MATAN_LECT

–iстинне, якщо хоча б одне з висловлювань A i B є iстин-

ним;

–хибним, якщо обидва висловлювання хибнi.

Логiчний символ ” ” замiнює сполучник ”або”. Треба звернути увагу, що в українськiй повсякденнiй мовi сполучник ”або” часто вживається у виключаючому значеннi, коли з двох рiзних альтернатив вибирається щось одне. Власне у дизюнкцiї цей сполучник має iнше смислове навантаження – об’єднуюче.

5. Конюнкцiя. До бiнарної операцiї над двома висловлюваннями вiдноситься

◦Означення 0.3 Конюнкцiєю двох висловлювань A та B називається нове висловлювання

(читається A i B), яке вважається:

–iстинним, якщо висловлювання A i B є одночасно iстинними;

–хибним, якщо хоча б одне висловлювання хибне.

Логiчний символ ” ” замiнює у розмовному реченнi сполучник

”i”. Висловлювання, якi знаходяться по обидва боки вiд логiчного

”i” називаються членами конюнкцiї. Конюнкцiя двох висловлювань виражає нове висловлювання, яке одночасно володiє ознаками членiв конюнкцiї.

Проiлюструємо означення прикладом. Маємо висловлювання: A :={Фiгура на площинi – прямокутник};

B :={Фiгура на площинi – ромб } Тодi дизьюнкцiя цих висловлювань

A B :={Фiгура на площинi – квадрат}

Предикат Поняття ”предикат” – узагальнене поняття в логiцi. Неформально говорячи, предикат– це висловлення, у яке можна пiдставляти аргументи. Якщо аргумент один, то предикат виражає властивiсть аргументу, якщо бiльше – то вiдношення мiж аргументами.

Поняття предикату узагальнює поняття висловлення, а теорiя предикатiв є бiльш витонченим iнструментом порiвняно з алгеброю висловлень для вивчення закономiрностей побудови умовиводiв в процесi мiркування. У цiй теорiї розглядається внутрiшня структура простих висловлень: у висловленнях видiляють пiдмет i присудок

(предикат), i якщо на мiсце пiдмета потiм ставити iнший пiдмет, то вийде iнше висловлення.

Квантори. У логiцi предикатiв використовують двi спецiальнi операцiї, якi називають кванторами квантори.

1.Квантор загальностi позначається символом i означає ”для всiх”, ”для кожного”;

2.Квантор iснування – ”iснує”, ”знайдеться”;

0.2. Основi вiдомостi з теорiї множин

До первiсних понять математики належить поняття множини. Вся сучасна математика базується на широкому використаннi теоретико-множинних концепцiї. Це дозволяє значною мiрою максимально формалiзувати i унiфiкувати рiзнi роздiли математики.

> З iсторiї теорiї множин. Теорiя множин, як роздiл математики, була розвинена у 19 сторiччi. Засновником цiєї теорiї вважається чеський математик Б. Больцано (1781 – 1841), якому належить робота ”Парадокси нескiнченностi”. Множини довiльної природи першим почав вивчати нiмецький математик Георг Кантор (1845 – 1918). Загальному поняттю множини, що розглядалося ним як центральне для математики, Кантор давав вельми розмитi означення. Зокрема, вiн розумiв множину як зiбрання певних та рiзних об’єктiв нашої iнтуїцiї або iнтелекту, якi сприймаються в якостi цiлого. Це цiлком вiдповiдало намiру самого Кантора, який пiдкреслено називав свою програму не ”теорiєю множин” (цей термiн з’явився багато пiзнiше), а ”вченням про множини”. Iдеї Кантора були розвиненi у роботах iнших математикiв, так що на початок ХХ ст. сформувалася цiлiсна теорiя, яка пiзнiше отримала назву ”наївної теорiї множин”. Справа у тому, що пiд час вивчення нескiнченних множин були виявленi ряд антиномiй 5 , якi призвели до необхiдностi узагальнення наївної теорiї множин i виникнення сучасної аксiоматичної теорiї.

