LABORATORNIJ_PRAKTIKUM_Z_FIZIKI
.pdf
Розділ 1. Динаміка обертального руху
1.4. Момент імпульсу
Іншою важливою динамічною характеристикою обертального руху є момент імпульсу.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно нерухомого центру О визначається як:
L = [r(mv)], |
(1.14) |
де r − радіус-вектор, проведений з центру О до матеріальної точки;
mv − імпульс матеріальної точки
Якщо тверде тіло здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі OZ, то вводиться поняття моменту імпульсу відносно нерухомої осі.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно осі ОZ Lz дорівнює проекції на вісь OZ величини L .
Mомент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі дорівнює сумі моментів імпульсів елементарних мас цього тіла відносно вказаної осі.
N |
|
|
Lz = åLiz |
|
(1.15) |
i=1 |
|
|
і, враховуючи, що |
|
|
vi = ωri , |
(1.16) |
|
одержуємо інший вираз для моменту імпульсу відносно осі |
|
|
N |
2 = JZω , |
|
Lz = ωåmiri |
(1.17) |
|
i=1
де ω − кутова швидкість тіла;
Jz – момент інерції тіла відносно осі ОZ.
1.5. Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла. Закон збереження моменту імпульсу
Співвідношення, що зв’язує між собою момент сили, який діє на тіло, і момент імпульсу цього тіла у випадку обертального руху
навколо нерухомого центру має вигляд: |
|
||
|
dL |
r |
|
|
|
= M. |
(1.18) |
|
dt |
||
|
|
|
|
11
Теоретична частина
Швидкість зміни моменту імпульсу тіла дорівнює моменту сили, що діє на тіло.
При обертанні тіла навколо нерухомої осі співвідношення (1.18) набуває вигляду:
|
|
dLz |
= Mz , |
(1.19) |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
а враховуючи (1.17): |
|
|
|
|
|
|
|
|
d(Jzω) |
= Jz |
dω |
= Jzε, |
|
||
|
dt |
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
де ε − кутове прискорення тіла, одержимо основний закон динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі:
Jzε = Mz . |
(1.20) |
Момент сили відносно осі обертання дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно цієї осі на набуте
тілом кутове прискорення.
Якщо система замкнена, то момент зовнішніх сил дорівнює нулю. Тоді:
ddtL = 0,
а це означає, що: |
|
L = const. |
(1.21) |
(1.21) – виражає закон збереження моменту імпульсу:
Момент імпульсу замкненої системи постійний у часі.
1.6. Кінетична енергія тіла, що обертається
Кінетична енергія тіла, що рухається довільно, дорівнює сумі кінетичних енергій всіх n матеріальних точок, на які можна уявно розділити це тіло :
Wk = å |
mivi |
2 |
. |
(1.22) |
|
|
|||
n 2 |
|
|
|
|
При обертанні тіла навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю ω лінійна швидкість i –ї точки становить
12
Розділ 1. Динаміка обертального руху
vi = ωRi ,
де Ri – відстань точки до осі OZ. Отже
Wk = |
ω2 |
åmiRi |
2 |
= |
Jzω2 |
. |
(1.23) |
2 |
|
2 |
|||||
|
n |
|
|
|
|
Зіставлення формули (1.23) з формулою для кінетичної енергії
поступального руху mv2 підтверджує факт, що момент інерції
2
тіла є мірою інертності тіла при обертальному русі.
1.7. Аналоґії між формулами механіки поступального і обертального рухів
|
|
|
Поступальний рух |
|
Обертальний рух |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
v − лінійна швидкість |
|
ω − кутова швидкість |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
α= |
dv |
− лінійне прискорення |
ε = |
dω |
− кутове прискорення |
|||||||
|
|
dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
m – маса |
|
JZ – момент інерції |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
p = mv − імпульс |
LZ = JZ ω − момент імпульсу |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
F − сила |
M або МZ – момент сили |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
r |
|
|
|
|
dL |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
= F |
|
|
|
|
|
= M |
||
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
mα = F |
|
|
|
Jzεz = Mz |
||||||
|
|
|
|
Wk = |
mv |
2 |
|
|
Wk = |
|
Jzω2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Розділ 2. ПРУЖНІ ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
2.1.Основні поняття. Види деформації
Унедеформованому кристалічному тілі кожна частинка (молекула, іон, атом) перебуває у певному положенні рівноваги, в якому сума сил, що діють на неї з боку решти частинок, дорівнює нулю, а потенціальна енерґія частинки мінімальна. Але якщо якась зовнішня сила змістить частинку з її положення рівноваги, то сума сил взаємодії цієї частинки з рештою частинок вже не дорівнюватиме нулю. Якщо деформація веде до збільшення середніх відстаней між частинками, то переважатимуть сили притягання, які прагнутимуть повернути частинки в попереднє положення рівноваги. Навпаки, якщо кристалічне тіло стискати і цим самим наближати частинки кристала одні до одних, то переважатимуть сили відштовхування, які знову таки прагнутимуть повернути частинки в попереднє положення рівноваги. Це сили пружності – результат міжмолекулярної (міжатомної) взаємодії у деформованих тілах.
