MATAN_LECT

44Роздiл 2. Функцiя дiйсної змiнної

Якщо для будь-яких двох чисел m та M (m < M) умова m ≤ f(x) ≤ M не виконується хоча б для одного x X, то функцiя f називається необмеженою.

Наведемо приклади.

Приклад 2.7 Функцiя f(x) = sin x обмежена на всiй числовiй осi, оскiльки для кожного x (−∞; ∞) : −1 ≤ sin x ≤ 1.

Функцiя f(x) = ex визначена на всiй числовiй прямiй, тобто D(f) = (−∞, +∞) i x D(f) виконується нерiвнiсть ex > 0. Тому

дана функцiя обмежена знизу в областi D(f) (m = 0).

Функцiя f(x) = 2 −x4 визначена на всiй числовiй прямiй, тобто D(f) = (−∞, +∞) i x D(f) виконується нерiвнiсть f(x) ≤ 2. Тому дана функцiя обмежена зверху в областi D(f) (M = 2).

Функцiя y = tg x є необмеженою функцiєю на множинi x

[0; π/2).

X Монотоннiсть функцiї. Функцiя f називається зростаючою на множинi X, якщо бiльшому значенню аргумента x X вiдповiдає бiльше значення функцiї f(x). Тобто f – зростаюча, якщо для кожного x1, x2 X :

x1 < x2 f(x1) < f(x2).

Аналогiчно, f – спадна, якщо для кожного x1, x2 X :

x1 < x2 f(x1) > f(x2).

Зростаючi та спаднi функцiї називаються монотонними. Якщо для кожного x1, x2 X : x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2), то функцiя f називається неспадною на множинi X, а якщо для кожного x1, x2 X : x1 < x2 f(x1) ≥ f(x2), то функцiя f називається

незростаючою на X.

X Парнiсть, непарнiсть, перiодичнiсть. Функцiя f(x), визначена на симетричнiй вiдносно початку координат множинi X, називається парною, якщо f(−x) = f(x) x X. Якщо ж f(−x) = −f(x) x X, то функцiя f(x) називається непарною. Графiк парної функцiї симетричний вiдносно осi Oy, а графiк непарної функцiї симетричний вiдносно початку координат.

Приклад 2.8 Визначити, яка з даних функцiй парна або непарна:

2)f(−x) = (−x)3 − 2 · (−x) = −x3 + 2x = −(x3 − 2x) = −f(x)–

функцiя непарна.

3)f(−x) = sin(−x) + 3 cos(−x) = − sin x + 3 cos x– функцiя не є нi парною, нi непарною.

Функцiя f(x) називається перiодичною, якщо iснує таке дiйсне число T ≠ 0, що разом з довiльною точкою x D(f) множинi D(f) належить також точка x+T i справджується рiвнiсть f(x+T ) = f(x). Найменше з чисел T > 0, для якого виконується вказана умова, називається основним перiодом функцiї. Перiодичними є, зокрема, всi елементарнi тригонометричнi функцiї: y = sin x (T = 2π), y = cos x (T = 2π), y = tg x (T = π), y = ctg x (T = π). Цi функцiї часто зустрiчаються у задачах з перiодичними процесами. Найпростiшi з них– гармонiчнi коливання. Розглянемо наступний приклад.

Приклад 2.9 Знайти основний перiод функцiї y = A sin(ωx + φ), де A, ω, φ–сталi. Цю функцiю називають синусоїдною. Постiйну A називають амплiтудою коливань. Аргумент синуса ωx + φ– фазою коливань.

= A sin(ωx + φ + 2π) = A sin(ωx + φ) = f(x).

Число 2ωπ показує, скiльки разiв дане перiодичне явище повторюється за одиницю часу; отже, це число визначає частоту явища.

Коливання, що описуються рiвнянням y = A sin(ωx+ φ) називаються простими гармонiчними коливаннями, а їх графiки– простими гармонiками.

2.6. Елементарнi функцiї

Основнi елементарнi функцiї є такi:

•постiйна функцiя (константа) y = C, C = const,

•степенева функцiя y = xα,

•показникова y = ax (a > 0, a ≠ 0),

•логарифмiчна функцiя y = loga x (a > 0, a ≠ 0),

•тригонометричнi y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x,

• оберненi тригонометричнi функцiї y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Найбiльш важливi властивостi та графiки основних елементарних функцiй наведено у додатку С.