Не будемо тут вникати у тонкощi загальної теорiї множин, бо для подальшого викладення матерiалу цього посiбника достатньо знання елементарних, базових вiдомостей iз наївної теорiї множин. Це цiлком оправдано, бо об’єктами нашого вивчення будуть тiльки

5Антиномiя, парадокс,— ситуацiя, коли в теорiї множин доводяться два взаємовиключнi один одного судження, причому кожне з цих суджень виведено переконливими засобами з точки зору даної теорiї. На вiдмiннiсть вiд софiзму, навмисно невiрного умовиводу з замаскованою помилкою, антиномiї, як правило, свiдчать про глибшi недолiки розглянутої теорiї. Часто виявлення антиномiй призводить до iстотного перегляду усiєї теорiї в цiлому, звертає увагу на новi явища, i в кiнцевому пiдсумку, служить стимулом подальших дослiджень.

множини дiйсних чисел та функцiї дiйсної змiнної, якi не належать до ”екзотичного зоопарку”.

Пiд множиною будемо розумiти сукупнiсть деяких об’єктiв довiльної природи, якi володiють певною спiльною характерною ознакою. Об’єкти, якi утворюють множину, називаються елементами множини.

Можна говорити про множину натуральних чисел {1, 2, 3, . . .}, множину трикутникiв на площинi, множину букв алфавiту тощо. Утворювати множину можуть також елемент, якi своєю чергою є множинами.

Позначати множини будемо великими лiтерами латинського алфавiту A, B, C, а їх елементи – малими буквами a, b, c. Якщо об’єкт a є елементом множини A, то використовується символьний запис a A (читається: ”a належить до A”). Якщо ж a не є елементом множини A, то пишуть a / A.

Множина, яка не мiстить жодного елемента, називається порожньою i позначається символом . Наприклад, множина дiйсних розв’язкiв рiвняння x2 + 1 = 0 є порожньою множиною.

Множина називається скiнченою, якщо вона складається iз скiнченого числа елементiв, i нескiнченою, якщо вона складається з нескiнченного числа елементiв. Прикладом скiнченої множини є множина двоцифрових чисел.

Серед нескiнченних множин видiляють злiченнi множини, тобто такi множини, кожному елементу яких можна поставити у вiдповiднiсть натуральне число (номер). За означенням, сформульованим Кантором, елементи такої множини розташованi в один ряд таким чином, що кожний елемент множини займає у цьому рядi цiлком визначене мiсце, вказане номером, i кожне визначене номером мiсце ряду зайняте тiльки одним вiдповiдним елементом множини. Прикладом злiченної множини є сукупнiсть коренiв тригонометричного рiвняння sin x = a, коли параметр |a| ≤ 1. Якщо ж |a| > 1, то множина коренiв рiвняння порожня.

◦Означення 0.4 Якщо множина A складається з тих самих елементiв (всiх або не всiх), що i множина B, то A називається пiдмножиною множини B i записується:

A B (A мiститься в B) або B A (B мiстить A).

Утеорiї множин приймається, що порожня множина є пiдмножиною будь-якої множини A.

Розглянемо конкретний приклад множини та її пiдмножин. Якщо елементами деякої множини A є усi можливi квадратнi матрицi дру-

Наведемо простий приклад

Для наочного зображення множин, пiдмножин, перетину, об’єднання, рiзницi i симетричної рiзницi множин застосовують круговi дiаграми Ейлера-Вена 6 (рис.9.7).

Рис. 2. Наочне зображення дiаграмами Ейлера-Вена об’єднання A B, рiзницi A\B, перетину A ∩ B i симетричної рiзницi A B множин A та B

XСпособи задання множин. Зазвичай використовуються два способи задання множини.

1.Якщо множина A складається з скiнченного, невеликого числа елементiв, наприклад, – a, b, c, d, f, то її усiх можна записати у фiгурних дужках: A = {a, b, c, d, f}. Порядок запису елементiв не має значення.

2.Якщо множина складається iз великої (чи безмежної) кiлькостi елементiв, то перерахування елементiв її задати проблематично, або взагалi не можливо. У такому разi треба пам’ятати, що елементи множини обов’язково мають певну спiльну характеристику, ознаку.

Нехай P (x) деяке висловлювання (предикат) у якому фiгурує елемент x основної множини E. Тодi запис

визначає множину A, елементи якої задовольняють вказанiй характеристицi.