∙Деформацією називається зміна форми або об`єму тіла, викликана будь-якою дією на нього. Види деформації твердого тіла різноманітні. За характером поведінки після припинення – це деформація твердого тіла під дією сил, що розтягують (стискають) тіло в одному напрямі. Досить часто в природі і техніці зустрічаються всесторонні деформації розтягу (стиску). Ці деформації спостерігаються в тому випадку, коли деформоване тіло зазнає тиску з усіх сторін або розтягу в усіх напрямах.
∙Деформація чистого зсуву − це деформація твердого тіла, при якій всі його плоскі шари, паралельні деякій площині (площині зсуву), не змінюються за формою, а лише зміщуються паралельно один до одного. При деформації зсуву змінюється форма тіла без зміни його об`єму.
∙Деформація кручення − це деформація тіла, яка здійснюється під дією двох протилежно напрямлених моментів, прикладених до протилежних кінців тіла. Кут, на який повернеться радіус крайнього перерізу, називається кутом кручення.
∙Деформацією згину називається деформація, що призводить до розтягу (стиску), неоднакового у різних частинах тіла. Всередині зігнутого тіла є шар, який не зазнає ні розтягу, ні стиску, і називається нейтральним.
14
Розділ 2. Пружні властивості твердих тіл
2.2. Деформація розтягу
Абсолютною деформацією (видовженням) називається
величина |
|
L = L − L0 , |
(2.1) |
де L – довжина деформованого тіла; |
|
L0 – початкова довжина тіла.
Відносною деформацією (видовженням) називається відно-
шення абсолютної деформації до початкової довжини тіла: |
||||
ε = |
|
L |
. |
(2.2) |
|
|
|||
|
|
L0 |
|
|
Напругою (механічною |
напругою) називається |
відношення |
||
сили, що діє на тіло, до площі перерізу тіла у площині, перпендикулярній до лінії дії сили
σ = |
F |
. |
(2.3) |
|
|||
|
S |
|
|
Р. Гук у XVII ст. встановив, що в межах пружних деформацій |
|||
нормальна напруга і відносне видовження зв’язані співвідношенням:
ε = ασ . |
(2.4) |
Коефіцієнт α називається коефіцієнтом пружності. Величину, обернену до коефіцієнта пружності, називають
модулем поздовжньої пружності, або модулем Юнґа. |
|
||
E = |
1 |
. |
(2.5) |
|
|||
|
α |
|
|
Врахувавши (2.5), запишемо закон Гука у вигляді:
σ = Eε. |
(2.6) |
Механічна напруга пружно деформованого тіла прямо пропорційна його відносній деформації.
З закону Гука випливає, що E = σ при ε = 1 , тобто якщо
L = L0
Модуль Юнґа чисельно дорівнює такій нормальній напрузі, при якій абсолютна деформація дорівнювала би початковій довжині тіла, тобто довжина тіла збільшилася б удвічі.
15
Теоретична частина
Практично будь-яке тіло під час пружної деформації не може подвоїти своєї довжини і набагато раніше розірветься.
Розглянемо результати випробування деякого однорідного зразка на розтяг, подані у вигляді діаграми розтягу – залежності нормальної напруги від відносної деформації (рис. 2.1)
σ
Рис. 2.1
ε
∙ділянка OA: виконується закон Гука, деформація − пружна (зникає при знятті напруги, з точки А зразок по лінії ОА повертається у початковий стан). σA − межа пропорційності;
∙ділянка АВ: наростають порушення закону Гука; точка В −
початок текучості;
∙ ділянка ВС: ділянка текучості: зразок видовжується при незмінній напрузі. Всередині тіла збільшується кількість дефектів, а в околі точці С їх стає так багато, що взаємовплив дефектів істотно зміцнює матеріал зразка;
∙ділянка СD: розтяг зразка продовжується. Зняття напруги у будьякій точці на ділянці BD призводить до скорочення зразка по лінії CH, яка паралельна OA так, що зразок набуває залишкової деформації ε0 .