Функцiї, якi можуть бути отриманi з основних елементарних функцiй за допомогою арифметичних дiй (додавання, вiднiмання, множення, дiлення) i утворення складених функцiй (або суперпозицiї функцiй), називаються елементарними функцiями.

Елементарнi функцiї подiляються:

•Алгебраїчнi

}Рацiональнi

Цiлi рацiональнi (многочлени)

Дробовi рацiональнi (вiдношення многочленiв)

}Iррацiональнi

•Трансцендентнi

2.6.1. Алгебраїчнi функцiї

◦Означення 2.2 Функцiя називається алгебраїчною, якщо її значення можна отримати з аргументу i дiйсних чисел за допомогою кiнцевого числа алгебраїчних операцiй (тобто додавання, вiднiмання, множення, дiлення) i пiднесення до степеня з рацiональним показником. Функцiя, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною.

◦Означення 2.3 Алгебраїчна функцiя називається рацiональною, якщо серед дiй, якi виконуються над незалежною змiнною, вiдсутня операцiя добування кореня. Функцiя, яка не є рацiональною називається iррацiональною.

Рацiональнi функцiї подiляються на цiлi рацiональнi функцiї (многочлени) i дробовi рацiональнi (вiдношення многочленiв). Цiлi рацiональнi функцiї мають вигляд :

Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,

де a0, a1, . . . , an– сталi числа (коефiцiєнти).

Приклад дробово-рацiональної функцiї вигляду y = Pn(x) : y =

Qm(x)

2x3 + 3x

−2x2 + 6

.

2.6.2. Многочлени вiд однiєї змiнної

Многочленом з дiйсними коефiцiєнтами називається функцiя

Pn(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn,

де a0, a1, a2 . . . , an– дiйснi числа. Степенем многочлена називається найбiльше натуральне число n, для якого an ≠ 0.

Нагадаємо означення дробово-рацiональної функцiї. Вiдношення

двох многочленiв R (x) = Pm (x) ,

Qn (x)

вається дробово-рацiональною функцiєю або рацiональним дробом. Зауваження. Вважаємо, що многочлени Pm (x) , Qn (x) не ма-

ють спiльних коренiв, тобто дрiб Pm (x) є нескоротним.

Qn (x)

Якщо степiнь чисельника менший вiд степеня знаменника

(m < n), то дрiб Pm (x) називається правильним, в iншому випад-

Qn (x)

ку (m ≥ n) дрiб називається неправильним.

Якщо дрiб неправильний, то дiленням чисельника на знаменник його можна подати у виглядi суми многочлена степеня m − n i правильного дробу

P (x) на двочлен x − a дорiвнює P (a).

Наслiдок: для того, щоб число a було коренем многочлена P (x) необхiдно i достатньо, щоб вiн дiлився на x − a без остачi.

Згiдно з основною теоремою алгебри, довiльний многочлен степеня n можна подати у виглядi добутку

Qn (x) =cn (x−a1)k1 ... (x−as)ks (x2+p1x+q1)l1 ... (x2+ptx+qt)lt ,

де k1 +k2 +...+ks +2 (l1 + ... + lt) = n, всi дискримiнанти квадратних тричленiв вiд’ємнi Di = p2i − 4qi < 0, i = 1, 2, ..., lt. Такий розклад на множники єдиний. Отже, многочлен степеня n ≥ 1 має n коренiв, якщо кожен корiнь рахувати стiльки разiв, яка його кратнiсть.

Приклад 2.10 Видiлити цiлу частину функцiї

f(x) = 5x3 − x2 + 4x + 7 . x2 + 3x − 1

Виконавши дiлення многочленiв, отримаємо

Приклад 2.11 Знайти всi цiлi розв’язки рiвняння 2z3 − z − 51=0, включаючи їх кратностi, на множинi комплексних чисел.

