MATAN_LECT

g– прискорення вiльного падiння. Якi величини, що входять у дану формулу, є сталими, параметрами, змiнними?

Розв’язок. 2, π– сталi, g– параметр, адже значення цiєї величини є сталим тiльки у данiй точцi земної поверхнi, але змiнюється при переходi вiд однiєї точки земної поверхнi до iншої; l i T – змiннi величини.

Найбiльш поширенi термодинамiчнi параметри – фiзичнi величини, що характеризують стан термодинамiчної системи (температура, об’єм, щiльнiсть, тиск, маса, намагнiченiсть, електрична поляризацiя та iншi). Параметри подiляють на зовнiшнi i внутрiшнi. Зовнiшнi параметри– це величини, якi визначаються положенням тих тiл, що не входять до системи, наприклад, магнiтна iндукцiя, напруженiсть електричного поля i т.п. Внутрiшнi параметри– це величини, якi визначаються сукупним рухом i розподiлом у просторi тих тiл, що входять до системи (температура, тиск, внутрiшня енергiя i т.п.). Природно, що величини внутрiшнiх параметрiв залежать вiд зовнiшнiх параметрiв. Залежно вiд умов, в яких знаходиться система, одна i та ж величина може бути як зовнiшнiм, так i внутрiшнiм параметром. Так, при фiксованому положеннi стiнок посудини об’єм V є зовнiшнiм параметром, а тиск - внутрiшнiм; в умовах же, коли система знаходиться в посудинi з рухомим поршнем, P стає зовнiшнiм параметром, а V - внутрiшнiм.

Основною метою математичного аналiзу є вивчення функцiональної залежностi мiж величинами в їх взаємному зв’язку, а не окремо кожної. Математичним виразом такого зв’язку реальних величин i є iдея функцiональної залежностi.

2.2. Означення функцiї

Одне з найперших загальних означень функцiї, сформульоване Й Бернулi (1555 – 1222) у процесi довгої дискусiї з Г. Лейбнiцем, винесене в епiграф цього роздiлу.

◦Означення 2.1 Якщо кожному елементу x X за певним правилом поставлене у вiдповiднiсть y Y , то кажуть, що f є функцiєю x i записують y = f(x)1.

1Загальне формулювання поняття ”функцiя” зустрiчається лише з 18 ст. У ранiших авторiв, таких як Лейбнiц, Бернуллi, поняття функцiї вживається лише у застосуваннi до окремих прикладiв. У Ейлера Л. Introductio in analisin infinitorum.–Lausannae, 1748р.[Рос. переклад: Введение в анализ бесконечно малых.-М.: Физматгиз, 1961.] зустрiчаємо визначення функцiї, як ”всякого аналiтичного виразу, що мiстить x”. Пiзнiше Дiрiхле формулює сучасне означення функцiї. З 1830 р. починається розробка теорiї функцiї комплексної змiнної, пов’язана з iменами Кошi, Рiмана, Вейєрштраса.

Якщо кожному x вiдповiдає одне значення y, то функцiя є однозначною. Змiнна x є аргументом або незалежною змiнною, y— функцiєю. Множина X називається областю визначення, Y – областю значень i позначається D(f), E(f), вiдповiдно.

Приклад 2.2 Знайти область визначення функцiї

√√

y = x − 2 + 7 − x.

Функцiя має змiст при 2 ≤ x ≤ 7, отже її область визначення D(y) = [2, 7].

Приклад 2.3 Знайти множину значень функцiї

y = x2 − 4x + 8.

Видiлимо повний квадрат: y = (x − 2)2 + 4, отже область значень функцiї: E(y) = [4, +∞).

Згiдно введеного означення функцiя спiвставляє кожному елементу x X один елемент y Y i є в цьому сенсi однозначною. Вводять також багатозначнi функцiї, для яких кожному елементу x X ставить у вiдповiднiсть не один, а декiлька елементiв множини Y . Далi для визначеностi будемо розглядати лише однозначнi функцiї. Хо-

ча iнодi термiн ”багатозначна функцiя” буде зручним. Наприклад,

√

двозначна функцiя y = x ± 1 − x2, (−1 ≤ x ≤ 1) є просто об’єдна-

√ √

нням двох однозначних функцiй y1 = x + 1 − x2, y2 = x − 1 − x2,

(−1 ≤ x ≤ 1).

Якщо область визначення функцiї є множиною натуральних чисел, то функцiя називається цiлочисельною. Значення цiлочисельної функцiї утворюють послiдовнiсть. Отже, числова послiдовнiсть є частковим випадком функцiї дiйсної змiнної, область визначення якої є множина натуральних чисел.

