MATAN_LECT

AR

R

Рис. 1.1. Зображення вкладення множин за допомогою дiаграм Венна

X Для будь-якої пари a i b дiйсних чисел однозначно виражене число a · b, яке називається їх добутком.

X Для довiльних дiйсних чисел a, b, c виконуються такi аксiоми:

1. a + b = b + a.

2. a + (b + c) = (a + b) + c.

3. a · b = b · a.

4. a · (b · c) = (a · b) · c.

5. (a + b) · c = a · c + b · c.

6. Iснує єдине число 0, таке, що a + 0 = a для будь-якого числа a.

7. Для будь-якого числа a iснує таке число (−a), що

a + (−a) = 0 (число (−a) називається протилежним числу a). 8. Iснує єдине число 1, таке, що a · 1 = a для будь-якого

числа a.

9. Для будь-якого числа a ≠ 0 iснує таке число a−1, що

a · a−1 = 1; число a−1 позначається також символом a1 i називається оберненим до a.

Аксiоми, якi виражаються нерiвностями.

10. Якщо a > b i b > c, то a > c. 11. Якщо a > b, то a + c > b + c. 12. Якщо a > b i b > 0, то a · b > 0.

Зауваження. Замiсть a > b можна записати b < a.

Аксiома неперервностi дiйсних чисел.

Нехай X i Y — двi множини, якi складаються iз дiйсних чисел. Тодi, якщо x X, y Y , виконується нерiвнiсть x ≤ y, то iснує принаймнi одне дiйсне число C, для якого виконується нерiвнiсть x ≤ C ≤ y.

Зауваження. У множинi лише рацiональних чисел аксiома непе-

рервностi не виконується. Дiйсно, нехай X складається iз множини

√

рацiональних чисел, таких, що x < 2, а Y – iз множини рацiональ-

√

них чисел y > 2. Тодi x X, y Y виконується нерiвнiсть x ≤ y. Проте не iснує рацiонального числа C, такого, щоб x X, y Y

виконувалася б нерiвнiсть x ≤ C ≤ y. Таким числом могло бути

√

лише число 2, а воно, як вiдомо, iррацiональне.

ВПРАВИ

1.1.1Довести, що множина Z цiлих чисел замкнена вiдносно операцiй додавання, вiднiмання, множення.

1.1.2Довести, що для будь-яких дiйсних чисел a, b (a < b) знайдеться рацiональне число c таке, що a < c < b.

√

1.1.3Довести, що 8– iррацiональне число.

1.2.Пiдмножини множини дiйсних чисел

Геометрично множина дiйсних чисел R зображається точками числової прямої (або числової осi), тобто прямої, на якiй вибрано початок вiдлiку, додатнiй напрям i одиницю масштабу.

Мiж множиною дiйсних чисел i точками числової прямої iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть, тобто кожному дiйсному числу вiдповiдає єдина точка на числовiй прямiй i навпаки, кожнiй точцi прямої – певне дiйсне число. Тому часто замiсть ”число x” говорять ”точка x”.

Означимо деякi пiдмножини множини дiйсних чисел R.

Вiдрiзок:

[a; b] = {x R|a ≤ x ≤ b}.

Пiвiнтервали:

(a; b] = {x R|a < x ≤ b};

Рис. 1.2. Зображення на числовiй осi пiдмножини множини R

[a; b) = {x R|a ≤ x < b}.

Iнтервал:

(a; b) = {x R|a < x < b}.

Поряд з ними розглядаються нескiнченнi iнтервали та пiвiнтервали: (−∞; a), (b, +∞), (−∞, +∞), (−∞; a], [b; +∞). Усi вказанi множини часто об’єднують термiном промiжок.

Звернемо увагу, що вiдрiзок [a; b] i iнтервал (a; b) на перший погляд вiдрiзняються дуже мало: перша пiдмножина ”багатша” за другу всього на двi точки – кiнцi вiдрiзка. Однак така рiзниця є дуже принциповою i надзвичайно важливою в математицi. Справа в тому, що будь-яка точка iнтервалу (a; b) є внутрiшньою точкою, тобто як лiвiше, так правiше вiд цiєї точки знаходяться iншi точки iнтервалу.