Маємо в лiвiй частинi рiвняння многочлен непарного степеня з дiйсними коефiцiєнтами, який завжди має хоча б один дiйсний корiнь, причому всi цiлi коренi є дiльниками вiльного члена −51. Встановлюємо, що z1 = 3 є нулем многочлена, тобто справедливе спiввiдношення:

2z3 − z − 51 = (z − 3)(2z2 + 6z + 17) = 0

Розв’язавши квадратне рiвняння, знайдемо решту нулiв многочлена:

Отже, рiвняння має один дiйсний розв’язок z1 = 3 i два розв’язки, якi є парою комплексно спряжених чисел z2;3 = −32 ± 52 i.

рухомої точки гiперболи P . Координати точки Р:

ξ = e− , η = e .

Приймемо за осi координат замiсть асимптот головнi осi гiперболи, повернувши для цього весь рисунок на 45◦ (рис. 2.7).

Якщо позначити новi координати через x,~ y~, то рiвняння цього перетворення матимуть вигляд:

22

рiвняння гiперболи тепер переходить у

x~2 − y~2 = 2,

i сектор приймає таке ж положення, як i у крузi. Новi координати точки

√

Залишається тiльки зменшити весь рисунок у спiввiдношеннi 1 : 2,

√

щоб вiсь гiперболи дорiвнювала 1 замiсть 2. Тепер площа сектора рiвна 12 ; позначаючи новi координати x, y, знаходимо:

якi задовiльняють таке спiввiдношення x2 − y2 = 1 (рiвняння гiперболи). Цi функцiї мають назву гiперболiчного косинуса i синуса.

Отже, якщо розглядати круг радiуса 1 i рiвносторонню гiперболу, пiввiсь якої рiвна 1, то в першому випадку прийдемо до звичайних тригонометричних функцiй, в другому– до гiперболiчних.

Вiдповiдно, гiперболiчний тангенс та котангенс:

ex − e−x

thx = ex + e−x – гiперболiчний тангенс,

ex + e−x

cthx = ex − e−x – гiперболiчний котангенс. Графiки цих функцiй зображенi на рис. (2.9).

Рис. 2.9. Графiки гiперболiчних функцiй

Зв’язок мiж тригонометричними та гiперболiчними функцiями отримаємо, використавши показникову форму запису комплексного числа:

Додавши та вiднявши цi двi рiвностi, отримаємо вiдповiдно

Тодi cos iφ = ch φ, sin iφ = i sh φ.

РОЗДIЛ 3

Числовi послiдовностi. Границi послiдовностей

Усе впорядковується вiдповiдно до чисел.

Пiфагор

Поняття границi поряд з поняттям функцiональної залежностi, є однiєю iз найважливiших концепцiй математичного аналiзу. Розглянемо спочатку числову послiдовнiсть як частковий випадок функцiї дiйсної змiнної, область визначення якої є множина натуральних чисел.

3.1. Числовi послiдовностi

Будь-який список об’єктiв певної множини, пронумерований натуральними числами, називається послiдовнiстю. Так, можна розглядати послiдовностi множин, послiдовностi функцiй, вiдображень, взагалi будь-яких математичних об’єктiв. Наприклад, сторiнки цiєї книги пронумерованi i утворюють послiдовнiсть. кожна сторiнка займає своє мiсце, а всi вони разом утворюють множину.

У математицi найважливiшу роль вiдiграють числовi послiдовностi. З курсу елементарної математики нам вiдомi такi приклади числових послiдовностей: 1) послiдовнiсть всiх членiв арифметичної та геометричної прогресiї; 2) послiдовнiсть периметрiв правильних

n-кутникiв, вписаних в коло; 3) послiдовнiсть x1 = 1, x2 = 1, 4,

√

x3 = 1, 41 . . . наближених значень числа 2. У цьому роздiлi будемо розширювати цi поняття, введемо одну з основних операцiй математичного аналiзу— операцiю граничного переходу. Почнемо з означення границi числової послiдовностi, що дозволить далi означити i бiльш складнi форми операцiї граничного переходу.

◦Означення 3.1 Нехай кожному натуральному числу n N за певним правилом поставлено у вiдповiднiсть дiйсне число xn R. Тодi кажуть, що задано числову послiдовнiсть, яку позначають так: {xn} або так: {x1, x2, . . . , xn, . . .}.