 10;

1

ε = 0, 01 : |xn − 1| < 0, 01 n < 0, 01 n > 100.

Цi мiркування i лежать в основi означення границi послiдовностi.

◦Означення 3.2 Число a називається границею послiдовностi xn , якщо для довiльного додатного числа ε можна вказати номер такий, що для кожного натурального числа n > N виконується нерiвнiсть

Той факт, що число a є границею послiдовностi xn записується

так: lim xn = a або xn → a при n → ∞. Для стислого запису озна-

n→∞

чення границi використаємо квантори: - для будь-якого, будь-який;- iснує, знайдеться; := дорiвнює за означенням, означає. Тодi означення границi послiдовностi за допомогою цих символiв запишеться так:

( lim xn = a) := (( ε > 0 N, n > N) (|xn − a| < ε))

n→∞

Якщо послiдовнiсть має границю, то вона називається збiжною, у протилежному випадку – розбiжною.

Геометричний змiст границi послiдовностi. Те, що

lim xn = a геометрично означає, що яким би малим не було чи-

n→∞

сло ε > 0 всi члени послiдовностi xn з номерами n > N(ε) будуть знаходитися всерединi ε-околу точки a (попадають в т. зв. ε-пастку).

ВПРАВИ

58 Роздiл 3. Числовi послiдовностi. Границi послiдовностей

Рис. 3.4. Геометричний змiст границi послiдовностi.

3.1.2 Послiдовностi заданi рекурентними формулами. Знайти формулу для n-го члена послiдовностi.

3.2.Нескiнченно малi та нескiнченно великi послiдовностi

Одним з фундаментальних понять математичного аналiзу є поняття нескiнченно малої величини. Загалом нескiнченно мала величина— це, власне кажучи, не величина у звичному розумiннi цього слова.2

◦ Означення 3.3 Послiдовнiсть {αn} називається нескiнченно

малою, якщо lim αn = 0.

n→∞

◦ Означення 3.4 Послiдовнiсть {xn} називається нескiнченно

великою, якщо lim xn = ∞.

n→∞

◦Означення 3.5 Послiдовнiсть {xn} називається обмеженою, якщо iснує M ≥ 0, що виконується нерiвнiсть |xn| ≤ M.

2Найвизначнiше про нескiнченно малу величину сказав А.Я.Хiнчин:”Слова нескiнченно мала звучить як вказiвка на розмiри величини i часто початкiвець звикає пов’язувати з термiном ”нескiнченно мала величина” уявлення про величину ”дуже малу”, таке уявлення не правильне. Термiн ”нескiнченно мала” за своїм означенням описує не розмiри величини, а характер її змiни. Було б, звичайно, правильнiше називати такого роду величини не ”нескiнченно малими”, а безмежно зникаючими”.

X {xn} = (−1)n n, {xn} = n, {xn} = n2– нескiнченно великi послiдовностi.

X {xn} = (−1)n + 1 – обмежена послiдовнiсть.

2

Властивостi нескiнченно малих послiдовностей

•Теорема 3.1 Сума (рiзниця) двох нескiнченно малих послiдовностей є нескiнченно малою послiдовнiстю.

Доведення. Нехай {αn} i {βn}— нескiнченно малi послiдовностi.

Задамо довiльне ε > 0. Тодi iснує такий номер N1, що при n >

N1 |αn| < 2ε , й iснує такий номер N2, що при n > N2 |βn| < 2ε . Виберемо N = max {N1, N2}. Тодi при n > N виконуватимуться

нерiвностi |αn| < 2ε i |βn| < 2ε . Отже, при n > N

ε ε

|αn ± βn| ≤ |αn| + |βn| < 2 + 2 = ε.

Звiдси випливає, що послiдовностi {αn + βn} i {αn − βn} нескiнченно малi.

Наслiдок. Алгебраїчна сума будь-якого скiнченного числа нескiнченно малих послiдовностей є нескiнченно малою послiдовнiстю.

•Теорема 3.2 Добуток обмеженої послiдовностi на нескiнченно малу є нескiнченно малою послiдовнiстю.

Доведення. Нехай {xn} − обмежена послiдовнiсть, а {αn} − нескiнченно мала. Оскiльки {xn} обмежена, то iснує таке число A > 0, що для всiх xn виконується нерiвнiсть |xn| < A. Задамо довiльне ε. Оскiльки послiдовнiсть {αn} нескiнченно мала, то iснує такий номер N, що при n > N виконується нерiвнiсть |αn| < Aε . Отже, при n > N

ε

|xn · αn| = |xn| · |αn| < A · A = ε.