2.3. Способи задання функцiї

Функцiю можна задати багатьма способами: описати словесно, зобразити графiчно чи побудувати таблицю значень (протабулювати), задати аналiтичним виразом (формулою). Звернемо увагу, що в означеннi функцiональної залежностi нiде не вказується спосiб задання функцiї, тому повноцiннiсть задання функцiональної залежностi зовсiм не залежить вiд того, чи може так задана функцiя бути виражена аналiтично чи зображена графiчно. Для прикладу розглянемо фун-

кцiю Дiрiхле:

{

y =

1, якщо x − рацiональне число,

0, якщо x − iррацiональне число.

Тут кожному значенню x вiдповiдає єдине значення y. Хоча графiчно зобразити цю функцiю важко, але можна задати аналiтично чи описати словами.

Розглянемо деякi рiзновиди аналiтичного способу задання функцiї.

XАналiтичний спосiб.

Явно задана функцiя. Якщо залежнiсть мiж x i y задана у виглядi y = f(x), то кажуть, що функцiя f задана явно. Наприклад, функцiї y = x2 + 2, y = sin x + cos x заданi аналiтично з допомогою однiєї формули.

Вводять поняття природної областi визначення функцiї, пiд якою розумiють сукупнiсть всiх значень x, при яких має змiст даний аналiтичний вираз.

Зауваження. З фiзичних мiркувань iнодi потрiбно розглядати не всю природну область визначення функцiї, а тiльки її частину. Наприклад, якщо в даному фiзичному дослiдженнi x означає температуру, виражену в градусах Цельсiя, то, зрозумiло, нема сенсу визначати функцiю f(x) для значень величини x, менших, нiж −273.

Не можна плутати поняття функцiї та аналiтичного виразу для неї. Функцiя може бути задана на окремих пiдмножинах рiзними аналiтичними виразами. Зокрема, для випадку двох пiдмножин

{

Тут областю визначення функцiї f(x) буде D(f) = D(f1) D(f2), причому D(f1) ∩ D(f2) = .

Неявно задана функцiя. Якщо змiннi x i y пов’язанi мiж собою рiвнянням вигляду F (x, y) = 0, тобто не розв’язаним вiдносно y або x, то кажуть, що функцiя y = f(x) задана неявно. Наприклад, x2 + y2 = R2.

Iнколи рiвняння F (x, y) = 0 можна розв’язати щодо x або y i звести до функцiї, заданої аналiтично: y = f(x) або x = g(y). Наприклад, рiвнiсть x2 + y2 − 4 = 0, що задає коло радiуса 2 з

центром в початку координат, неявно визначає такi функцiї: y =

√ √

4 − x2, −2 ≤ x ≤ 2 (верхнє пiвколо) i y = − 4 − x2, −2 ≤ x ≤ 2

Параметричне задання функцiї. Нехай на деякiй множинi заданi двi функцiї x = x(t), y = y(t). Нехай кожному значенню x = x(t) X ставиться у вiдповiднiсть y = y(t) Y , що вiдповiдає тому ж значенню t, що й x(t). Отримана вiдповiднiсть є функцiя f, визначена на множинi X зi значеннями у множинi Y . У цьому

випадку кажуть, що функцiя f задана параметрично у виглядi

{

x = x(t), y = y(t).

Змiнна t, вiд якої залежать x i y, називається параметром.

√

Так, функцiя y = R2 − x2, графiком якої є верхня половина кола радiуса R з центром в початку координат, може бути задана

параметрично у виглядi

{

x = R cos t,

y = R sin t, t [0, π].

x2 y2

Параметричне рiвняння елiпса a2 + b2 = 1 має вигляд

{

x = a cos t, y = b sin t.

Зауважмо, що iснують кривi, якi задаються лише в параметричному виглядi. До таких кривих вiдноситься циклоїда x = a(t−sin t), y = a(1 − cos t), t R. Її графiком є траекторiя точки кола, що котиться без ковзання по осi Ox див.рис. 10.4.

XТабличний спосiб. Важливим способом задання функцiї є табличний, коли значення x та вiдповiднi їм значення y задаються у виглядi таблицi.

Такими є таблицi тригонометричних функцiй, таблицi логарифмiв, багаточисельнi астрономiчнi таблицi i т.д. Так, в таблицi синусiв аргументом є кут, а функцiєю– його синус. В результатi експериментального вивчення певних явищ отримують таблицi, що виражають функцiональну залежнiсть мiж вимiрюваними величинами. XГрафiчний спосiб. Функцiя задається лiнiєю на площинi, яка називається графiком функцiї. При цьому необхiдно попередньо задати систему координат (не обов’язково прямокутну), масштаби вимiрювання числових величин та геометричне правило побудови вiдповiдностi.

Приклад 2.4 Функцiя y = sgn x (y дорiвнює сигнум x) визначає-

ться так:

якщо x < 0, якщо x = 0, якщо x > 0.

Побудувати графiк цiєї функцiї. Показати, що |x| = xsgn x.

Розв’язок.

та багато iнших функцiй, якими можна оперувати без аналiтичного виразу.