Далi будемо мати справу зi спецiальною пiдмножиною множини дiйсних чисел, а саме ε-околом точки x0:

Uε(x0) = {x R|x0 − ε < x < x0 + ε}.

◦

Множину Uε(x0) = Uε(x0)\{x0} називають проколотим ε -околом точки x0.

Послiдовностi числових пiдмножин. Пiд час доведеннi багатьох теорем доводиться мати справу з рiзними послiдовностями числових множин.

◦ Означення 1.1 Послiдовнiсть числових вiдрiзкiв

[a1; b1], [a2; b2], . . . , [an; bn], . . .

Рис. 1.3. ε-окiл та проколотий ε-окiл точки x0

називають стяжною системою вкладених вiдрiзкiв, якщо:

1. [a1; b1] [a2; b2] . . . [an; bn] . . . , 2. bn − an → 0, n → ∞.

Сформулюємо тепер двi властивостi, якi виражають неперервнiсть (повноту) множини R.

1. Аксiома Архiмеда.3 Для будь-якого додатнього числа a i будь-якого дiйсного числа x iснує, причому єдине цiле число k таке, що

(k − 1)a ≤ x < ka.

2.Аксiома Кантора. Для будь-якої стяжної системи вкладених числових вiдрiзкiв iснує єдина точка, яка належить всiм вiдрiзкам системи.

1.3.Межi числових множин

Нехай задано непорожню числову множину X.

◦ Означення 1.2 Множина X називається обмеженою зверху, якщо iснує таке дiйсне число M, що для кожного x X виконується нерiвнiсть x ≤ M.

Множина X називається обмеженою знизу, якщо iснує таке дiйсне число m, що для кожного x X виконується нерiвнiсть m ≤ x.

При цьому числа M та m називаються вiдповiдно верхньою та нижньою межею множини X. Множина, яка обмежена зверху й знизу, називається обмеженою.

Очевидно, що будь-яка обмежена зверху (знизу) множина X має безлiч верхнiх (нижнiх) меж.

3Архiмед(287–212 рр. до н.е.)–генiальний грецький вчений, про якого один iз засновникiв аналiзу Лейбнiц свого часу сказав: ”Вивчаючи працi Архiмеда, перестаєш дивуватися з успiхiв сучасних математикiв.”

◦Означення 1.3 Число B A називається максимальним елементом множини A, якщо для всiх її елементiв a A виконується: a ≤ B.

Число b A називається мiнiмальним елементом множини A, якщо для всiх її елементiв a A виконується: a ≥ b.

◦Означення 1.4 Найменша верхня межа обмеженої зверху множини X називається точною верхньою межею або верхньою гранню цiєї множини i позначається sup M (supremum (лат.) – найвище).

Найбiльша нижня межа обмеженої знизу множини X

називається точною нижньою межею або нижньою гранню цiєї множини i позначається inf M (infimum (лат.)

– найнижче).

iснує x X таке, що x < C′ .

•Теорема 1.1 Будь-яка непорожня обмежена зверху числова множина має точну верхню межу. Якщо ж вона обмежена знизу, то має точну нижню межу.

Доведення. Нехай X – непорожня обмежена зверху числова множина. Тодi множина Y чисел, якi обмежують X зверху, непорожня. Iз означення верхньої межi випливає, що x X, y Y виконується нерiвнiсть x ≤ y. За аксiомою неперервностi дiйсних чисел iснує таке число C , що x X, y Y виконується нерiвнiсть x ≤ C ≤ y.

Iз цiєї нерiвностi випливає, що C обмежує X зверху, тобто є верхньою межею, i є найменшим iз усiх верхнiх меж, тобто є точною верхньою межею.

Друга частина теореми доводиться аналогiчно.

Якщо множина X не обмежена зверху (знизу), то за домовленiстю пишуть sup X = +∞ (inf X = −∞).

Приклад 1.1 Розглянемо промiжок

X = (0, 1] = {x : 0 < x ≤ 1}.

Тодi max X = sup X = 1. Вiдповiдно, inf X = 0, але мiнiмального елемента множина X не має (0 не належить множинi).