Звiдси випливає, що послiдовнiсть {xn · αn} нескiнченно мала. Наслiдок 1. Добуток нескiнченно малої послiдовностi на число

є нескiнченно малою послiдовнiстю.

Наслiдок 2. Добуток двох нескiнченно малих послiдовностей є нескiнченно малою послiдовнiстю.

• Зв’язок мiж нескiнченно малими та нескiнченно великими:

60 Роздiл 3. Числовi послiдовностi. Границi послiдовностей

Лема 1. Якщо послiдовнiсть {α } є нескiнченно мала, то послi-

{ } n

1

довнiсть є нескiнченно велика i навпаки.

αn

• Зв’язок мiж нескiнченно малими та iснуванням границi числової послiдовностi:

Лема 2. Якщо lim xn = a xn = a + αn, де αn– нескiнченно

n→∞

мала.

3.2.1.Границя суми, добутку i частки двох послiдовностей

Довести самостiйно, використовуючи останню лему.

3.2.2. Властивостi границi послiдовностi

1. Якщо послiдовнiсть {xn} збiгається i має своєю границею число a, то ця границя єдина.(Властивiсть про єдинiсть границi числової послiдовностi).

2. Якщо послiдовнiсть {xn} збiгається до числа a i число a > 0, тодi iснує такий номер N, що всi члени послiдовностi xn, n > N

задовiльняють нерiвнiсть xn > a2 > 0. (Властивiсть збереження знаку границi числової послiдовностi)

(Лема ”про двох мiлiцiонерiв”)

окремого закону поведiнки змiнних xn та yn може приймати рiзнi значення або взагалi не iснувати.

{yn} не дозволяє у розглянутому вище випадку робити висновки про значення границi їх вiдношення. Для того, щоб охарактеризувати цю

ВПРАВИ

3.2.1Доведiть, що заданi послiдовностi є безмежно малими:

62 Роздiл 3. Числовi послiдовностi. Границi послiдовностей

3.2.3 Доведiть, що довiльна безмежно велика послiдовнiсть є необмеженою.

3.2.4 Дослiдити на збiжнiсть послiдовностi (в залежностi вiд

Вiдповiдi: 1) 3/2; 2) 0; 3) 1/2; 4) 1/2; 5) 0; 6) -1; 7) 2/3; 8) -25; 9) 1/2; 10) ∞; 11) 3/2; 12) 1.

3.3. Монотоннi послiдовностi

Послiдовнiсть, для якої виконується xn+1 ≥ xn для всiх значень n, називається зростаючою послiдовнiстю. Подiбно послiдовнiсть, для якої xn+1 ≤ xn для всiх значень n, називається спадною послiдовнiстю. Зростаюча та спадна послiдовностi називаються монотонними послiдовностями.

Приклад 3.2 Розглянемо послiдовнiсть xn = 2n , тодi n!

Отже, xn+1 ≤ xn, n, послiдовнiсть спадна.

•Теорема 3.4 Монотонно зростаюча (спадна) i обмежена зверху (знизу) послiдовнiсть завжди має границю.

Застосування цiєї теореми достатньо широке. Проiлюструємо її. Розглянемо коло i впишемо в нього квадрат ABCD периметром P1. Тепер впишемо в нього правильний 8-микутник з периметром P2, потiм– правильний 16-тикутник з периметром P3 i т.д.

C = lim Pn.

n→∞

> Приймаючи дiаметр кола рiвним одиницi, можна знайти наближенi значення iррацiонального числа π = C/2R. Отримаємо три першi значення P1 = 2, 82842, P2 = 3, 06147, P3 = 3, 12145, i т.д. Саме такий спосiб обчислення числа π, можливо одним iз перших, запропонував Архiмед, розглядаючи периметр вписанного многокутника як нижню оцiнку довжини кола, а периметр описаного многокутника як верхню оцiнку. Зокрема, для правильного 96-кутника, Архiмед отримав оцiнку i припустив, що π приблизно дорiвнює 22/7 ≡ 3, 142857142857143.

Монотонна послiдовнiсть завжди має границю, скiнченну чи нескiнченну; послiдовнiсть є збiжною за умови, що |xn| є меншим, нiж число A незалежно вiд n; в iншому випадку послiдовнiсть розбiгається.

Приклад 3.3 Розглянемо послiдовнiсть

Її першi шiсть значень 2; 2, 25; 2, 37; 2, 44; 2, 49; 2, 52. Послiдовнiсть зростаюча, але жоден з її елементiв не перевищує числа 3; тодi за останньою теоремою iснує границя послiдовностi