0.4. Математичнi доведення

Математичну логiку, можна трактувати як науку, яка вивчає i встановлює особливостi i загальнi закономiрностi математичних доведень. Пiд доведенням треба розумiти систему (сукупнiсть, ланцюжок) умовиводiв, якi дозволяють встановити iстиннiсть, або хибнiсть складних висловлювань на пiдставi

6Наочнiсть геометричного зображення множин та алгебраїчних дiй над ними

увиглядi фiгур на площинi була вперше використана Л. Ейлером для пояснення розвязування задач силогiстики Арiстотеля.

Доведення за допомогою побудови ланцюжка iмплiкацiй. Цей метод використовується для доведення тверджень, виражених у формi iмплiкацiї: "Якщо висловлювання A iстинне, то висловлювання B також iстинне. Для доведення використовують ланцюжок iстинних iмплiкацiй вигляду

A A1; A1 A2; . . . ; An−1 An; An B.

де A1, A2, . . . , – деякi допомiжнi висловлювання. Послiдовнiсть виписаних iмплiкацiй становить ланцюжок iмплiкацiй, якi можна записати скорочено так:

A A1 A2 . . . An−1 An B.

Доведення вiд супротивного. Цей метод доведення застосовують для доведення математичних тверджень, висловлених у формi iмплiкацiї A B. Припускають на початку, що висловлювання B хибне. Потiм доводять, що умова A також хибна

Метод математичної iндукцiї. Щоб довести, що деяке твердження є вiрним для довiльного натурального числа n починаючи з n0, достатньо довести, що

1) це твердження є вiрним для n = n0;

2) якщо дане твердження справедливе для деякого натурального числа k ≥ n0, то воно є вiрним також i для наступного натурального числа k + 1.

Такий метод доведення називається методом математичної iндукцiї.

Приклад 0.1 Довести, що n N i x > −1 справедлива нерiвнiсть (нерiвнiсть Бернуллi):

Доведення. Доведемо нерiвнiсть (0.4.1) методом математичної iндукцiї. Якщо n = 1, то нерiвнiсть (0.4.1) справедлива, оскiльки перетворюється в правильну рiвнiсть. Нехай спiввiдношення (0.4.1) справедливе для натурального числа k i x > −1:

Оскiльки x > −1, то 1 + x > 0. Помножимо нерiвнiсть (0.4.2) на додатнє число 1 + x:

(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x.

Таким чином, доведено, що нерiвнiсть (0.4.1) справедлива для натурального числа k + 1 i x > −1. Отже, доведено, що нерiвнiсть (0.4.1) справедлива n N i x > −1.

ВПРАВИ

0.4.1Довести, що для довiльних n додатнiх чисел y1, y2, . . . , yn, що задовiльняють умову y1 · y2 · . . . · yn = 1, має мiсце спiввiдношення y1 + y2 + . . . + yn ≥ n.

РОЗДIЛ 1

Числовi множини

Господь Бог створив цiлi числа, а все iнше – справа рук людських

Л. Кронекер

Множина, елементами якої є числа, називається числовою множиною. Надалi переважно будемо розглядати множини, елементами яких є дiйснi числа. З огляду на цю обставину необхiдно докладно вивчити властивостi множини дiйсних чисел та її рiзноманiтних пiдмножин.

1.1.Множина дiйсних чисел та її пiдмножини

1.Натуральнi числа. Конструкцiя усiєї математики базується на натуральних числах. Злiченну множину натуральних чисел зазвичай позначають символом N:

N = {1; 2; 3; . . . ; n; . . . }.

На множинi натуральних чисел можна ввести операцiї додавання та множення:

n + m; n · m.

Не будемо тут перерахувати аксiоми, яким задовольняють цi арифметичнi дiї, оскiльки всi вони будуть частковим випадком розглянутої далi повної сукупностi аксiом множини довiльних дiйсних чисел.

2. Цiлi числа. Очевидно, що операцiя вiднiмання натуральних чисел не визначена. Справдi, коли маємо два числа, скажiмо 2 та 6, то рiзниця 6 − 2 = 4 належить до множини натуральних чисел, натомiсть числа (2 − 6) множина натуральних чисел не мiстить. Ця обставина була вагомим приводом для того, щоб ввести вiд’ємнi числа.

Сукупнiсть вiд’ємних цiлих чисел, нуль та сукупнiсть натуральних чисел утворюють множину цiлих чисел

Z = {... − 3; −2; −1; 0; 1; 2; ...}.