Приклад 1.2 Множина натуральних чисел N має мiнiмум, але не має максимуму i точної верхньої межi. Отже, ця множина обмежена знизу i необмежена зверху.

1.4. Метрична структура множини R

Ми розглянули алгебраїчну та впорядковану структуру множини дiйсних чисел. Необхiдно ввести ще поняття вiддалi мiж точками (або метрику простору). Термiн походить вiд гр. metron– вимiрювання.

◦Означення 1.5 Абсолютною величиною (модулем) дiйсного числа x називається саме число x, якщо x ≥ 0, i число,

взяте з протилежним знаком −x, якщо x < 0, i позначають

Абсолютна величина задовольняє такi властивостi

1.x R, −|x| ≤ x ≤ |x|.

2.x, y R, |xy| = |x| |y|.

3.x, y R, |x + y| ≤ |x| + |y|.

4.x, y R, |x| − |y| ≤ |x − y| i |y| − |x| ≤ |x − y|.

Увiвши означення абсолютної величини дiйсного числа, означимо вiддаль або метрику. Багато фундаментальних фактiв математичного аналiзу не пов’язанi з алгебраїчною природою дiйсних чисел, а спираються лише на поняття вiдстанi.

◦Означення 1.6 Вiдстанню мiж двома дiйсними числами x i y називають абсолютну величину їх рiзницi i позначають

d(x, y) := |x − y|.

Властивостi:

1.d(x, y) ≥ 0 (вiддаль додатня або рiвна нулю);

2.d(x, y) = 0 x = y (рiзнi точки знаходяться на додатнiй вiддалi одна вiд одної);

3.d(x, y) = d(y, x) (властивiсть симетрiї);

4.d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (властивiсть трикутника).

Отже, узагальненням уявлень про дiйснi числа як про множину, в якiй уведено вiдстань мiж елементами, є поняття метричного простору.

Метричним простором називається пара (X, ρ), що складається з деякої множини {xn} елементiв (точок) i вiдстанi ρ (x, y)

– однозначної, невiд’ємної функцiї, визначеної для будь-якої пари x, y X, яка задовольняє наступнi аксiоми:

1.ρ (x, y) = 0 тодi i тiльки тодi, коли x = y;

2.ρ (x, y) = ρ (y, x) (аксiома симетрiї);

3.ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z) (аксiома трикутника).

Сам метричний простiр, як правило, позначається R = (X, ρ). Множина дiйсних чисел iз вiдстанню

ρ (x, y) = |x − y|

утворює метричний простiр, що позначається R1.

Виконання аксiом метричного простору для введеної таким чином вiдстанi випливає iз властивостей абсолютної величини дiйсного числа.

У математичному аналiзi важливу роль вiдiграє властивiсть повноти простору. Числова пряма є найпростiшим прикладом повного метричного простору.

Приклади метричних просторiв:

1.Множина дiйсних чисел утворює метричний простiр d(x, y) =

|x − y|.

ться n-вимiрним евклiдовим арифметичним простором.

ВПРАВИ

1.4.1Показати, що наведенi нижче нерiвностi є еквiвалентними:

|x − a| < ε,

a − ε < x < a + ε.

1.4.2Довести, що x1, x2, . . . , xn має мiсце нерiвнiсть

|x1 + x2 + . . . + xn| ≤ |x1| + |x2| + . . . + |xn|.

1.4.3Знайти inf X, sup X множини

√

X = {x : |2x + π| < 2}.

РОЗДIЛ 2

Функцiя дiйсної змiнної

Функцiєю змiнної величини називається кiлькiсть, складена яким завгодно чином iз цiєї змiнної та сталих