Крiм вказаних способiв задання функцiї, iснують i iншi. Наприклад, при проведеннi чисельних розрахункiв на комп’ютерах функцiї задають алгоритмiчним способом, тобто за допомогою програми обчислення їх значень для заданих значень аргумента.

2.3.1. Обернена функцiя

Нехай для заданої функцiї y = f(x) довiльним двом рiзним значенням аргумента вiдповiдають рiзнi значення функцiї, тобто виконується умова: x1, x2 D(f) : x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2). Тодi кожному значенню y вiдповiдає єдине значення x D(f), таке, що f(x) = y. Так визначену зворотню вiдповiднiсть y → x називають оберненою функцiєю i позначають x = f−1(y). Звичним є позначення аргумента лiтерою x, а значення функцiї – лiтерою y. Перейшовши до цих позначень, одержимо y = f−1(x) – обернену функцiю до функцiї y = f(x). Для оберненої функцiї область визначення i область значень мiняються мiсцями: D(f−1) = E(f), E(f−1) = D(f). Функцiя, що має обернену, називається оборотною. Розглянемо ри-

Рис. 2.2. Графiки функцiй: а) y = f(x) оборотна; б)y = g(x) необоротна.

сунок: функцiя y = f(x) на рис. 2.2 а) є оборотною, а функцiя y = g(x) б) необоротна. Порiвнюючи графiки, можна зауважити, що y = f(x)– зростаюча функцiя, тодi як y = g(x)– не є нi зростаючою, нi спадною. Зростання чи спадання функцiї забезпечує iснування оберненої функцiї.

•Теорема 2.1 Якщо функцiя y = f(x) визначена i зростає(або спадає) на промiжку X i областю її значень є промiжок Y , то для неї iснує обернена функцiя, причому обернена функцiя визначена i зростає (або спадає) на Y .

42 Роздiл 2. Функцiя дiйсної змiнної

2.4. Вiдображення

Поняття функцiї пiдлягає широкому узагальненню, X може бути множиною довiльних елементiв. Якщо замiсть числових розглядати множини будь-якої природи, то прийдемо до загальнiшого поняття функцiї. Нехай X, Y –довiльнi множини. Кажуть, що на X визначена функцiя f, що приймає значення з Y , якщо кожному елементу x X ставиться у вiдповiднiсть один i тiльки один елемент y з Y . Можна розглядати функцiї, визначенi на множинi точок (або векторiв) n-мiрного простору. Площа, обмежена многокутником, або його периметр можна розглядати як функцiї, визначенi на множинi плоских многокутникiв; такi фiзичнi величини, як маса тiла, його заряд i т.п., визначенi на множинi вiдповiдних фiзичних тiл i т.д.

ра”, ”функцiонал”, ”оператор” i

т.д. Для позначення функцiї (вiдображення з X в Y ) використову-

f

ють запис f : X → Y або X → Y . При цьому y називають образом x.

Iснує класифiкацiя вiдображень, яка видiляє три типи:

X

Y

Y X Y X

Рис. 2.4. Класифiкацiя вiдображень: а)сюр’єкцiя; б)бiєкцiя; в)iн’єкцiя.

X Вiдображення ”на”, або сюр’єктивне вiдображення, або сюр’є- кцiя, - це таке вiдображення, при якому кожен елемент з Y є образом хоча б одного елемента з X (див. рис. 2.4 a).

X Вiдображення эвю, або iн’єктивне вiдображення, або iн’єкцiя - це таке вiдображення, при якому двом рiзним елементам з X вiдпо-

вiдають рiзнi елементи з Y : x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2) (див. рис. 2.4в). X Вiдображення эмiжю, або бiєктивне вiдображення, або бiєкцiя - це таке вiдображення, яке є одночасно i сюр’єкцiєю, i iн’єкцiєю. Тобто кожному елементу з X вiдповiдає єдиний елемент з Y i навпаки. Таке вiдображення також називається взаємнооднозначним (див.

рис. 2.4б).

Обернене вiдображення.

Композицiя вiдображень. Нехай заданi вiдображення f : X → Y i g : Y → Z. Тодi композицiєю вiдображень f i g називається вiдображення (f ◦ g):

(f ◦ g)(x) := g(f(x)).

2.5. Елементи поведiнки функцiї

Строге i грунтовне дослiдження функцiй на пiдставi методiв математичного аналiзу ми будемо проводити в наступних роздiлах. А зараз коротко нагадаємо деякi вiдомостi з курсу елементарної математики i введемо новi поняття.

X Обмеженiсть функцiї.

Функцiя f називається обмеженою на множинi X, якщо iснують такi сталi m та M, що для кожного x X виконується умова m ≤ f(x) ≤ M.

Функцiя f називається обмеженою зверху в областi D(f), якщо обмежена зверху множина її значень в цiй областi, тобто якщо

M R : f(x) ≤ M x D(f).

Функцiя f називається обмеженою знизу в областi D(f), якщо обмежена знизу множина її значень в цiй областi, тобто якщо

m R : f(x) ≥ m x D(f).