∙Значення σ max у верхній точці кривої називається границею міцності – це максимальна напруга, яку деякий час може витримати зразок без розриву, хоч і з певними залишковими деформаціями.
∙На ділянці DE тіло розривається.
16
Розділ 2. Пружні властивості твердих тіл
2.3. Деформація зсуву
Брусок АВСD закріплений нижньою гранню до нерухомої підставки, а до верхньої грані ВС прикладена тангенціальна сила Fτ
(рис. 2.2)
Рис. 2.2
Під дією цієї сили брусок деформується, а величина зсуву характеризується зміщенням верхньої грані на величину BB′.
Відносною деформацією зсуву називається відношення BB′ до
АВ, тобто tgγ (γ − кут зсуву).
Танґенціальна напруга – величина, що чисельно дорівнює
тангенціальній силі, прикладеній до одиниці площі грані ВС: |
|
||
στ = |
Fτ |
. |
(2.7) |
|
|||
|
S |
|
|
Якщо деформація пружна, то для неї виконується закон Гука: |
|
||
στ = G × tgγ, |
(2.8) |
||
де G – модуль зсуву. З формули (2.8) випливає, що:
Модуль зсуву – це величина, що чисельно дорівнює танґенціальній напрузі, при якій tgγ=1, тобто кут зсуву
γ=450
При малих деформаціях tgγ ≈ γ i закон Гука запишеться у вигляді:
στ = Gγ. |
(2.9) |
17
Теоретична частина
2.4. Деформація кручення
Нижня основа циліндричного стрижня закріплена до нерухомої
підставки, а до верхньої основи прикладена пара сил з моментом M
(рис. 2.3)
Рис. 2.3
Оскільки об’єм стрижня залишається незмінним, деформацію кручення можна розглядати як особливий вид деформації зсуву – так звану неоднорідну деформацію зсуву.
(Кожен елемент стрижня деформується по-різному – зі збільшенням відстані елемента до осі деформація зростає). З (рис. 2.3) видно, що:
BB′= Rφ, а tqγ = |
BB' |
= |
R |
φ, |
(2.10) |
|
AB |
|
L |
|
|
де R – радіус стрижня; L – довжина стрижня.
Під дією моменту сил M елементи стрижня обертаються
навколо осі ОО′, при цьому згідно з законом Гука кут закручування ϕ пропорційний величині моменту сили:
M = fφ, |
(2.11) |
де f − коефіцієнт пропорційності (так званий модуль кручення).
18
Розділ 2. Пружні властивості твердих тіл
Встановимо зв’язок між коефіцієнтом f і модулем зсуву G:
στ = |
|
2F |
= |
2F |
|
; |
|
|
(2.12) |
||
|
S |
πR2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
γ = |
R |
|
φ= |
RM = |
RRF |
= |
R2F . |
(2.13) |
|||
L |
|
Lf |
|||||||||
|
|
|
Lf |
|
|
Lf |
|
||||
Підставивши (2.12) і (2.13) в (2.9), одержимо:
2F |
= G |
R2F |
, |
|
πR2 |
Lf |
|||
|
|
звідси:
f = G |
πR4 |
. |
(2.14) |
|
|||
|
2L |
|
|
19
Розділ 3. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ
Коливання – це рухи або процеси, які повторюються у часі. Залежно від фізичної природи коливання поділяються на:
∙механічні,
∙електричні,
∙електромеханічні,
∙електромагнітні,
∙акустичні.
Залежно від зовнішньої дії коливання можуть бути:
∙вільними – здійснюються за рахунок енерґії, що була початково надана системі,
∙вимушеними – здійснюються за рахунок енерґії, яку система одержує в процесі руху
3.1.Характеристики гармонічних коливань
Коливання називаються гармонічними якщо величина, що коливається, змінюється в часі за косинусоїдальним (синусоїдальним) законом:
x = A cos (ω0 t + φ0);
швидкість:
u = dxdt = x&
прискорення:
α= d2x = x&& dt2
=−Aω0sin(ω0t + φ0)= Aω0cos(ω0t + π2 + φ0);
=−Aω20 cos(ω0 t + φ0)= Aω20cos(ω0t + π + φ0),
де x – зміщення – відхилення тіла від положення рівноваги;
(3.1)
(3.1а)
(3.1б)
А – амплітуда коливань – найбільше відхилення тіла від положення рівноваги;
φ = (ω0 t + φ0) − фаза коливань, визначає положення тіла у момент часу t;
φ0 − початкова фаза коливань, визначає положення тіла у момент часу t=0;
ω0 − власна циклічна частота;
Т– період – час здійснення одного повного коливання.
20