Й. Бернулi

Починаючи вiд 17 сторiччя у математицi почали формуватися цiлiснi уявлення про взаємну залежнiсть мiж рiзними величинами, якi описують кiлькiснi характеристики матерiальних об’єктiв, природних явищ, процесiв. Це корiнним чином змiнило подальший розвиток усiєї математики, яка до цього переважно вивчала статичнi форми. Систематичне вивчення функцiональних залежностей у математицi не могло початися ранiше, бо тiльки вiд 17 сторiччя виникли i утвердилися концептуальнi iдеї про iснування об’єктивних законiв природи (прикладiв таких законiв можна привести багато: перiод обертання Землi навколо Сонця i вiддаль до нього; перiод коливання маятника i його довжина; швидкiсть руху рiдини i площа поперечного перетину; кут падiння i кут вiдбивання променя свiтла). Такi видатнi вченi як Г. Галiлей, П. Ферма, Р. Декарт розвинули методи наукових дослiджень, невiд’ємною складових частиною яких стало глибоке проникнення математики у природничi науки. Своєю чергою це призвело до бурхливого розвитку математики.

2.1. Сталi та змiннi величини

Найважливiшою передумовою застосування математичних методiв до опису рiзноманiтних матерiальних об’єктiв, явищ та процесiв є визначення тiєї сукупностi ознак i властивостей, якi виражаються кiлькiсною характеристикою, тобто числом. Говорячи про час чи температуру, треба задати методи їх вимiрювання та одиницi вимiрювання. Тодi конкретна температура та конкретний промiжок часу виражаються дiйсним числом.

Спостерiгаючи рiзнi природнi явища, можна зауважити, що всi величини, якi беруть у них участь, поводяться по-рiзному: однi з них змiнюються, iншi— залишаються сталими.

Сталою називається величина, яка зберiгає одне i те ж значення.

Наприклад, вiдношення довжини кола до його дiаметра є величина стала i дорiвнює π.

> Фiзичнi сталi подiляються на двi групи– розмiрнi i знерозмiренi сталi. У розмiрнiсть багатьох констант входять довжина, час, маса, температура, заряд i т.д. Числове значення цих констант залежить вiд використовуваної системи одиниць. Серед розмiрних фiзичних постiйних слiд видiляти константи, якi не утворюють мiж собою безрозмiрних комбiнацiй– це i є власне фундаментальнi фiзичнi постiйнi (швидкiсть свiтла, постiйна Планка та iн.)

З iншого боку, є константи, якi не залежать вiд використовуваних одиниць. Це знерозмiренi константи. Деякi з них - це числа, наприклад, число π, e i ”золотий перетин”. Це суто математичнi константи, якi можна розрахувати на комп’ютерi до необхiдної кiлькостi значущих цифр. Але iншi сьогоднi можуть бути визначенi тiльки експериментально. Наприклад, ”постiйна тонкої структури” α = e2/(~c). Тут e - це заряд електрона, ~ - постiйна Планка, c - швидкiсть свiтла. Ця безрозмiрна величина знаходиться з експерименту i приблизно дорiвнює 1/137.03599.

Змiнною величиною називається величина, яка може набувати рiзних числових значень. Наприклад, якщо тiло рухається рiвномiрно, то s = vt, де шлях s i час t— змiннi величини, швидкiсть v— стала величина. Одна i та ж величина може бути сталою для однiєї задачi i змiнною для iншої задачi. Наприклад, прискорення вiльного падiння є постiйною величиною для однiєї широти Землi, але змiнюється залежно вiд широти, iншими словами, є величиною змiнною. Температура T кипiння води в бiльшостi фiзичних задач є величина стала T = 100◦ C. Однак у тих задачах, де потрiбно враховувати змiну атмосферного тиску, T є змiнною величиною.

Двi змiннi величини називаються незалежними, якщо значення, якi приймає одна з них, не залежать вiд значень, якi набуває друга. При порiвняннi двох змiнних величин, одну з них зручно розглядати як незалежну змiнну, iншу— як залежну змiнну величину, причому яку з них обрати незалежною, диктується постановкою задачi.

Змiннi величини переважно позначають останнiми буквами латинського алфавiту (x, y, z, u, v, w, . . .), a сталi– першими: a, b, c, . . ..

У фiзичних задачах змiннi величини, якi входять у функцiю, можуть бути згрупованi у безрозмiрнi параметри (характеристики). Параметром називають величину, яка не змiнює свого значення тiльки у данiй задачi.

Приклад 2.1 Перiод малих коливань T математичного маятника

√

обчислюється за формулою T = 2π gl , де l– довжина маятника,