22 Роздiл 1. Числовi множини

Вiд самого початку цiлi числа отримали геометричну iнтерпретацiю на числовiй осi як сукупнiсть рiвновiддалених точок, якi протягаються на безмежнiсть по обидва боки вiд нуля 1.

3. Рацiональнi числа. Продовжимо узагальнення поняття дiйсного числа. Очевидно, що операцiя дiлення цiлих чисел, як обернена до операцiї множення, на множинi цiлих чисел не визначена. Можемо знайти дрiб 12/4, натомiсть множина Z числа 4/12 не мiстить. Це змушує вийти за межi цiлих чисел, запровадивши рацiональнi числа

До рацiональних вiдносяться дiйснi числа, якi можна подати у виглядi

Для множину рацiональних чисел використовують позначення

Кожне рацiональне число можна подати у виглядi скiнченого десяткового дробу або нескiнченного перiодичного десяткового дробу:

Рацiональнi числа утворюють злiчену множину. Не будемо тут доводити цього важливого у теорiї чисел твердження. Зацiкавленi читачi можуть познайомитися iз доведення в книзi [?].

4. Iррацiональнi числа. Кожне рацiональне число можна трактувати як корiнь лiнiйного рiвняння

nx − m = 0 (n ≠ 0)

з цiлочисельними коефiцiєнтами. Запишемо тепер квадратне рiвняння iз цiлочисельними коефiцiєнтами

nx2 + mx + k = 0 (n ≠ 0)

i з’ясуємо якi числа можуть бути коренями цього рiвняння. З курсу шкiльної математики знаємо, що коренями квадратного рiвняння

до рацiональних, тобто їх не можна представити у виглядi вiдноше-

√

ння двох рацiональних чисел. Покажемо це на прикладi числа 2, дотримуючись доведення, наведеного у [?] .

1Що стосується нуля, то його вiдкриття належить до одного iз найбiльших досягнень математики середньовiччя. Нуль вперше введений iндiйськими математиками, приблизно у серединi V сторiччя. Генiальним досягненням iндiйської математики став запис довiльних чисел за допомогою десяти цифр, якими ми користуємося i сьогоднi i якi не зовсiм справедливо називаємо арабськими. Самi араби називали їх iндiйськими.

√

Припустимо, що 2 є рацiональним числом. Тодi його можна по-

√

дати у виглядi нескоротного дробу 2 = p/q, тобто p2 = 2q2. Останнє спiввiдношення можна переписати у формi

(2q − p)2 = 2(p − q)2.

Звiдси бачимо, що iснує нескоротний дрiб

2q − p = √2. p − q

З очевидної умови q < p < 2q знаходимо, що 0 < p − q < q. Звiдси випливає, що iснує нескоротний дрiб, який дорiвнює дробу p/q i разом з тим має менший знаменник. А це протирiчить вихiдному припущенню, про нескоротнiсть дробу p/q.

Всяке дiйсне число, яке не можна зобразити як вiдношення цiлих чисел названо iррацiональним, що у перекладi з Iншими словами, iррацiональне число – це нескiнченний неперiодичний десятковий дрiб 2 .

Алгебраїчне число– це число α, яке є коренем многочлена f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 з рацiональними коефiцiєнтами. Iнакше, число називається трансцендентним. Так, всi рацiональ-

рiвняння x + 1 = 0. Множину всiх алгебраїчних чисел позначають лiтерою AR.

Множину дiйсних чисел, елементами якої є всi рацiональнi та iррацiональнi числа, зазвичай позначають символом R. Маємо такi вкладення множин: N Z Q A R. Або використовуючи дiаграми Венна, матимемо таке зображення множин (див. рис. 1.1).

Аксiоматика дiйсних чисел. Пiдсумовуючи поданий вище матерiал, дамо аксiоматичне означення множини дiйсних чисел.

Множиною дiйсних чисел називається множина елементiв, для яких виконуються наступнi аксiоми.

Аксiоми додавання i множення.

X Для будь-якої пари a та b дiйсних чисел однозначно виражене число a + b, яке називається їх сумою.

2Виявлення iррацiональних чисел пов’язане iз встановленням у школi Пiфагора (570-496 р. до н. е.) несумiрностi дiагоналi квадрата i його сторони, тобто iз встановленням того факту, що довжина дiагоналi квадрата не може бути виражена рацiональним числом, якщо в значеннi одиницi вимiрювання взяти довжину сторони квадрата.